高考数学(理数)二轮复习专题12《解答题解题技巧》课件 (含详解)

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三角函数与解三角形主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形的知识较为常见，难度一般．三角函数解答题的关键在于变角和变式，常用的变角技巧有：(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤(1)转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理地将问题转化为三角函数问题．(2)用定理、公式、性质：利用正、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角关系的互化．(3)得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论三角函数的基本性质等．
【总结】高考试题中的三角函数解答题考得比较传统，难度较低，三角变换的基本要诀是“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”．在解题时，要紧紧抓住“变角、变式”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算．
数列解答题一般有两种考查方式，一是求数列的通项公式、等差及等比数列的判定及计算，难度较低．二是考查数列求和，难度中等或稍难．在进行等差、等比数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(或q)的方程组求解，但要注意消元法及整体代换，以减少计算量．数列求和的关键是分析其通项，若不能用公式法求和，则需要用错位相减法、裂项相消法、分组法、倒序相加法、并项法等方法进行转化．
方向1　等差数列与等比数列的综合计算例2 (2019年湖北武汉模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.(1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝13，求Sn.【解析】(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，①由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，②联立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
等差数列与等比数列综合计算的策略将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．
方向2　转化与化归思想在数列求和中的应用
错位相减法求和的关键步骤(1)巧拆分：把数列的通项公式分解为等差、等比数列，并求出公比．(2)构差式：先求出前n项和的表达式，然后乘以等比数列的公比，再将两式作差．(3)得结论：差式的特征准确求和．
已知等差数列{an}满足a2＝2，a1＋a4＝5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：b1＝3，b2＝6，{bn－an}为等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
【总结】等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中在数列求和时若考查的是非等差、等比数列问题，就需要我们通过转化与化归思想，将其转化为这两种数列．
立体几何解答题的基本模式是以某个几何体为依托，论证推理与计算相结合，第(1)问考查空间平行关系和垂直关系的证明，第(2)问考查空间角问题，有时也以探索论证的形式出现，要求有较强的运算能力，难度中等．解题的基本模式是“一证明二计算”．证明平行和垂直的核心是建模，即构建平行模型、垂直模型等．求解空间角的关键是合理建系，准确计算，同时要注意所求空间角是锐角还是钝角，可结合图形进行判断，以防结论出现错误．
(2)由(1)知CD⊥平面P1DA，CD⊂平面ABCD，∴平面P1DA⊥平面ABCD.∵△P1DA为锐角三角形，∴P1在平面ABCD内的射影必在棱AD上，记为O，连接P1O，则P1O⊥平面ABCD.∴∠P1DA是P1D与平面ABCD所成的角，∴∠P1DA＝60°.∵DP1＝DA＝2，∴△P1DA为等边三角形，O为AD的中点．故以O为坐标原点，过点O且与CD平行的直线为x轴，DA所在直线为y轴，OP1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设x轴与BC交于点M.
解决线面角与二面角的综合问题，通常是已知某个空间角求另一个空间角，题中数量关系存在未知量，一般解法是通过方程解出未知量，再求出另一个空间角．
【总结】立体几何解答题在高考中总体上比较稳定，因此复习备考时往往有纲可循，有题可依．在平时的学习中，要重视识图训练，能正确确定关键点或线的位置，将局部空间问题转化为平面模型，其中平行、垂直关系的判定与性质是立体几何的重点内容，空间角的计算是核心内容，高考试题不仅要求学生“能算”，还要求学生“会算”，这就要求我们在运算中讲究一定的策略与技巧．
概率、统计的解答题多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是频率分布直方图、茎叶图择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，二是频率分布直方图、茎叶图择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相交汇来考查．在新课标Ⅱ卷与Ⅲ卷中多出现在第18或19题的位置，难度中等，但在新课标Ⅰ卷中有越考越难的趋势，近两年都以压轴题的形式出现．解决统计、统计案例与样本估计总体交汇问题时，由于题目中给出的信息量大，在读题时要抓住关键转化构建数学模型，求解时，由于数据较多，要分清数据间的联系、计算准确；解决与离散型随机变量期望交汇问题时，细心读题，理解题意，理清条件中变量之间的关系．
方向1　统计与统计案例例5 (2019年广东广州综合测试)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X(单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿产量y(吨)与使用某种液体肥料的质量x(千克)之间的对应数据为如图所示的折线图．
(1)依据折线图计算相关系数r(精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值．
为探索课堂教学改革，某中学数学老师用“传统教学”和“导学案”两种教学方式分别在甲、乙两个班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计，得到如下茎叶图．记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
方向2　离散型随机变量及其分布列例6 (2019年广东顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．
(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5立方米内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求X的分布列、均值及方差．
离散型随机变量的均值与方差求法的关键点及注意点(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队．往年的智慧队和理想队的构成数据如表所示，现要求被选出的4名大学生中两队中的大学生都要有. (1)求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；(2)记选出的4名大学生中女生的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【总结】概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模型，问题便迎刃而解，而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途．另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件．
圆锥曲线解答题的常见类型是：第(1)问通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第(2)问往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等，这一问综合性较强．在求解时，要根据题目特征，恰当地设点、设线，设而不求，将整个解题过程分成三步：第一步：联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；
第二步：用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步：求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中．
方向1　圆与圆锥曲线的交汇问题例7 (2019年福建龙岩质检)在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为M.已知点N(1,0)，且T为圆M上的动点，线段TN的垂直平分线交TM于点P.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹为曲线C1，抛物线C2：y2＝2px的焦点为N.l1，l2是过点N且互相垂直的两条直线，直线l1与曲线C1交于A，C两点，直线l2与曲线C2交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．
求解圆与圆锥曲线的交汇问题，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、转化与化归等思想方法．
(2019年湖北武汉模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．【解析】设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入C，得x2－2pkx－2p＝0.则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
方向2　圆锥曲线与向量的交汇问题
解决圆锥曲线中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．
【总结】课程标准及高考大纲对数学运算的要求可分为三个层次，其中最高层次是“运算求解能力是思维能力与运算技能的结合”，即运算的思维性，这种思维性在解析几何解答题中得到了完美体现．因此，在遵循“设—列—解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈．
函数与导数解答题常以组合的函数为基础来命制，着眼于知识点的巧妙组合，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，第(1)问通常考查求曲线的切线方程、求函数的单调区间、由函数的极值点或知曲线的切线方程求参数，比较简单．第(2)问一般利用导数证明不等式、不等式恒成立、求参数的取值范围、函数的零点问题，注重对函数与方程、分类讨论、数形结合以及转化与化归等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和核心素养的考查，难度较大．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，再根据题意处理．
本例第(2)问中要证的不等式左边结构复杂，需要通过合理变形与拆分，转化为f(x)＜g(x)的形式，证明f(x)max＜g(x)min即可，在转化中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准．
本题是已知区间上有零点，求参数的范围问题，由于有些函数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面思考：(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；(2)先求导，分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解．
【总结】函数与导数压轴题在高考中承担着选拔优秀考生的任务，试题不会单一考查某一初等函数，而是将不同函数综合在一起考查，这就需要我们把已经糅合在一起的不同函数进行分离，可以参变量分离、把复杂函数分离为简单的基本函数、把题目分解成几个小题、把解题步骤分解为几个小步，也可以从逻辑上重新换叙，转化为我们熟悉的利于用导数工具求解的函数模型，同时要注意分类讨论、数形结合等数学思想的运用．