高考数学(理数)二轮复习专题7 第2讲《不等式选讲》练习 (含答案详解)

专题复习检测

A卷

1．“ab≥0”是“|a－b|＝|a|－|b|”的(　　)

A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件

C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当ab≥0，a<b时，|a－b|≠|a|－|b|，故条件不充分．当|a－b|＝|a|－|b|时，则a，b同号且|a|≥|b|.故条件必要．综上，“ab≥0”是“|a－b|＝|a|－|b|”的必要不充分条件．

2．若不等式|x－1|＋|x＋m|≤4的解集非空，则实数m的取值范围是(　　)

A．[－5，－3]　 B．[－3,5]

C．[－5,3]　 D．[3,5]

【答案】C

【解析】∵|x－1|＋|x＋m|≥|1＋m|，∴|1＋m|≤4，解得－5≤m≤3.故选C．

3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)

A．　 B．2　　

C．2　 D．4

【答案】C

【解析】∵＋＝，∴a>0，b>0.

∴＋≥2(当且仅当b＝2a时取等号)．

∴≥2，解得ab≥2，即ab的最小值为2.

4．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是(　　)

A．(a＋3)2<2a2＋6a＋11

B．a2＋≥a＋

C．|a－b|＋≥2

D．－<－

【答案】C

【解析】(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0，故A恒成立；在B项中不等式的两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a⇔(a4－a3)＋(1－a)≥0⇔a3(a－1)－(a－1)≥0⇔(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B项中的不等式恒成立；对C项中的不等式，当a>b时，恒成立，当a<b时，不恒成立；由不等式<恒成立，知D项中的不等式恒成立．故选C．

5．已知x，y，z，a∈R且x2＋4y2＋z2＝6，则使不等式x＋2y＋3z≤a恒成立的a的最小值为(　　)

A．6　 B．　　

C．8　 D．2

【答案】B

【解析】由x2＋4y2＋z2＝6，利用柯西不等式可得(x＋2y＋3z)2≤(x2＋4y2＋z2)(12＋12＋32)＝66.所以x＋2y＋3z≤，当且仅当＝＝时等号成立．再由不等式x＋2y＋3z≤a恒成立，可得a≥，即a的最小值为.

6．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．

【答案】(－∞，－3]∪[2，＋∞)

【解析】|x－1|＋|x＋2|≥5的几何意义是数轴上到1与－2的距离之和大于等于5的点对应的实数，所以不等式的解为x≤－3或x≥2.

7．若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________.

【答案】－3

【解析】依题意可得－3＜ax－2＜3，即－1＜ax＜5，而－＜x＜，即－1＜－3x＜5，所以a＝－3.

8．若a，b，c均为正实数且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．

【答案】

【解析】方法一：(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，当且仅当a＝b＝c时取等号成立，即＋＋≤.

方法二：柯西不等式：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即＋＋≤.

9．(江苏)设x∈R，解不等式|x|＋|2x－1|＞2.

【解析】|x|＋|2x－1|＝

∵|x|＋|2x－1|＞2，

∴或或

解得x＜－或x＞1.

∴不等式的解集为.

B卷

10．(湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)2.

(1)证明：f(x)＋|f(x)－2|≥2；

(2)当x≠－1时，求y＝＋[f(x)]2的最小值．

【解析】(1)证明：∵f(x)＝(x＋1)2≥0，

∴f(x)＋|f(x)－2|＝|f(x)|＋|2－f(x)|≥|f(x)＋[2－f(x)]|＝|2|＝2.

(2)当x≠－1时，f(x)＝(x＋1)2＞0，

∴y＝＋[f(x)]2＝＋＋[f(x)]2≥3·＝，

当且仅当＝＝[f(x)]2，即x＝－1±时取等号．

∴y＝＋[f(x)]2的最小值为.

11．(江西上饶三模)已知函数f(x)＝|x＋2|.

(1)解不等式2f(x)<4－|x－1|；

(2)已知m＋n＝1(m>0，n>0)，若不等式|x－a|－f(x)≤＋恒成立，求实数a的取值范围．

【解析】(1)不等式2f(x)<4－|x－1|等价于2|x＋2|＋|x－1|<4，

即或或

解得－<x≤－2或－2<x<－1或∅.

∴原不等式的解集为.

(2)∵|x－a|－f(x)＝|x－a|－|x＋2|≤|x－a－x－2|＝|a＋2|，

∴|x－a|－f(x)的最大值是|a＋2|.

又m＋n＝1(m>0，n>0)，

∴＋＝(m＋n)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时等号成立．

∴＋的最小值为4.

要使|x－a|－f(x)≤＋恒成立，则|a＋2|≤4，解得－6≤a≤2.

∴实数a的取值范围是[－6,2]．

12．(四川成都模拟)已知函数f(x)＝4－|x|－|x－3|.　

(1)求不等式f≥0的解集；

(2)若p，q，r为正实数，且＋＋＝4，求3p＋2q＋r的最小值．

【解析】(1)由f＝4－－≥0，得＋≤4.

当x<－时，－x－－x＋≤4，解得－2≤x<－；

当－≤x≤时，x＋－x＋≤4恒成立；

当x>时，x＋＋x－≤4，解得<x≤2.

综上，f≥0的解集为[－2,2]．

(2)令a1＝，a2＝，a3＝.

由柯西不等式，得·(a＋a＋a)≥2＝9，

即(3p＋2q＋r)≥9.

∵＋＋＝4，∴3p＋2q＋r≥，

当且仅当＝＝＝，即p＝，q＝，r＝时取等号．

∴3p＋2q＋r的最小值为.