高考数学(理数)二轮复习专题11《创新题型与数学文化》课件 (含详解)

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随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的题型脱颖而出，为高考试题增添了活力．
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型．这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙，题意新颖，是考查学生综合素质和能力、挖掘学生潜力的较佳题型，因而受到命题者的青睐．
方向1　新定义集合与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性．
例1 (2019年辽宁沈阳模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(　　)A．15　　B．16　　C．20　D．21【解析】由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6.∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.【答案】D
与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
【答案】C【解析】记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.对于①，对任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于②，当A为点(1,0)时，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于③④，对任意A∈M，过原点O可作直线OB⊥OA，它们都与函数y＝ex－2及y＝sin x＋1的图象相交，即③④满足题意．故选C．
方向2　新定义函数新定义函数问题主要包括两类，一是概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应关系、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解．二是性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力．
【解析】根据题意，①中，[－1,0]与[0,1]及[－1,1]都是f(x)的“可等域区间”，满足；②中，f(x)＝2x2－1在[－1,1]的值域为[－1,1]，满足；③中，f(x)＝|1－2x|与y＝x的交点为(0,0)，(1,1)，其“可等域区间”为[0,1]，满足；④中，f(x)＝lg2(2x－2)与y＝x无交点，不满足．综上，“可等域函数”为①②③.【答案】①②③
求解函数新定义问题的思路(1)理解定义：深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．(2)合理转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已知函数的复合函数等形式解决问题．(3)特值思想：如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．
方向3　新定义数列通过定义一个新数列来创设问题情境，要求考生在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，依据题中提供的信息，联系所学过的数学知识和方法，将新定义的数列问题迁移到递推或等差、等比数列的知识上来，从而使问题得解．
例3 (2019年河南郑州模拟)意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”{an}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列各项被3整除后的余数构成一个新数列{bn}，则b2019＝________.【解析】观察“兔子数列”可知，各项被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，构成以8为周期的周期数列，所以b2019＝b3＝2.【答案】2
新定义数列问题的求解策略解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．
高等数学作为大学大多数专业的基础课程，有着广泛的应用，近几年，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，成为高考试卷的热点之一．
方向1　高斯函数(取整函数)高斯函数(取整函数)指不超过实数x的最大整数，称为x的整数部分，记作[x]或INT(x)，例如[－2.3]＝－3，[3.2]＝3，该函数被广泛应用于数论、绘图和计算机领域．高斯函数的相关问题在高考中常常以信息题的形式出现，主要考查取整函数的定义以及其运算性质，现通过一些例题来研究一下取整函数，希望同学们掌握好这类问题常用的处理方法．对于函数f(x)＝[x]，当0≤x