高考数学(理数)二轮复习专题10《选择、填空压轴小题五大板块》练习 (含答案详解)

专题复习检测

A卷

1．(安徽江南十校联考)若函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)

A．f(x)＝

B．f(x)＝

C．f(x)＝

D．f(x)＝

【答案】B

【解析】由题中图象可知函数的定义域为{x|x≠a且x≠b}，f(x)在(－∞，a)上为增函数，在(a,0]上先增后减，在[0，b)上为减函数，在(b，＋∞)上先减后增．A项中f(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠1}，此时a＝－1，b＝1.f′(x)＝，则f′(－2)＝－＜0，与f(x)在(－∞，－1)上递增不符．B项中f(x)的定义域为{x|x≠±1}，f′(x)＝＝，若f′(x)＞0，则x＜－1或－1＜x＜1－或x＞1＋，此时f(x)在各对应区间上为增函数，符合题意．同理可检验C，D不符．故选B．

2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】D

【解析】依题意得解得＝＝－＝，故ω＝2，则f(x)＝

sin(2x＋φ)＋.又f＝sin＋＝，故＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．因为|φ|＜，故φ＝，所以f(x)＝sin＋.将f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)＝sin＋的图象．又g(x)的图象关于点对称，即h(x)＝sin的图象关于点对称，故sin＝0，即＋2m＝kπ(k∈Z)，故m＝－(k∈Z)．令k＝2，则m＝.

3．(河北衡水模拟)焦点为F的抛物线C：y2＝8x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为(　　)

A．y＝x＋2或y＝－x－2

B．y＝x＋2

C．y＝2x＋2或y＝－2x＋2

D．y＝－2x＋2

【答案】A

【解析】如图，过M作MP与准线垂直，垂足为P，则＝＝＝，则当取得最大值时，∠MAF必须取得最大值，此时直线AM与抛物线相切，可设切线方程为y＝k(x＋2)，与y2＝8x联立，消去x得ky2－8y＋16k＝0，所以Δ＝64－64k2＝0，得k＝±1.则直线方程为y＝x＋2或y＝－x－2.

4．(河南洛阳统考)已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P－ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】D

【解析】记三棱锥P－ABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h，.由VP－ABC＝S△ABCh＝××h＝，得h＝.又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于h＝.又正△ABC的外接圆半径为r＝＝，因此R2＝r2＋2＝，所以三棱锥P－ABC的外接球的表面积为4πR2＝.故选D．

5．已知f(x)＝x2＋＋c(b，c是常数)和g(x)＝x＋是定义在M＝{x|1≤x≤4}上的函数，对于任意的x∈M，存在x0∈M使得f(x)≥f(x0)，g(x)≥g(x0)，且f(x0)＝g(x0)，则f(x)在M上的最大值为(　　)

A．　 B．5　　

C．6　　 D．8

【答案】B

【解析】因为当x∈[1,4]时，g(x)＝x＋≥2＝1(当且仅当x＝2时等号成立)，所以f(2)＝2＋＋c＝g(2)＝1，则c＝－1－.所以f(x)＝x2＋－1－，则f′(x)＝x－＝.因为f(x)在x＝2处有最小值，且x∈[1,4]，所以f′(2)＝0，即b＝8，则c＝－5.经检验，b＝8，c＝－5符合题意．所以f(x)＝x2＋－5，f′(x)＝.所以f(x)在[1,2)上单调递减，在(2,4]上单调递增．而f(1)＝＋8－5＝，f(4)＝8＋2－5＝5，所以f(x)在M上的最大值为5.故选B．

6．为了观看2022年的冬奥会，小明打算从起，每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.1月1日小明去银行继续存款a元后，他的账户中一共有________元；到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．

【答案】ap＋2a　[(1＋p)5－1－p]

【解析】依题意，1月1日存款a元后，账户中一共有a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)(元).2022年1月1日可取出钱的总数为a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)＝a·＝[(1＋p)5－(1＋p)]＝[(1＋p)5－1－p]．

7．(山东济宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A＝c，则tan(A－B)的最大值为________．

【答案】

【解析】由acos B－bcos A＝c及正弦定理，得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin Acos B＝sin B·cos A，得tan A＝5tan B，从而tan A＞0，tan B＞0.∴tan(A－B)＝＝＝≤＝，当且仅当＝5tan B，即tan B＝时取得等号．∴tan(A－B)的最大值为.

8．(湖南长沙一模)矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，P为矩形内部一点，且AP＝1，若＝x＋y，则3x＋2y的取值范围是________．

【答案】(1，]

【解析】设点P在AB上的射影为Q，∠PAQ＝θ，则＝＋，且||＝cos θ，||＝sin θ.又与共线，与共线，故＝

，＝，从而＝＋，故x＝，y＝，因此3x＋2y＝cos θ＋sin θ＝sin.又θ∈，故3x＋2y的取值范围是(1，]．

B卷

9．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过双曲线C的左焦点的直线与双曲线C的左支交于Q，R两点(Q在第二象限内)，连接RO(O为坐标原点)并延长交C的右支于点P，若|F1P|＝|F1Q|，∠F1PF2＝π，则双曲线C的离心率为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】C

【解析】设|PF1|＝x，则|PF2|＝x－2a，如图，作Q关于原点对称的点S，连接PS，RS，SF1.因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO|＝|OR|.S在双曲线上，所以四边形PSRQ是平行四边形．根据对称性知F2在线段PS上，|F2S|＝|QF1|＝x，则∠F1PS＝.根据双曲线的定义，有|F1S|＝x＋2a.在△PF1S中，由余弦定理得(x＋2a)2＝x2＋(2x－2a)2－2·x(2x－2a)·，解得x＝a，所以|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝2＋2－2××a×a，整理可得e＝＝.

10．若∀x∈R，函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1与g(x)＝mx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围为(　　)

A．(－∞，0)　　 B．(0,4]

C．(2,5)　 D．(0,8)

【答案】D

【解析】当m＜0且x趋于＋∞时，函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1与g(x)＝mx的值均为负值，不符合题意．当m＝0时，g(x)＝0，f(x)＝－8x＋1，当x≥时，f(x)≤0，g(x)＝0，不符合题意．∴m＞0，易知f(x)的图象的对称轴为x＝，f(0)＝1＞0，当≥0，即0＜m≤4时，函数f(x)的图象与x轴的交点都在y轴右侧，如图1所示，符合题意．当＜0，即m＞4时，要满足题意，需f(x)的图象在x轴上方，如图2所示，则Δ＝4(4－m)2－8m＝4(m－8)(m－2)＜0，则4＜m＜8.综上可得0＜m＜8.故选D．

11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝1，an＞0，a＝4Sn＋4n＋1(n∈N*)，若不等式4n2－8n＋3＜(5－m)2n·an对任意的n∈N*恒成立，则整数m的最大值为(　　)

A．3　 B．4　　　

C．5　 D．6

【答案】B

【解析】当n≥2时，两式相减，得a－a＝4an＋4，即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2.又an＞0.所以an＋1＝an＋2(n≥2)．对a＝4Sn＋4n＋1，令n＝1，可得a＝4a1＋4＋1＝9，所以a2＝3，则a2－a1＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，故an＝2n－1.因为4n2－8n＋3＝(2n－1)(2n－3)，n∈N*,2n－1＞0，所以不等式4n2－8n＋3＜(5－m)2n·an等价于5－m＞.记bn＝，则＝＝，当n≥3时，＜1.又b1＝

－，b2＝，b3＝，所以(bn)max＝b3＝.故5－m＞，得m＜，所以整数m的最大值为4.

12．(福建宁德一模)已知函数f(x)＝若方程f(f(x))－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是(　　)

A．[0，＋∞)　 B．[1,3]

C．　 D．

【答案】C

【解析】∵f(f(x))－2＝0，∴f(f(x))＝2，∴f(x)＝－1或f(x)＝－(k≠0)．(1)当k＝0时，作出函数f(x)的图象如图①所示，由图象可知f(x)＝－1无解，∴k＝0不符合题意；(2)当k＞0时，作出函数f(x)的图象如图②所示，由图象可知f(x)＝－1无解且f(x)＝－无解，即f(f(x))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k＜0时，作出函数f(x)的图象如图③所示，由图象可知f(x)＝－1有1个实根，∵f(f(x))－2＝0有3个实根，∴f(x)＝－有2个实根，∴1＜－≤3，解得－1＜k≤－.综上，k的取值范围是.

13．(山东烟台一模)如图是一张矩形白纸ABCD，AB＝10，AD＝10，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且A，C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的序号)

①当平面ABE∥平面CDF时，AC∥平面BFDE；

②当平面ABE∥平面CDF时，AE∥CD；

③当A，C重合于点P时，PG⊥PD；

④当A，C重合于点P时，三棱锥P－DEF的外接球的表面积为150π.

【答案】①④

【解析】在△ABE中，tan ∠ABE＝.在△ACD中，tan ∠CAD＝.所以∠ABE＝∠DAC.由题意，将△ABE，△DCF沿BE，DF折起，且A，C在平面BEDF同侧，此时A，C，G，H四点在同一平面内，平面ABE∩平面AGHC＝AG，平面CDF∩平面AGHC＝CH，当平面ABE∥平面CDF时，得到AG∥CH，显然AG＝CH，所以四边形AGHC为平行四边形，所以AC∥GH，进而可得AC∥平面BFDE，①正确．由于折叠后，直线AE与直线CD为异面直线，所以AE与CD不平行，②错误．当A，C重合于点P时，可得PG＝，PD＝10，又GD＝10，则PG2＋PD2≠GD2，所以PG与PD不垂直，③错误．当A，C重合于点P时，在三棱锥P－DEF中，△EFD与△PDF均为直角三角形，所以DF为外接球的直径，即R＝＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝150π，④正确．综上，正确命题的序号为①④.