高考数学(理数)二轮复习专题8《数学思想方法选讲》课件 (含详解)

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在中学数学里，有四个数学思想处于基础地位，是构建数学逻辑结构的基石，因而它们显得尤为重要．它们是函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和转化与化归思想．
函数思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图象和性质，使问题获解．方程思想，就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论，从而使问题获解．函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决．如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负)区间．再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)图象与x轴的交点问题．方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．
方向1　函数与方程思想在不等式中的应用例1 已知函数f(x)＝lg2x，x∈[2,16]，对于f(x)值域内的任意实数m，使x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为(　　)A．(－∞，－2]　　　　B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)　　　　D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
函数与方程思想在不等式问题中的应用要点(1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用函数的最值解决问题．(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
方向2　解决图象交点或方程根的问题
利用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题．(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决．
方向3　解决最值或参数范围问题
求最值或参数范围的技巧(1)充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解．(2)充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求解．(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决．(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数．
数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合，达到抽象思维和形象思维的和谐统一．通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．数形结合思想在高考中的应用大致可以分为两种情形：一是“以形助数”，借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是“以数定形”，借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
方向1　数形结合思想在函数与方程中的应用
利用数形结合讨论方程的解(或函数的零点)时，可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．
方向2　利用数形结合思想解决最值问题
利用数形结合思想解决最值问题的一般思路(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应的图象数形结合求解．
方向3　利用数形结合思想解决参数、不等式问题
(1)数形结合思想解决参数问题的步骤：①分析条件所给曲线．②画出图象．③根据图象求解．(2)当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．
(2019年云南昆明模拟)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，0)上是减函数，f(2)＝0，g(x)＝f(x＋2)，则不等式xg(x)≤0的解集是(　　)A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)　　　　B．[－4，－2]∪[0，＋∞)C．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)　　　　D．(－∞，－4]∪[0，＋∞)【答案】C
分类讨论思想，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论思想的解题策略是“化整为零，各个击破，再积零为整”．分类讨论的原则有三：一是不重不漏；二是标准要统一，层次要分明；三是能不分类的要尽量避免，决不无原则地讨论．分类讨论的流程可概括为：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．
方向1　由概念、法则、公式、运算、性质引起的分类讨论
“四步”解决由概念、法则、公式、运算、性质引起的分类与整合问题第一步：确定分类对象，一般把需要用到概念、法则、公式、运算、性质解决问题的对象作为分类目标．第二步：确定分类标准，运用概念、法则、公式、运算、性质对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”，对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”，将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．
方向2　由图形位置或形状引起的分类讨论
图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论；求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．
设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线T的离心率为________．
方向3　由参数引起的分类讨论
若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型．应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏．
(2019年广东汕头一模)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是(　　)A．[0,1]　　　　B．(0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)　　　　D．(－∞，0]∪[1，＋∞)【答案】A【解析】当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0化为8≥0，其对任意的x∈R恒成立；当k<0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0不能恒成立；当k>0时，要使不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，对于方程kx2－6kx＋k＋8＝0，需Δ＝36k2－4(k2＋8k)≤0，得0转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想的应用在高考中主要体现在以下几方面：(1)三角函数中，涉及三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．
(2)将一些复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的来求解．(3)解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇问题时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．(4)解决数列问题时，将非等差、等比数列转化为等差数列或等比数列求解．
方向1　特殊与一般的转化
化一般为特殊的应用(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．(2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案．(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
方向2　函数、方程、不等式之间的转化例11 设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数且f(－1)＝－1，若不等式f(x)≤t2－2at＋1(其中t≠0)对所有的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都成立，则实数t的取值范围为________．
函数、方程与不等式相互转化的应用函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题也需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
(2019年广西南宁模拟)设函数f(x)＝ln x－2x＋6，则f(x)零点的个数为(　　)A．0　B．1　C．2　D．3【答案】C
【解析】令f(x)＝0，则ln x＝2x－6.令g(x)＝ln x，h(x)＝2x－6(x>0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2.
方向3　正难则反的转化
正难则反的适用题型题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．