高考数学(理数)二轮复习专题5 第2讲《等差数列与等比数列前n项和公式》练习 (含答案详解)

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A卷

1．(福建泉州模拟)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝(　　)

A．8　 B．9　　

C．16　 D．17

【答案】B

【解析】S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.

2．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146且所有项的和为390，则这个数列的项数为(　　)

A．13　 B．12　　

C．11　 D．10

【答案】A

【解析】因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60.所以Sn＝＝＝390，即n＝13.

3．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　)

A．9　 B．15　　

C．18　 D．30

【答案】C

【解析】∵an＋1－an＝2，a1＝－5，∴数列{an}是首项为－5，公差为2的等差数列．∴an＝－5＋2(n－1)＝2n－7.数列{an}的前n项和Sn＝＝n2－6n.令an＝2n－7≥0，解得n≥.∴n≤3时，|an|＝－an；n≥4时，|an|＝an.则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋a6＝S6－2S3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.故选C．

4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：

第一步：构造数列1，，，，…，.

第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.

则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于(　　)

A．(n＋1)2　 B．(n－1)2

 C．n(n－1)　 D．n(n＋1)

【答案】C

【解析】a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝·＋·＋…＋·

＝n2

＝n2

＝n2·＝n(n－1)．

5．(安徽皖西七校联考)在数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和Sn＝，则n＝(　　)

A．3　 B．4　　

C．5　 D．6

【答案】D

【解析】由an＝＝1－，得Sn＝n－＝n－，则Sn＝＝n－.将各选项中的值代入验证得n＝6.

6．(上海)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝0，a6＋a7＝14，则S7＝________.

【答案】14

【解析】由a3＝0，a6＋a7＝14，得解得a1＝－4，d＝2.∴S7＝7a1＋d＝14.

7．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 018积数列”且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为________．

【答案】1 008或1 009

【解析】由题可知a1a2a3·…·a2 018＝a2 018，故a1a2a3·…·a2 017＝1，由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，所以a1 009＝1，公比0＜q＜1.所以a1 008＞1且0＜a1 010＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时n的值为1 008或1 009.

8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

【答案】2n＋1－2

【解析】∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.

9．在正项等比数列{an}中，公比q∈(0,1)，a3＋a5＝5且a3和a5的等比中项是2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝(log2a1＋log2a2＋…＋log2an)，判断数列{bn}的前n项和Sn是否存在最大值？若存在，求出使Sn最大时n的值；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)依题意a3·a5＝4，又a3＋a5＝5，q∈(0,1)，

∴a3＝4，a5＝1.

∴q2＝＝，即q＝.

∴a1＝＝16，an＝a1·qn－1＝16·n－1＝25－n.

(2)∵log2an＝5－n，

∴bn＝[4＋3＋…＋(5－n)]＝＝.

∵当n＜9时，bn＞0；当n＝9时，bn＝0；当n＞9时，bn＜0.

∴S1＜S2＜…＜S8＝S9＞S10＞S11＞….

∴Sn有最大值，此时n＝8或9.

10．(山东潍坊二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝8，S4＝40；数列的前n项和为Tn，且Tn－2bn＋3＝0，n∈N*.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn＝求数列{cn}的前n项和Pn.

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.

由题意，得所以an＝4n.

因为Tn－2bn＋3＝0，所以当n＝1时，b1＝3.

当n≥2时，Tn－1－2bn－1＋3＝0.

两式相减，得bn＝2bn－1(n≥2)．

所以数列为等比数列，bn＝3·2n－1.

(2)cn＝

当n为偶数时，Pn＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝＋＝2n＋1＋n2－2.

当n为奇数时，n－1为偶数，

Pn＝Pn－1＋cn＝2(n－1)＋1＋(n－1)2－2＋4n＝2n＋n2＋2n－1.

所以Pn＝

B卷

11．(广东江门模拟)数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，且bn＝ancos ，记Sn为数列{bn}的前n项和，则S120＝(　　)

A．7 160　 B．7 220　　

C．7 280　 D．7 340

【答案】C

【解析】由nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，得＝＋1，所以数列是以1为公差的等差数列．又＝1，所以＝n，即an＝n2，所以bn＝n2cos.所以b3k－2＋b3k－1＋b3k＝－(3k－2)2－(3k－1)2＋(3k)2＝9k－.所以S120＝ ＝＝7 280.

12．(东北三校联考)如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，前n个内切圆的面积和为(　　)

A．π B．π

C．π D．π

【答案】D

【解析】设第n个三角形的内切圆半径为an，则易知a1＝atan 30°＝a，a2＝a1，…，an＝an－1，故数列{an}是首项为a，公比为的等比数列．设前n个内切圆面积和为Sn，则Sn＝π(a＋a＋…＋a)

＝πa

＝πa

＝×π＝π.故选D．

13．已知数列{an}是等比数列，其公比为2，设bn＝log2an且数列{bn}的前10项的和为25，那么＋＋＋…＋的值为________．

【答案】

【解析】∵数列{an}是等比数列，其公比为2，∴b1＋b2＋…＋b10＝log2(a1·a2·…·a10)＝

log2(a21＋2＋…＋9)＝25，∴a×245＝225，可得a1＝.那么＋＋＋…＋＝4＝4×＝.

14．(甘肃张掖模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)令cn＝＋，其中n∈N*，若数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.

【解析】(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1.

由an＝－3Sn＋4，知an＋1＝－3Sn＋1＋4.

两式相减，化简得an＋1＝an.

∴an＝n－1，bn＝－log2an＋1＝－log2n＝2n.

(2)由题意知cn＝＋.

令Hn＝＋＋＋…＋，①

则Hn＝＋＋…＋＋.②

①－②，得Hn＝＋＋＋…＋－＝

1－.

∴Hn＝2－.

＝－，

令Mn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，

∴Tn＝Hn＋Mn＝2－＋.