高考数学(理数)二轮复习专题12《解答题解题技巧》练习 (含答案详解)

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专题复习检测A卷1．(天津模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin2－2cos 2C＝7.(1)求tan C的值；(2)若c＝，sin B＝2sin A，求a，b的值．【解析】(1)在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴＝－，则sin ＝cos .由8sin2－2cos 2C＝7，得8cos2－2cos 2C＝7.∴4(1＋cos C)－2(2cos2C－1)＝7，即(2cos C－1)2＝0，解得cos C＝.∵0＜C＜π，∴C＝，∴tan C＝tan＝.(2)由sin B＝2sin A，得b＝2a.①又c＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ，即a2＋b2－ab＝3.②联立①②，解得a＝1，b＝2.2．(陕西宝鸡检测)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.∵a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，∴解得d＝2，q＝2.∴an＝2n＋1，bn＝2n－1.(2)由(1)知Sn＝＝n(n＋2)，∴cn＝∴T2n＝＋(21＋23＋25＋…＋22n－1)＝＋.3．某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内(含40件)的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家这10天的销售量如下茎叶图所示.(1)现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；(2)若将频率视作概率，回答以下问题：①记乙厂家的日返利额为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；②商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．【解析】(1)记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，则P(A)＝＝.(2)①设乙产品的日销售量为a，则当a＝38时，X＝38×4＝152；当a＝39时，X＝39×4＝156；当a＝40时，X＝40×4＝160；当a＝41时，X＝40×4＋1×6＝166；当a＝42时，X＝40×4＋2×6＝172.∴X的所有可能取值为：152,156,160,166,172.∴X的分布列为X152156160166172p∴EX＝152×＋156×＋160×＋166×＋172×＝162.②依题意，甲厂家的日平均销售量为：38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5，∴甲厂家的日平均返利额为：70＋39.5×2＝149元．由①得乙厂家的日平均返利额为162元(＞149元)，∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．4．(山东淄博模拟)如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3.(1)求证：EG⊥DF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值．【解析】(1)证明：连接AC，由AECG可知四边形AEGC为平行四边形，∴EG∥AC.又AC⊥BD，AC⊥BF，∴EG⊥BD，EG⊥BF.∵BD∩BF＝B，∴EG⊥平面BDHF.又DF⊂平面BDHF，∴EG⊥DF.(2)设AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，由已知得平面ADHE∥平面BCGF，∴EH∥FG.同理可得EF∥HG.∴四边形EFGH为平行四边形，∴P为EG的中点．又O为AC的中点，∴OPAE，从而OP⊥平面ABCD.又OA⊥OB，∴OA，OB，OP两两垂直，得BF＝2.如图，建立空间直角坐标系O－xyz，则B(0,2,0)，E(2，0,3)，F(0，2,2)，P(0,0,3)，∴＝(2，－2,3)，＝(2，0,0)，＝(0,2，－1)．设平面EFGH的法向量为n＝(x，y，z)，由得令y＝1，则z＝2.∴n＝(0,1,2)．设BE与平面EFGH所成角为θ，则sin θ＝＝.B卷5．(广东广州综合测试)已知点C(1,0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【解析】(1)连接CP，OP.由·＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|.易知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9.设点P(x，y)，则(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简得x2－x＋y2＝4.(2)存在．根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p>0)上，其中＝1.∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，联立化简得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4.由x≥0，故取x＝1，此时y＝±2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．6．(北京顺义区二模)已知函数f(x)＝e2x＋mx，其中m≤0.(1)当m＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若不等式f(x)＞0在定义域内恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)当m＝－1时，f(x)＝e2x－x，则f′(x)＝2e2x－1，∴f′(0)＝1.又f(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1.(2)f(x)的定义域为R，且f′(x)＝2e2x＋m，m≤0.当m＝0时，f(x)＝e2x＞0恒成立，满足条件．当m＜0时，由f′(x)＞0，解得x＞ln，∴f(x)在内单调递增，在内单调递减．∴f(x)在x＝ln处取得最小值.∴＞0，解得－2e＜m＜0.综上，当m∈(－2e,0]时，不等式f(x)＞0在定义域内恒成立．