高考数学(理数)二轮复习专题14《小题(12+4)专项》练习02 (含答案详解)

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小题专项训练2　函数的图象与性质一、选择题1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)A．[0，＋∞)　 B．(1，＋∞)C．[0,1)∪(1，＋∞)　 D．[0,1)【答案】C【解析】由题意知x≥0且x≠1.故选C．2．(福建厦门模拟)设函数f(x)＝则f(log26)的值为(　　)A．3　　　 B．6　　C．8　 D．12【答案】D【解析】因为log24<log26<log28，即2<log26<3，所以f(log26)＝f(log26＋1)＝2log26＋1＝2log212＝12.故选D．3．(北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为　　A．1010.1　 B．10.1　　C．lg 10.1　 D．10－10.1【答案】A【解析】设太阳的星等是m1＝－26.7，天狼星的星等是m2＝－1.45，由题意可得－1.45－(－26.7)＝lg，所以lg＝10.1，则＝1010.1.故选A．4．(上海)已知ω∈R，函数f(x)＝(x－6)2·sin ωx，存在常数a∈R，使得f(x＋a)为偶函数，则ω可能的值为(　　)A．　 B．　　C．　 D．【答案】C【解析】若f(x＋a)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．又y＝(x－6)2关于x＝6对称，所以a＝6且y＝sin ωx也关于x＝6对称．所以6ω＝＋kπ，k∈Z.当k＝1时，得ω＝.故选C．5．(浙江)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0且a≠1)的图象可能是(　　)A　　　　　B　　　　 　C　　　　　D【答案】D【解析】当0＜a＜1时，y＝是增函数，图象恒过(0,1)，y＝loga是减函数，图象恒过，排除A，B；当a＞1时，y＝是减函数，图象恒过(0,1)，y＝loga是增函数，图象恒过，排除C．故选D．6．若f(x)＝是奇函数，则f(g(－2))的值为(　　)A．1　 B．－1　　　　 C．　 D．－【答案】A【解析】因为f(x)是奇函数，所以当x＜0时，g(x)＝－＋3.所以g(－2)＝－1，f(g(－2))＝f(－1)＝g(－1)＝1.7．函数y＝f(x)在区间[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)A．f(1)<f<f B．f<f(1)<fC．f<f<f(1) D．f<f(1)<f【答案】B【解析】∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，即f(x)的图象关于x＝2对称．又∵y＝f(x)在区间[0,2]上单调递增，∴y＝f(x)在区间[2,4]上单调递减．∵f(1)＝f(3)，>3>，∴f<f(3)<f，即f<f(1)<f.8．如图，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体的表面相交于M，N两点，设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　) A B C D【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，当P移动到体对角线BD1的中点O时，函数y＝MN＝AC＝取得唯一的最大值，排除A，C；当P在BO上时，分别过M，N，P作底面的垂线，垂足分别为M1，N1，P1，则y＝MN＝M1N1＝2BP1＝2xcos∠D1BD＝x，是一次函数，排除D．故选B．9．若函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)A．有最大值　　 B．有最小值 C．是增函数　 D．是减函数【答案】C【解析】∵f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴为x＝a，∴a<1.g(x)＝＝x＋－2a.若a≤0，则g(x)＝x＋－2a在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；若0<a<1，则g(x)＝x＋－2a在(，＋∞)上单调递增，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增．综上可得g(x)＝x＋－2a在(1，＋∞)上一定是增函数．10．(湖南名校高三联考)已知函数f(x)＝(ex－e－x)x2，若实数m满足f(log3m)－f(logm)≤2f(1)，则实数m的取值范围为(　　)A．(0,3]　　　　　 B．C．(0,9]　 D．∪(3，＋∞)【答案】A【解析】由题意得函数的定义域为R，∵f(－x)＝(e－x－ex)(－x)2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又当x≥0时，f′(x)＝(ex＋e－x)x2＋(ex－e－x)·2x≥0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则在R上奇函数f(x)为增函数，∴f(log3m)－f(logm)＝f(log3m)－f(－log3m)＝2f(log3m)≤2f(1)，即f(log3m)≤f(1)，∴log3m≤1，解得0<m≤3.故选A．11．已知定义在D＝[－4,4]上的函数f(x)＝若存在x1，x2∈D，对任意x∈D，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最大值与最小值之和为(　　)A．7　 B．8　　C．9　 D．10【答案】C【解析】作出f(x)的图象如图所示，由任意x∈D，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，知f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，由图可知|x1－x2|max＝8，|x1－x2|min＝1，所以|x1－x2|的最大值与最小值之和为9.12．(新课标Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是A．　 B．C．　 D．【答案】B【解析】因为f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－1)．因为x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)∈，所以x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)∈，所以x∈(2,3]时，x－1∈(1,2]，f(x)＝2f(x－1)＝4(x－2)(x－3)∈[－1,0]．f(x)的大致图象如图所示．由4(x－2)(x－3)＝－，解得x＝或x＝.若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则由图象可知m≤.二、填空题13．已知函数f(x)＝(a＞0)在(2，＋∞)上为单调递增函数，则实数a的取值范围为________．【答案】(0,4]【解析】f(x)＝x＋，则f′(x)＝1－.由题意知在(2，＋∞)上f′(x)≥0，所以a≤x2，则0＜a≤4.14．已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2,4]时，f(x)＝，则f的值为________．【答案】【解析】∵f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数，∴f＝f＝f＝f.又当x∈[2,4]时，f(x)＝，∴f＝f＝＝|log42|＝.15．(新课标Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.【答案】－2【解析】f(a)＋f(－a)＝ln(－a)＋ln(＋a)＋2＝2，则f(－a)＝2－f(a)＝2－4＝－2.16．已知函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．给出下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题的序号是________．【答案】②③④【解析】对于①，当x1＝2，x2＝－2时，f(x1)＝4＝f(x2)，①错误；对于②，f(x)＝2x为单调递增函数，②正确；③④显然正确．故真命题的是②③④.