高考数学(理数)二轮复习专题14《小题(12+4)专项》练习14 (含答案详解)

小题专项训练14　直线与圆

一、选择题

1．(天津模拟)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)

A．1　 B．4　　

C．1或3　 D．1或4

【答案】A

【解析】依题意得＝1，解得m＝1.

2．(云南曲靖模拟)方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在(　　)

A．第一象限　　 B．第二象限

C．第三象限　 D．第四象限

【答案】D

【解析】方程化为2＋(y－a)2＝－a2－3a，圆心坐标为，同时满足－a2－3a>0，解得－4<a<0，故－>0，则该圆的圆心在第四象限．

3．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，则圆C的标准方程为(　　)

A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5　 B．(x－2)2＋(y－3)2＝5

C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5　 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5

【答案】D

【解析】设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，故解得故圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.

4．(宁夏石嘴山三中月考)已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为(　　)

A．±　 B．±　　

C．±　 D．±1

【答案】D

【解析】圆x2＋y2－4x＋2＝0的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，∴圆心(2,0)，半径为.∵直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，∴＝，∴m＝1或－1.故选D．

5．(吉林大学附属中学月考)已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，若圆C上存在点P，使得·＝0，则t的最小值为(　　)

A．3　 B．2　　

C．　 D．1

【答案】D

【解析】由题意可得点P的轨迹方程是以AB为直径的圆，当两圆外切时有＝tmin＋1⇒tmin＝1，即t的最小值为1.

6．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过点(0,3)且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)

A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0

B．3x＋4y－12＝0或x＝0

C．4x－3y＋9＝0或x＝0　　　　

D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0

【答案】B

【解析】圆C的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心C(1,1)，半径为2.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，可求得弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2，可知圆心到该直线的距离为1，∴＝1，解得k＝－，∴直线l的方程为3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.

7．(广西南宁一模)直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为(　　)

A．或　　 B．－或

C．－或　　 D．

【答案】A

【解析】圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为(2,3)，半径r＝2，圆心(2,3)到直线y＝kx＋3的距离d＝.因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以由勾股定理得r2＝d2＋2，即4＝＋3，解得k＝±，故直线的倾斜角为或.

8．在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2＋y2＝12和C2：x2＋y2＝14，又点A坐标为(3，－1)，M，N是C1上的动点，Q是C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的有(　　)

A．0个　 B．2个　　

C．4个　 D．无数个

【答案】D

【解析】任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1于M，N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．

9．在平面直角坐标系中，已知点P(3,0)在圆C：(x－m)2＋(y－2)2＝40内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－3，－1]　 B．[7,9)

C．(－3，－1]∪[7,9)　 D．(－3,9)

【答案】C

【解析】圆C的圆心C(m,2)，半径r＝2，∴S△ABC＝r2sin∠ACB＝20sin∠ACB.当∠ACB＝时，S△ABC取得最大值20，此时△ABC为等腰直角三角形，|AB|＝r＝4，则点C到直线AB的距离为2，∴2≤|PC|<2，即2≤<2，解得－3<m≤－1或7≤m<9.故选C．

10．已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，给出下列结论：①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；②2ax1＋2by1＝a2＋b2；③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b.其中正确结论的个数是(　　)

A．0　 B．1　　

C．2　　　　  D．3

【答案】D

【解析】两圆方程相减，得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，故②正确；分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入2ax＋2by＝a2＋b2，得2ax1＋2by1＝a2＋b2,2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减，得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故①正确；由圆的性质可知线段AB与线段C1C2互相平分，x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故③正确．故选D．

11．(黑龙江大庆实验中学模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A．6－2　 B．5－4

C．－1　　　 D．

【答案】B

【解析】圆C1关于x轴对称的圆C1′的圆心为C1′(2，－3)，半径不变，圆C2的圆心为(3,4)，半径r＝3，|PM|＋|PN|的最小值为圆C1′和圆C2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为－1－3＝5－4.

12．已知抛物线C1：x2＝2y的焦点为F，以F为圆心的圆C2交C1于A，B两点，交C1的准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆C2的标准方程为(　　)

A．x2＋2＝4　 B．2＋y2＝4

C．x2＋2＝2　　　　  D．2＋y2＝2

【答案】A

【解析】由题设知抛物线的焦点为F，∴圆C2的圆心坐标为.∵四边形ABCD是矩形，∴BD，AC为直径．又F为圆C2的圆心，∴点F为该矩形的两条对角线的交点．∴点F到直线CD的距离与点F到直线AB的距离相等．又直线CD的方程为y＝－，点F到直线CD的距离为1，∴直线AB的方程为y＝，可取A.∴圆C2的半径r＝|AF|＝＝2.∴圆C2的标准方程

为x2＋2＝4.故选A．

二、填空题

13．已知直线x＋y－1＝0与直线2x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是________．

【答案】

【解析】∵＝≠，∴m＝2，两平行线之间的距离d＝＝.

14．已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于点P，若2＝，则直线l的斜率k＝________.

【答案】±2

【解析】依题意，点A是线段PB的中点，|PC|＝|PA|＋|AC|＝3.过圆心C(3,5)作y轴的垂线，垂足为C1，则|CC1|＝3，|PC1|＝＝6.设直线l的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝＝2，得k＝±2.

15．已知f(x)＝x3＋ax－2b，若f(x)的图象在点P(1，－2)处的切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，则3a＋2b＝________.

【答案】－7

【解析】由题意得f(1)＝－2，即a－2b＝－3.∵f′(x)＝3x2＋a，∴f(x)的图象在点(1，－2)处的切线方程为y＋2＝(3＋a)(x－1)，即(3＋a)x－y－a－5＝0.∴＝，解得a＝－.∴b＝，∴3a＋2b＝－7.

16．(浙江嘉兴模拟)设M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，则M∩N≠∅时，a的最大值为________，最小值为________．

【答案】2＋2　2－2

【解析】因为集合M＝{(x，y)|y＝，a>0}，所以集合M表示以O(0,0)为圆心，半径为r1＝a的上半圆．同理，集合N表示以Q′(1，)为圆心，半径为r2＝a的圆上的点．这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO′|＝2.如图所示，当两圆外切时，由a＋a＝2，得a＝2－2；当两圆内切时，由a－a＝2，得a＝2＋2.所以a的最大值为2＋2，最小值为2－2.