高考数学(理数)二轮复习专题14《大题专项》练习03 (含答案详解)

大题专项训练3　概率与统计

1．(北京东城区二模)某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10：00在该银行取号后等待办理业务的人数，如图所示：

从这15天中，随机选取一天，随机变量X表示当天上午10：00在该银行取号后等待办理业务的人数．

(1)请把X的分布列补充完整；

(2)令μ为X的数学期望，若P(μ－n≤X≤μ＋n)＞0.5，求正整数n的最小值；

(3)由图判断，从哪天开始的连续五天上午10：00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？(结论不要求证明)

【解析】(1)X的分布列如下：

(2)由(1)可得X的数学期望EX＝8×＋9×＋10×＋11×＋12×＋13×＋14×＝10，

∴μ＝10.

∵P(10－1≤X≤10＋1)＝＜0.5，P(10－2≤X≤10＋2)＝＞0.5，∴n＝2.

(3)由图判断，从第10日或第11日开始的连续五天上午10：00，在该银行取号后等待办理业务的人数均值最大.

2．(安徽黄山质检)某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．

(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；

(2)估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值)；

(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将(2)的结果填入空白栏，并求y关于x的回归方程．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.

【解析】(1)设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形的面积总和为1，

可知(0.08＋0.10＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02)×m＝1，解得m＝2.

∴图中各小长方形的宽度为2.

(2)由(1)可知各小组依次是[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，

各小组的中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，

∴可估计平均值为1×0.16＋3×0.20＋5×0.28＋7×0.24＋9×0.08＋11×0.04＝5(万元)．

(3)空白栏中填5.

＝＝3，＝＝3.8，

iyi＝1×2＋2×3＋3×2＋4×5＋5×7＝69，

＝12＋22＋32＋42＋52＝55，

∴＝＝1.2，＝3.8－1.2×3＝0.2.

∴回归方程为＝1.2x＋0.2.

3．(江苏)在平面直角坐标系xOy中，设点集An＝{(0,0)，(1,0)，(2,0)，…，(n,0)}，Bn＝{(0,1)，(n,1)}，Cn＝{(0,2)，(1,2)，(2,2)，…，(n,2)}，n∈N*.令Mn＝An∪Bn∪Cn.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．

(1)当n＝1时，求X的概率分布；

(2)对给定的正整数n(n≥3)，求概率P(X≤n)(用n表示)．

【解析】(1)当n＝1时，A1＝{(0,0)，(1,0)}，B1＝{(0,1)，(1,1)}，C1＝{(0,2)，(1,2)}，

则Mn中有6个点，从中任取两个不同的点，有C＝15种取法．

如图所示，D0D1＝E0E1＝F0F1＝D0E0＝E0F0＝D1E1＝E1F1＝1，

D0E1＝D1E0＝E0F1＝E1F0＝，D0F0＝D1F1＝2，D0F1＝D1F0＝，

所以X的所有可能取值为1，，2，，

P(X＝1)＝，P(X＝)＝，P(X＝2)＝，P(X＝)＝.

所以X的概率分布为

(2)Mn中共有(2n＋4)个点，设G和H是从Mn中取出的两个点，

因为P(X≤n)＝1－P(X>n)，所以可先考虑X>n的情况．

①若G，H都在An中，或都在Bn中，或都在Cn中，则GH≤n，不存在X>n的情况．

②若G，H中一个在Bn中，另一个在An或Cn中，

则GH的可能取值为，，，…，，，

由n≥3，可得<n<，

所以满足X>n的有E0Dn，E0Fn，EnD0，EnF0共4种情况．

③若G，H中一个在An中，另一个在Cn中，

则GH的可能取值为，，，…，，，

由n≥3，可得<n<，

所以满足X>n的有D0Fn，DnF0共2种情况．

所以P(X>n)＝.

所以P(X≤n)＝1－＝.

4．(山东烟台一模)在北京召开的中央政治局会议通过了《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想．某市为响应国家号召，在2016年种植了一批树苗，市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：

(1)求树高在225～235 cm之间树苗的棵数；

(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185～205 cm为合格，在205～235 cm为良好，在235～265 cm为优秀，视该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中随机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数ξ的分布列和数学期望；

(3)经验表明树苗树高X～N(μ，σ2)，用样本的平均值作为μ的估计值，用样本的方差(四舍五入保留整数)作为σ2的估计值，试求该批树苗小于等于255.4 cm的概率．

(参考数据：≈16.45，≈17.45，≈18.45)

附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.997 4.

【解析】(1)树高在205～235 cm之间的棵数为100×[1－(0.005×3＋0.015＋0.020＋0.025＋0.01)×10]＝15.

(2)由(1)知树高为优秀的概率为0.1＋0.05＋0.05＝0.2.

ξ的所有可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝0)＝C0.83＝0.512，

P(ξ＝1)＝C0.82×0.2＝0.384，

P(ξ＝2)＝C0.8×0.22＝0.096，

P(ξ＝3)＝C0.23＝0.008.

∴ξ的分布列为

数学期望E(ξ)＝3×0.2＝0.6.

(3)易求得μ＝220.5，σ2＝304.75≈305，∴σ＝17.45.

∴P(X≤255.4)＝P(X≤μ＋2σ)≈1－

＝0.977 2.