高考数学(理数)二轮复习专题4 第2讲《排列与组合》练习 (含答案详解)

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A卷

1．(新课标Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)

A．0.3　　　　  B．0.4　　

C．0.6　　　　  D．0.7

【答案】B

2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则x，y的值分别为(　　)

A．4,5　 B．5,4　　

C．4,4　 D．5,5

【答案】A

3．(新课标Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著．某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为(　　)

A．0.5　 B．0.6　　

C．0.7　 D．0.8

【答案】C

【解析】根据题意作出Venn图如图所示．由Venn图可知该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，所以该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为＝0.7.

4．(广东广州模拟)为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是(　　)

A．35　 B．48　　　　

C．60　　　　  D．75

【答案】C

5．(辽宁模拟)某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量(单位：kg)服从正态分布N(10,0.12)，现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在区间(10,10.2)内的袋数，则X的数学期望约为(　　)

注：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.

A．171　 B．239　　

C．341　 D．477

【答案】B

【解析】设每袋面粉的质量为Z kg，则Z～N(10，0.12)，所以P(10<Z<10.2)＝P(99.8<Z<10.2)＝P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝×0.954 4＝0.477 2.由题意得X的数学期望为500×0.477 2≈239.故选B．

6．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为1 200的样本，三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为________人．

【答案】360

【解析】因为高一年级抽取学生的比例为＝，所以＝，解得k＝2，故高三年级抽取的人数为1 200×＝360.

7．(江苏)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________．

【答案】2

【解析】该组数据的平均数＝(6＋7＋8＋8＋9＋10)＝8，方差S2＝[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝2.

8．(江苏)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．

【答案】

【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝C＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝CC＋C＝7，所以所求概率p＝＝.

9．(四川内江三模)有一个同学家开了一个奶茶店，该同学为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如下表：

(1)求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程＝x＋(精确到0.1)，若某天的气温为15 ℃，预测这天热奶茶的销售杯数；

(2)从表中的5天中任取两天，求所选取两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于130的概率．

参考数据：42＋122＋192＋272＝1 250,4×132＋12×130＋19×104＋27×94＝6 602.

参考公式：＝，＝－.

【解析】(1)由表格中数据，得＝(0＋4＋12＋19＋27)＝12.4，＝(150＋132＋130＋104＋94)＝122.

∴＝＝≈－2.0，

＝－＝122－(－2.0)×12.4＝146.8.

∴热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为＝－2.0x＋146.8.

当气温为15℃时，可以预测热奶茶的销售杯数为－2.0×15＋146.8≈117(杯)．

(2)设A表示事件“两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于130”，则P(A)＝1－P()＝1－＝.

10．有一款击鼓小游戏规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得50分，没有出现音乐则扣除150分(即获得－150分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓是否出现音乐相互独立．

(1)玩一盘游戏，求至少出现一次音乐的概率；

(2)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

(3)许多玩过这款游戏的人都发现，玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析其中的道理．

【解析】(1)每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立，∴玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是p＝1－3＝.

(2)设每盘游戏获得的分数为X，则X可能取值为－150，10,20,50，

P(X＝－150)＝C03＝，

P(X＝10)＝C2＝，

P(X＝20)＝C2＝，

P(X＝50)＝C3＝.

∴X的分布列为

(3)由(2)得E(X)＝－150×＋10×＋20×＋50×＝－，

∴每盘游戏得分的平均数是－，得负分．

∴玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．

B卷

11．随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)

A．　　　　  B．　　　　

C．　　　　  D．

【答案】D

【解析】∵P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，∴＋＋＋＝1，解得a＝，

∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.

12．(浙江)设0＜a＜1，随机变量X的分布列是

则当a在(0,1)内增大时，(　　)

A．D(X)增大　 B．D(X)减小

C．D(X)先增大后减小　 D．D(X)先减小后增大

【答案】D

【解析】E(X)＝0×＋a×＋1×＝，故D(X)＝2×＋2×＋2×＝2＋.因为0＜a＜1，所以D(X)先减小后增大．

13．(山西临汾模拟)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为(　　)

A．9　　　　  B．10　　　　

C．11　　　　  D．12

【答案】B

【解析】不妨设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，且x1<x2<x3<x4<x5，则由样本方差为4，知(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.若5个整数的平方和为20，则这5个整数的平方只能在0,1,4,9,16中选取(每个数最多出现2次)，当这5个整数的平方中最大的数为16时，分析可知总不满足和为20；当这5个整数的平方中最大的数为9时，0,1,1,9,9这组数满足要求，此时对应的样本数据为x1＝4，x2＝6，x3＝7，x4＝8，x5＝10；当这5个整数的平方中最大的数不超过4时，总不满足和为20，因此不存在满足条件的另一组数据．故选B．

14．(新课标Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.

①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；

②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

【解析】(1)X的所有可能取值为－1,0,1.

P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)，

所以X的分布列为

(2)①证明：因为α＝0.5，β＝0.8，

所以由(1)得，a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.

因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1(i＝1,2，…，7)．

故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝

4(pi－pi－1)．

又p1－p0＝p1≠0，

所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列，公比为4，首项为p1.

②由①可得，

p8＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＋p0＝＝p1.

因为p8＝1，所以p1＝1，解得p1＝.

所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＋p0＝＝×＝＝.

p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．