高考数学(理数)二轮复习专题14《大题专项》练习04 (含答案详解)

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大题专项训练4　立体几何1．(湖南衡阳一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PB＝PC＝PD.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)若PA＝2，求二面角A－PD－B的余弦值．【解析】(1)证明：连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形．取BC中点E，连接AE，PE.∵E为BC的中点，∴在△ABC中，BC⊥AE.∵PB＝PC，∴BC⊥PE.又∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.又PA⊂平面PAE，∴BC⊥PA.同理可得CD⊥PA.又∵BC∩CD＝C，∴PA⊥平面ABCD.(2)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则B(，－1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，＝(0,2，－2)，＝(－，3,0)．设平面PBD的法向量为m＝(x，y，z)，则取x＝，得m＝(，1,1)．取平面PAD的法向量n＝(1,0,0)，则cos〈m，n〉＝＝.∴二面角A－PD－B的余弦值为.2．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除了A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC＝EB，DC∥EB，AB＝4，tan∠EAB＝.(1)求证：平面ADE⊥平面ACD；(2)当AC＝BC时，求二面角D－AE－B的余弦值．【解析】(1)证明：∵AB是半圆O的直径，∴BC⊥AC.∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥CB.∴BC⊥平面ACD.∵CDEB，∴四边形BCDE是平行四边形．∴BC∥DE，∴DE⊥平面ACD.∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD.(2)EB＝AB·tan∠EAB＝4×＝1，AC＝BC＝2.建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则D(0,0,1)，E(0，2，1)，A(2，0,0)，B(0,2，0)．∴＝(－2，2，0)，＝(0,0,1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－1)．设平面DAE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令x1＝1，得z1＝2，∴n1＝(1,0,2)．设平面ABE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则即令x2＝1，得y2＝1，∴n2＝(1,1,0)．∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.易知二面角D－EA－B为钝角，∴二面角D－EA－B的余弦值为－.3．如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．【解析】(1)证明：在正方形AMDE中，∵AM∥DE，∴AB∥DE.又∵AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AB∥平面PDE.∵AB⊂平面ABF，平面ABF∩平面PDE＝FG，∴AB∥FG.(2)∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE.如图，建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)．∴＝(1,1,0)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)．设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－1，∴n＝(0，－1,1)．设直线BC与平面ABF所成角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝.∴直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u，v，w)．∵点H在棱PC上，∴可设＝λ(0＜λ＜1)，即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)，∴u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.∵n是平面ABF的一个法向量，∴n·＝0，即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝.∴点H的坐标为，∴PH＝＝2.4．(北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E为PD的中点，点F在PC上且＝.(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角F－AE－P的余弦值；(3)设点G在PB上且＝，判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【解析】(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.(2)以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．∵E为PD的中点，点F在PC上且＝，∴E(0,1,1)，F.∴＝(0,1,1)，＝.设平面AEF的法向量m＝(x，y，z)，则取x＝1，得m＝(1,1，－1)．易得平面AEP的一个法向量为n＝(1,0,0)．设二面角F－AE－P的平面角为θ，由图形可得θ为锐角，则cos θ＝＝＝，∴二面角F－AE－P的余弦值为.(3)直线AG在平面AEF内，理由如下：∵点G在PB上且＝，B(2，－1,0)，P(0,0,2)，∴G.∴＝.∵平面AEF的一个法向量为m＝(1,1，－1)，m·＝0，即m⊥.又A在平面AEF内，∴直线AG在平面AEF内．