高考数学(理数)二轮复习专题14《小题(12+4)专项》练习03 (含答案详解)

小题专项训练3　不等式

一、选择题

1．(山东临沂模拟)已知集合A＝{x|x2<x＋2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，－1]　 B．(－∞，2]

C．[2，＋∞)　 D．[－1，＋∞)

【答案】C

【解析】解不等式x2<x＋2，得－1<x<2，则A＝{x|x2<x＋2}＝{x|－1<x<2}．又B＝{x|x<a}，要使A⊆B，则a≥2.故选C．

2．(山西运城模拟)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)

A．ac>bd　 B．ac<bd

 C．ad<bc　 D．ad>bc

【答案】B

3．(北京)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为(　　)

A．－7　 B．1　　

C．5　 D．7

【答案】C

【解析】由|x|≤1－y，可得y－1≤x≤1－y，即x－y＋1≥0且x＋y－1≤0.作出不等式组表示的平面区域，解相应的方程组可得A(2，－1)，B(－2，－1)，C(0，1)．令z＝3x＋y，化为y＝－3x＋z，由图可知，当直线y＝－3x＋z过点A(2，－1)时，z有最大值为3×2－1＝5.故选C．

4．(湖南模拟)周长为20的矩形绕其一边旋转形成一个圆柱，该圆柱的侧面积的最大值是(　　)

A．25π　 B．50π　　

C．100π　 D．200π

【答案】B

【解析】设矩形的两邻边长分别为x，y且y为圆柱的高，则x＋y＝10，圆柱的侧面积S＝2πxy≤2π2＝50π，当x＝y＝5时等号成立，所以该圆柱侧面积的最大值为50π.故选B．

5．若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a的值为(　　)

A．　 B．　　

C．　　　　  D．

【答案】A

【解析】由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0.因为a>0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a.由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝.

6．若实数x，y满足条件则z＝的最小值为(　　)

A．1　 B．　　

C．　 D．

【答案】D

【解析】作出实数x，y满足条件的平面区域如图．z＝的几何意义是点P(x，y)与点D(－1,0)连线的斜率．易求得A(1,1)，由图可知当P经过A时，z取得最小值＝.

7．已知a>0，函数f(x)＝ax2－(a2＋1)x＋a，若f(x)<0在x∈(1,2)时恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．　 B．∪[2，＋∞)

C．(0,2]　 D．[2，＋∞)

【答案】B

【解析】由题意知解得0<a≤或a≥2.

8．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为(　　)

A．1　 B．2　　　　

C．　　　　  D．

【答案】C

【解析】令x＋2＝a，y＋1＝b，则a＋b＝4(a＞2，b＞1)，所以＋＝＋＝(a＋b)＝≥(5＋4)＝，当且仅当a＝，b＝，即x＝，y＝时取等号，所以＋的最小值为.

9．(甘肃兰州诊断)设变量x，y满足不等式组则x2＋y2的最小值是(　　)

A．　 B．2　　　　

C．　　　　  D．

【答案】A

【解析】约束条件所表示的可行域为一个三角形，而目标函数可视为可行域内的点到原点的距离的平方，其距离的最小值为原点到直线x＋y＝3的距离．∵原点到直线x＋y＝3的距离为，∴x2＋y2的最小值为.

10．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A原料2千克、B原料4千克，生产乙产品每件需用A原料3千克、B原料2千克．A原料每日供应量限额为60千克，B原料每日供应量限额为80千克．要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，则合理安排生产可使每日获得的最大利润为(　　)

A．500元　 B．550元

C．600元　　　　  D．650元

【答案】D

【解析】设每日生产甲、乙两种产品分别为x，y件，则x，y满足设每日获得的利润z＝30x＋20y，画出不等式组所表示的平面区域如图所示．根据目标函数z＝30x＋20y的几何意义知，当目标函数对应的直线20y＋30x－z＝0，过B点时z取最大值．由解得B(15,10)，所以zmax＝30×15＋20×10＝650.故选D．

11．(河北邢台检测)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】C

【解析】∵圆心到直线的距离d＝，则直线被圆截得的弦长L＝2＝2＝2，∴4a2＋b2＝4.t＝a＝×(2a)×≤××＝ (8a2＋1＋2b2)＝，当且仅当时等号成立，此时a＝.

12．(江苏联考)已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围为(　　)

A．(5,6)　 B．(3,4)

C．(1,2)　 D．

【答案】D

【解析】由x＋y＋4＝2xy≤，得(x＋y)2－2(x＋y)－8≥0，又x，y是正实数，得x＋y≥4.由x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，可得(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0，则a≤x＋y＋.易得当x＋y＝4时，x＋y＋取得最小值，所以a≤.故选D．

二、填空题

13．不等式≤0的解集为________．

【答案】

【解析】原不等式等价于解得－<x≤1.

14．(广东惠州模拟)已知实数x，y满足若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a的值为________．

【答案】2

【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2×＝－4，解得a＝2.

15．(江苏扬州中学检测)已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)＞1的解集为________．

【答案】(－1,0)

【解析】因为f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a≠0)，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0，所以f(x)必有两个不同的零点．所以f(－2)f(－1)＜0，即(6a＋5)(2a＋3)＜0，解得－＜ a＜－.又a∈Z，所以a＝－1.不等式f(x)＞1，即－x2－x＞0，解得－1＜x＜0.

16．(天津)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．

【答案】4

【解析】＝＝＝2＋≥2＝4，当且仅当2＝，即或时等号成立，所以的最小值为4.