高考数学(理数)二轮复习专题9《选择、填空题解题技巧》练习 (含答案详解)

专题复习检测

A卷

1．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)

A．　 B．　　

C．　　　　  D．

【答案】D

【解析】因为双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，所以＝.因为e＝>，所以e>.只有D满足．

2．(湖南株洲模拟)函数y＝ln|x|－x2的图象大致为(　　)

A B

C D

【答案】A

【解析】令f(x)＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|x|－x2＝f(x)，故y＝ln|x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C．故选A．

3．若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有(　　)

A．A⊆C　 B．C⊆A

C．A≠C　 D．A＝∅

【答案】A

【解析】取A＝B＝C≠∅，则A∪B＝B∩C成立，排除C，D选项，作出Venn图，可知A成立．

4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】A

【解析】由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝××1×1×1＝，剩余部分的体积V2＝13－＝.所以＝.故选A．

5．已知函数f(x)是定义在R内的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)<ex的解集为(　　)

A．(－∞，0)　 B．(0，＋∞)

C．(－∞，e4)　 D．(e4，＋∞)

【答案】B

【解析】方法一：由y＝f(x)－1为奇函数，可知f(0)－1＝0，即f(0)＝1.假设f(x)＝1，显然满足f(x)＞f′(x)，则不等式f(x)＜ex变为1<ex，解得x>0.故选B．

方法二：令g(x)＝，则g′(x)＝＜0，即g(x)为减函数．∵y＝f(x)－1为奇函数，∴f(0)－1＝0，即f(0)＝1，g(0)＝1.则不等式f(x)＜ex等价为＜1＝g(0)，即g(x)＜g(0)，解得x＞0.故选B．

6．函数f(x)＝cos2x－cos2的一个单调增区间是(　　)

A．　 B．

C．　 D．

【答案】A

【解析】取端点值验算，A，f＝－，f＝0，无法排除；对于B，f＝f＝－，可排除；对于C，f(0)＝0，f＝－，可排除；对于D，f＝f，可排除．故选A．

7．过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得＝a＋b(a，b∈R)，则以下说法正确的是(　　)

A．点P(a，b)一定在单位圆内

B．点P(a，b)一定在单位圆上

C．点P(a，b)一定在单位圆外

D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上

【答案】B

【解析】使用特殊值法求解．设A(1,0)，B(0，－1)，则＝a＋b＝(a，－b)．∵C在圆上，∴a2＋b2＝1，∴点P(a，b)在单位圆上．故选B．

8．(甘肃兰州模拟)若三棱锥P－ABC的最长的棱PA＝4，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的表面积是________．

【答案】16π

【解析】如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，易得外接球的半径R＝PA＝2，所以该三棱锥的外接球的表面积S＝4πR2＝16π.

9．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切，则椭圆的标准方程为________．

【答案】＋＝1

【解析】由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切，得b＝＝.又离心率为，所以a2＝3c2＝3(a2－2)，解得a＝，故椭圆的标准方程为＋＝1.

B卷

10．(河南郑州质量预测)若x>y>0,1>z>0，则下列结论正确的是(　　)

A．logyz>logxz　 B．xz<yz

C．logzy>logzx　　　　  D．zy<zx

【答案】C

【解析】当x＝4>y＝2，z＝时，logyz＝－1<logxz＝－，故A错误；当x＝4>y＝2，z＝时，xz＝2>yz＝，故B错误；∵1>z>0，∴f(t)＝logzt在(0，＋∞)上单调递减，∴logzy>logzx，故C正确；∵1>z>0，∴g(t)＝zt在(－∞，＋∞)上单调递减，∴zy>zx，故D错误．故选C．

11．(湖北武汉模拟)设a1，a2，a3，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，a3，…，an成等比数列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，则(　　)

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【答案】A

【解析】(特殊数列)取an＝2n，代入q命题(不妨取n＝3)满足，再取an＝3n，代入q命题(不妨取n＝3)也满足；反之，取a1＝a2＝a3＝…＝an＝0时，满足q命题，但不满足p命题．故p是q的充分条件，但不是q的必要条件．

12．(安徽合肥模拟)已知符号函数sgn(x)＝设函数f(x)＝·f1(x)＋·f2(x)，其中f1(x)＝x2＋1，f2(x)＝－2x＋4.若关于x的方程[f(x)]2－3f(x)＋m＝0恰好有6个根，则实数m的取值范围是(　　)

A．　 B．

C．　 D．

【答案】C

【解析】①若x＞1，则f(x)＝·f1(x)＋·f2(x)＝－2x＋4.②若x＝1，则f(x)＝·f1(x)＋·f2(x)＝＝2.③若x＜1，则f(x)＝·f1(x)＋·f2(x)＝x2＋1.综上，f(x)＝作出其图象如图所示．令t＝f(x)，若要使方程[f(x)]2－3f(x)＋m＝0恰好有6个根，则关于t的方程t2－3t＋m＝0需有两个不相等的实数根，故Δ＝9－4m＞0，得m＜.数形结合知1＜f(x)＜2，所以g(t)＝t2－3t＋m在(1,2)上有两个不同的零点．又g(t)图象的对称轴为t＝∈(1,2)，所以需即得2＜m＜.故选C．

13．(河北唐山校级月考)若函数f(x)＝2x＋sin x对任意的m∈[－2,2]，f(mx－3)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．

【答案】(－3,1)

【解析】f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．若x∈R时，f′(x)＝2＋cos x>0恒成立，

∴f(x)在R上为增函数．∵f(x)为奇函数，∴f(mx－3)＋f(x)<0可变形为f(mx－3)<f(－x)，∴mx－3<－x，则mx－3＋x<0.设g(m)＝x·m－3＋

x，m∈[－2,2]，可得当m∈[－2,2]时，g(m)<0恒成立．若x≥0，g(2)<0；若x<0，g(－2)<0，解得－3<x<1.∴x的取值范围是(－3，1)．

14．(江苏苏州模拟)已知点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆2＋(y－4)2＝1上，则|PQ|的最小值为________．

【答案】－1

【解析】设点P(y2，y)(y∈R)，圆2＋(y－4)2＝1的圆心为A，|PQ|的最小值即为|PA|的最小值减去圆的半径，只要求出|PA|的最小值即可．又|PA|2＝2＋(y－4)2＝y4＋2y2－8y＋.令t＝y4＋2y2－8y＋，则t′＝4y3＋4y－8.令m＝t′＝4y3＋4y－8，则m′＝12y2＋4>0，所以m＝t′＝4y3＋4y－8在R上是增函数．因为t′|y＝1＝0，所以y＝1为t＝y4＋2y2－8y＋的极小值点也是最小值点．所以|PA|2＝t的最小值为，则|PA|的最小值为.所以|PQ|的最小值为－1.