高考数学(理数)二轮复习专题14《小题(12+4)专项》练习04 (含答案详解)

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小题专项训练4　函数与导数一、选择题1．(天津模拟)下列求导运算正确的是(　　)A．(cos x)′＝sin x　 B．(log2x)′＝C．()′＝　 D．(3x)′＝3xlog3e【答案】C【解析】(cos x)′＝－sin x，A错误；(log2x)′＝，B错误；()′＝()′＝×·＝，C正确；(3x)′＝3xln 3，D错误．故选C．2．(江西模拟)已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为(　　)A．　　　　 B．1　　C．　 D．【答案】D【解析】因为f(x)＝ln(ax－1)，所以f′(x)＝.所以f′(2)＝＝2，解得a＝.3．(福建宁德模拟)函数f(x)＝3＋xln x的单调递减区间是(　　)A．　 B．C．　 D．【答案】B【解析】由f(x)＝3＋xln x，得定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝ln x＋1，令ln x＋1<0，解得0<x<.故选B．4．已知函数y＝f(x)满足f(1)＝2，f′(1)＝－1，则曲线g(x)＝exf(x)在x＝1处的切线斜率是(　　)A．－e　　　　　　　 B．e　　C．2e　 D．3e【答案】B【解析】∵g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)，∴g′(1)＝ef(1)＋ef′(1)＝e.5．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则a－b的值为(　　)A．21　 B．－21 　　C．27　 D．－27【答案】A【解析】因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以⇒所以a－b＝－3＋24＝21.6．(内蒙古模拟)函数f(x)＝xsin x的图象在点处的切线的倾斜角为(　　)A．　 B．　　C．　 D．【答案】C【解析】由f(x)＝xsin x，得f′(x)＝sin x＋xcos x，则f′＝sin＋cos＝－1.由导数的几何意义可得切线的斜率k＝－1，则切线的倾斜角为.故选C．7．f(x)是一次函数，过点(2,3)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象与坐标轴围成的三角形的面积为(　　)A．1　 B．　　　　 C．　 D．【答案】C【解析】设f(x)＝kx＋b(k≠0)，由题意得2k＋b＝3，①(kx＋b)dx＝0，＝0，即k＋b＝0，②联立①②，解得k＝2，b＝－1，所以f(x)＝2x－1.直线y＝f(x)与坐标轴的交点分别为与(0，－1)，所以所求的面积为××1＝.8．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为x(x∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为(　　)A．3.1%　 B．3.2%　　C．3.4%　 D．3.5%【答案】B【解析】依题意知存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0<x<0.048)，故y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0，解得x＝0.032或x＝0(舍去)．当0<x<0.032时，y′>0；当0.032<x<0.048时，y′<0.∴当x＝0.032时，y取得极大值也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．9．(宁夏银川二模)设f(x)是定义在非零实数集上的函数，f′(x)为其导函数，且x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，记a＝，b＝，c＝，则(　　)A．a＜b＜c　 B．c＜a＜b C．b＜a＜c　　　　 　 D．c＜b＜a【答案】B【解析】令g(x)＝，则g′(x)＝.∵x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又log25＞log24＝2,1＜20.2＜2,0.22＝0.04，∴log25＞20.2＞0.22，∴g(log25)＜g(20.2)＜g(0.22)，∴c＜a＜b.10．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则函数y＝log2的单调递减区间为(　　)A．　 B．(3，＋∞)C．　 D．(－∞，－2)【答案】D【解析】∵f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3.由f(x)的图象，可得f′(x)在(－∞，－2)上大于0且单调递减，故y＝log2的单调递减区间为(－∞，－2)．故选D．11．(浙江)设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则(　　)A．a＜－1，b＜0　　　　 B．a＜－1，b＞0C．a＞－1，b＜0　　　　 D．a＞－1，b＞0【答案】C【解析】当x＜0时，由y＝f(x)－ax－b＝(1－a)x－b＝0，得x＝，y＝f(x)－ax－b有一个零点；当x≥0时，y＝f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2＋ax－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，y′＝x2－(a＋1)x，当a＋1≤0，即a≤－1时，y′≥0，y＝f(x)－ax－b在[0，＋∞)上递增，y＝f(x)－ax－b最多有一个零点，不合题意；当a＋1＞0，即a＞－1时，令y′＝0，得x＝a＋1，易知函数在(a＋1，＋∞)上递增，在(0，a＋1)上递减，函数最多有2个零点．函数恰有3个零点，则y＝f(x)－ax－b在(－∞，0)上有一个零点，在(0，＋∞)上有2个零点．所以＜0且即得b<0，－1<a<1.故选C．12．(天津)已知a∈R.设函数f(x)＝若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为(　　)A．[0,1]　 B．[0,2]C．[0，e]　 D．[1，e]【答案】C【解析】当x＝1时，f(1)＝1－2a＋2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f(x)＝x2－2ax＋2a≥0恒成立，等价于2a≥恒成立．令g(x)＝＝－＝－＝－＝－≤－＝0，∴2a≥g(x)max＝0，∴a≥0.当x＞1时，f(x)＝x－aln x≥0恒成立，等价于a≤恒成立．令h(x)＝，则h′(x)＝.当x＞e时，h′(x)＞0，h(x)递增；当1＜x＜e时，h′(x)＜0，h(x)递减．∴x＝e时，h(x)取得最小值h(e)＝e.∴a≤h(x)min＝e.综上，a的取值范围是[0，e]．二、填空题13．(浙江台州模拟)已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x＋5，则f′(1)＝__________，f′(2)＝__________.【答案】1　2【解析】显然f′(1)为常数，则f′(x)＝x2－2f′(1)x＋2，可得f′(1)＝1－2f′(1)＋2，解得f′(1)＝1.所以f′(x)＝x2－2x＋2，则f′(2)＝2.14．(云南昆明模拟)已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.【答案】4【解析】由题意得f′(x)＝aln x＋a，∴f′(1)＝a.∵f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，∴a＝2.又f(1)＝b，∴2×1－b＝0，解得b＝2.故a＋b＝4.15．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在区间[2,4]上是单调增函数，则实数a的取值范围为________．【答案】[－e2，＋∞)【解析】∵f(x)在区间[2,4]上是单调递增函数，∴f′(x)≥0在区间[2,4]上恒成立，即(x－1)ex＋a≥0在区间[2,4]上恒成立．记g(x)＝(x－1)ex＋a，则g′(x)＝xex.∵x∈[2,4]，∴g′(x)＞0，故g(x)在[2,4]递增，∴g(x)min＝g(2)＝e2＋a≥0，解得a≥－e2.16．(东北三校联考)已知函数f(x)＝xln x＋x2，x0是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：①0<x0<；②x0>；③f(x0)＋x0<0；④f(x0)＋x0>0.其中正确的命题是________．(填出所有正确命题的序号) 【答案】①③【解析】由已知得f′(x)＝ln x＋x＋1(x>0)，显然的f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′＝>0，x→0时，f′(x)<0.x0是f(x)的极值点，∴f′(x0)＝0，则0<x0<，①正确，②错误；∵ln x0＋x0＋1＝0，∴f(x0)＋x0＝x0ln x0＋x＋x0＝x0(ln x0＋x0＋1)－x＝－x<0，③正确，④错误．综上，①③正确．