高考数学(理数)二轮复习专题13《高考热点链接4》课件 (含详解)

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【热点解读】离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注．
例1 (2018年北京)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
(3)由题意知ξk服从两点分布，则由两点分布的方差公式可得Dξ1＝0.4×(1－0.4)＝0.24，Dξ2＝0.2×(1－0.2)＝0.16，Dξ3＝0.15×(1－0.15)＝0.127 5，Dξ4＝0.25×(1－0.25)＝0.187 5，Dξ5＝0.2×(1－0.2)＝0.16，Dξ6＝0.1×(1－0.1)＝0.09，∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为：Dξ6＜Dξ3＜Dξ2＝Dξ5＜Dξ4＜Dξ1.
【名师点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查古典概型、两点分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
(2019年北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
【热点解读】近年来高考加强了函数与概率的结合考查，突出了组合、概率、离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生对新知识的理解与应用能力，以及利用所学知识解决遇到的问题的能力，解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型．
例2 (2017年新课标Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？【分析】(1)由题意知X的可能取值为200,300,500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．(2)当n≤200时，Y＝n(6－4)＝2n≤400，EY≤400；当200＜n≤300时，EY≤1.2×300＋160＝520；当300＜n≤500时，EY＜640－0.4×300＝520；当n＞500时，EY＜1 440－2×500＝440.从而得到当n＝300时，EY最大值为520元．
(2)当n≤200时，Y＝n(6－4)＝2n≤400，EY≤400.当200＜n≤300时，若X＝200，则Y＝200×(6－4)＋(n－200)×(2－4)＝800－2n，若X≥300，则Y＝n(6－4)＝2n，∴EY＝P(X＝200)×(800－2n)＋P(X≥300)×2n＝0.2(800－2n)＋0.8×2n＝1.2n＋160，∴EY≤1.2×300＋160＝520.当300＜n≤500时，若X＝200，则Y＝800－2n，若X＝300，则Y＝300×(6－4)＋(n－300)×(2－4)＝1 200－2n，
【名师点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力．第一问的关键是明确X的取值；第二问的关键是正确的分类讨论思想的应用．
(2019年福建模拟)某工厂A，B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知A，B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p－1(0.5≤p<1)．(1)从A，B生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0.(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．①已知A，B生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元．若从两条生产线上各随机抽检1 000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？
②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后，每件分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图．用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X，求X的分布列并估算该厂产量2 000件时利润的期望值．
【解析】(1)由题意得两件都不合格的概率为(1－p)[1－(2p－1)]，则至少有一件合格的概率为1－(1－p)[1－(2p－1)]＝－2p2＋4p－1，由－2p2＋4p－1≥99.5%，解得0.95≤p≤1.05.又0.5≤p<1，所以p的最小值p0＝0.95.(2)由(1)知A，B生产线的合格率分别为0.95,0.9，即不合格率分别为0.05,0.1.①设从A，B生产线上各抽检1 000件产品，抽到不合格产品的件数分别为X1，X2.则有X1～B(1 000,0.05)，X2～B(1 000,0.1)，所以A，B生产线上挽回损失的平均数分别为E(5X1)＝5E(X1)＝5×1 000×0.05＝250，E(3X2)＝3E(X2)＝3×1 000×0.1＝300.