高考数学(理数)二轮复习专题6 第3讲《圆锥曲线的综合问题》练习 (含答案详解)

专题复习检测

A卷

1．(北京海淀区校级三模)若双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与C2：－＝1的离心率分别为e1和e2，则下列说法正确的是(　　)

A．e＝e

B．＋＝1

C．C1与C2的渐近线相同

D．C1与C2的图象有8个公共点

【答案】A

【解析】由题意，e1＝＞1，e2＝＞1，显然e＝e.故选A．

2．(河南焦作模拟)设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)

A．9,12　 B．8,11　　

C．8,12　　 D．10,12

【答案】C

【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10.连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12.故选C．

3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥FB，设∠ABF＝θ且θ∈，则双曲线离心率的取值范围是(　　)

A．(，2]　 B．(1，]

C．(，＋∞)　 D．(2，＋∞)

【答案】C

【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′.∵AF⊥FB，∴四边形AFBF′为矩形．因此|AB|＝|FF′|＝2c.则|AF|＝2csin θ，|BF|＝2ccos θ.∵|AF′|－|AF|＝2a.∴2ccos θ－2csin θ＝2a，即c(cos θ－sin θ)＝a，则e＝＝＝.∵θ∈，∴θ＋∈，则cos∈，cos∈，则＞＝，即e＞，故双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)．故选C．

4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】D

【解析】根据已知条件，得－＝－2，所以p＝4.从而抛物线的方程为y2＝8x，其焦点为F(2,0)．设切点B(x0，y0)，由题意，在第一象限内y2＝8x⇒y＝2.由导数的几何意义可知切线的斜率为kAB＝y′＝，而切线的斜率也可以为kAB＝.又因为切点B(x0，y0)在曲线上，所以y＝8x0.由上述条件解得即B(8,8)．从而直线BF的斜率为＝.故选D．

5．(黑龙江绥化检测)已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)

A．2　 B．4　　　　

C．8　　　　  D．9

【答案】D

【解析】圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.∵圆C1和圆C2只有一条公切线，∴圆C1与圆C2相内切，∴＝2－1，得4a2＋b2＝1.∴＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立．∴＋的最小值为9.

6．(浙江绍兴检测)双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．

【答案】

【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组所确定．又点(2,1)在“右”区域内，∴1<，即>.∴双曲线的离心率e＝∈.

7．已知实数x，y满足方程(x－a＋1)2＋(y－1)2＝1，当0≤y≤b(b∈R)时，由此方程可以确定一个偶函数y＝f(x)，则抛物线y＝－x2的焦点F到点(a，b)的轨迹上点的距离最大值为________．

【答案】

【解析】由题意可得圆的方程一定关于y轴对称，故由－a＋1＝0，求得a＝1.由圆的几何性质知，只有当y≤1时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故0＜b≤1.由此知点(a，b)的轨迹是一线段，其横坐标是1，纵坐标属于(0,1]，又抛物线y＝－x2，故其焦点坐标为，由此可以判断出焦点F到点(a，b)的轨迹上点的距离最大值是＝.

8．(湖北襄阳模拟)已知直线l：x＋y＋m＝0与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)右支交于M，N两点，点M在第一象限，若点Q满足＋＝0(其中O为坐标原点)，且∠MNQ＝30°，则双曲线C的渐近线方程为________．

【答案】y＝±x

【解析】由题意可知M，Q关于原点对称，设M(m，n)，N(u，v)，则Q(－m，－n)，代入双曲线方程，得－＝1，－＝1，两式相减，得＝，∴kMN·kQN＝·＝＝.∵kMN＝－，kQN＝tan 150°＝－，∴＝1，即a＝b.∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x.

9．(重庆期末)如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n＝(，－1)共线．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，当k变化时，原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

【解析】(1)因为2c＝2，所以c＝1.

又＝(－a，b)，且∥n，

所以b＝a，所以2b2＝b2＋1，所以b2＝1，a2＝2.

所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把y＝kx＋m代入＋y2＝1，

消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

所以x1＋x2＝－，x1x2＝，

Δ＝16k2－8m2＋8>0，即m2<2k2＋1.(*)

因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，

所以·<0，即x1x2＋y1y2<0.

又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，

由＋<0，得m2<k2＋.

依题意且满足(*)得m2<，

故实数m的取值范围是.

10．(安徽蚌埠二模)在平面直角坐标系xOy中，动圆M过定点F(1,0)，且与直线x＝－1相切，曲线C为圆心M的轨迹．

(1)求曲线C的方程；

(2)过(2,0)的直线l与C有两个不同的交点A，B，已知点Q(－2,0)，QA，QB与y轴分别交于M(0，m)，N(0，n)两点，求证：m＋n为定值．

【解析】(1)由题意知圆心M的轨迹是以(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，

∴圆心M的轨迹方程为y2＝4x.

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：x＝ty＋2，

与曲线C：y2＝4x联立，化简得y2－4ty－8＝0.

∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－8.

直线QA：y＝(x＋2)，令x＝0，得m＝.

同理可得n＝.

∴m＋n＝＋＝＝0.

∴m＋n为定值．

B卷

11．(浙江杭州模拟)F为椭圆＋y2＝1的右焦点，第一象限内的点M在椭圆上，若MF⊥x轴，直线MN与圆x2＋y2＝1相切于第四象限内的点N，则|NF|等于(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】A

【解析】∵MF⊥x轴，F为椭圆＋y2＝1的右焦点，∴F(2,0)，M.设lMN：y－＝k(x－2)，N(x，y)，则O到lMN的距离d＝＝1，解得k＝或k＝－(舍去)．联立解得即N，∴|NF|＝＝.

12．(云南昆明模拟)已知抛物线y2＝8x，过点M(1，0)的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|AF|＝6，O为坐标原点，则△OAB的面积是(　　)

A．　 B．3　　

C．　 D．5

【答案】C

【解析】抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A作准线的垂线AH，如图．由抛物线的定义可知|AF|＝|AH|＝6，∴x1＋2＝6.∴x1＝4，y1＝4.设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由得k2x2－(2k2＋8)x＋k2＝0，∴x1x2＝1，x2＝＝.∴y2＝－.∴△OAB的面积S△OAB＝S△AOM＋S△BOM＝|y1|×1＋|y2|×1＝×(4＋)＝.

13．若F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆交双曲线的右支于点P，若∠PF1F2＝α，则双曲线离心率为__________．(结果用α表示)

【答案】

【解析】依题意，知PF1⊥PF2，∴|PF1|＝2c·cos α，|PF2|＝2c·sin α.∴e＝＝＝.

14．(山东威海模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，Q为抛物线y2＝12x的焦点，且·＝0,2＋＝0.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过定点P(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点(M在P，N之间)，设直线l的斜率为k(k>0)，在x轴上是否存在点A(m,0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)由已知Q(3,0)，F1B⊥QB，|QF1|＝4c＝3＋c，所以c＝1.

在Rt△F1BQ中，F2为线段F1Q的中点，故|BF2|＝2c＝2，所以a＝2.

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)设直线l的方程为y＝kx＋2(k>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，取MN的中点为E(x0，y0)．

假设存在点A(m,0)使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则AE⊥MN.

由化简，得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，Δ>0⇒k2>.

又k>0，所以k>.

因为x1＋x2＝－，

所以x0＝－，y0＝kx0＋2＝.

因为AE⊥MN，所以kAE＝－，即＝

－，整理得m＝－＝－.

因为k＞时，4k＋≥4，∈，

所以m∈.