高考数学(理数)二轮复习专题6 第2讲《直线与圆锥曲线的关系》练习 (含答案详解)

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A卷

1．(东北三校联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为(　　)

A．＋＝1　 B．＋＝1

C．＋＝1　 D．＋y2＝1

【答案】B

【解析】由题意得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.

2．(福建福州模拟)抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为(　　)

A．y＝2x2　 B．y2＝2x

C．x2＝2y　 D．y2＝－2x

【答案】B

【解析】由题意可知A，B两点中必有一点是原点，不妨设A(0,0)．由P(1,1)是线段AB的中点，可得B(2,2)．设抛物线方程为y2＝ax，将B(2,2)代入，可得22＝2a，解得a＝2，即抛物线方程为y2＝2x.

3．若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是(　　)

A．(x－1)2＋y2＝1　 B．x2＋(y－1)2＝1

C．(x－1)2＋y2＝2　　　　 D．x2＋(y－1)2＝2

【答案】D

【解析】抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)．∵该圆与直线y＝x＋3相切，∴r＝＝.∴该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.

4．(上海嘉定区期末)过点P(1,1)作直线与双曲线x2－＝1交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线(　　)

A．存在一条，方程为2x－y－1＝0

B．存在两条，方程为2x±(y＋1)＝0

C．存在无数条

D．不存在

【答案】D

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴x－y＝1，x－y＝1.两式相减，得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以x1－x2＝(y1－y2)，即kAB＝2.故所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.联立化简得2x2－4x＋3＝0，无解，故这样的直线不存在．故选D．

5．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点．若向量＋与向量a＝(3，－1)共线，则该椭圆的离心率为(　　)

A．　　　 B．　　　　

C．　　　 D．

【答案】B

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(－c,0)．直线l的方程为y＝x＋c，联立化简得(a2＋b2)x2＋2ca2x＋a2c2－a2b2＝0，∴x1＋x2＝，y1＋y2＝x1＋x2＋2c＝.∴向量＋＝.∵向量＋与向量a＝(3，－1)共线，∴－－3×＝0，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝.故选B．

6．(江西南昌模拟)已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．

【答案】x＋2y－3＝0

【解析】易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0.∴x1＋x2＝.又∵x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－.故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.

7．双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2，且交双曲线C的右支于A，B两点(点A在点B上方)，若＋2＋3＝0，则直线l的斜率k＝________.

【答案】

【解析】由题意知双曲线的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y＝k(x－2)，代入双曲线方程，整理得(1－3k2)x2＋12k2x－12k2－3＝0，∴x1＋x2＝－，①

x1x2＝.②

∵＋2＋3＝0，∴x1＋2x2－6＝0.③

由①②③可得k＝或k＝－(舍去)．

8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.

【答案】8

【解析】由题意，直线l的方程为x＝－2，焦点F为(2,0)，设A点的坐标为(－2，c)，则＝－，解得c＝4.又PA⊥l，∴P点的纵坐标为4.由(4)2＝8x，得x＝6.∴|PF|＝x＋＝8.

9．已知M(3，y0)(y0>0)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线C的焦点，且|MF|＝5.

(1)求抛物线C的方程；

(2)MF的延长线交抛物线于另一点N，求N的坐标．

【解析】(1)∵|MF|＝3＋＝5，∴p＝4.

∴抛物线方程为y2＝8x.

(2)由题意知MF不垂直于x轴，故设MF所在直线方程为y＝k(x－2)，

联立整理得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.

∴xM·xN＝＝4.∵xM＝3，∴xN＝.

∵N为MF的延长线与抛物线的交点，可知yN<0.

∴yN＝－＝－，∴N.

10．(贵州贵阳适应性考试)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＝4.

(1)求椭圆的方程；

(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．

【解析】(1)由题意知e＝＝，2a＝4.

又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝.

∴椭圆方程为＋＝1.

(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．

当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－(x－1)．

将直线AB方程代入椭圆方程中，

整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.

∴x1＋x2＝，x1·x2＝.

∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝.

同理，|CD|＝＝.

∴|AB|＋|CD|＝＋＝＝，解得k＝±1.

∴直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

B卷

11．(新课标Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　)

A．　 B．2　　

C．2　 D．3

【答案】C

【解析】由题知F(1,0)，则MF所在直线的方程为y＝(x－1)，与抛物线联立，化简，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3，∴M(3,2)．由MN⊥l可得N(－1,2)，又F(1,0)，则NF所在直线的方程为x＋y－＝0，∴M到直线NF的距离d＝＝2.故选C．

12．(山西太原五中模拟)中心为坐标原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为(　　)

A．＋＝1　 B．＋＝1

C．＋＝1　 D．＋＝1

【答案】C

【解析】由已知c＝5，设椭圆的方程为＋＝1，联立消去y，得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0.设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝.由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为＋＝1.

13．(新课标Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．

【答案】2

【解析】如图，由＝，可得点A为BF1的中点．又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2.由·＝0，可得BF1⊥BF2，所以OA⊥BF1.因为渐近线OA，OB的方程分别为y＝－x，y＝x，所以直线BF1的斜率为.

方法一：直线BF1的方程为y＝(x＋c)．

联立解得

即A.联立解得

即B.又由点A为BF1的中点，可得＝2·，化简得b2＝3a2，所

以c2＝a2＋b2＝4a2，e＝＝＝2.

方法二：由直角三角形的性质可得∠BOF2＝2∠BF1F2，所以tan ∠BOF2＝tan 2∠BF1F2，即＝，化简得b2＝3a2，以下同方法一．

14．(北京)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

【解析】(1)抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，可得4＝2p，即p＝2，

所以抛物线C的方程为x2＝－4y，准线方程为y＝1.

(2)证明：抛物线C：x2＝－4y的焦点为F(0，－1)．

设直线l方程为y＝kx－1(k≠0)．

由可得x2＋4kx－4＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4.

直线OM的方程为y＝x.

令y＝－1，得x＝－，即A.

同理可得B.

设y轴上的点D(0，n)，则＝，＝，

则·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.

令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，则n＝1或－3.

综上所述，以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)和(0，－3)．