人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教案，共15页。教案主要包含了设计意图，做一做1，做一做2，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，变式探究，巩固练习3等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第二节《平面向量的运算》。以下是本节的课时安排：
在学生掌握平面向量加法、减法、数乘运算的基础上，再让学生了解向量的数量积运算，理解投影的意义，能用向量语言和方法，表述和解决数学和物理中的一些问题。
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功，培养数学抽象的核心素养；
2.掌握向量数量积的定义及投影向量，提升数学抽象的核心素养；
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，培养逻辑推理的核心素养；
4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，提升数学运算的核心素养。
重点：平面向量的数量积的运算
掌握平面向量数量积的性质及其运算律
难点：投影向量的概念
探究数量积的性质及其应用
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石上磨一磨”．于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停下来…结果当然是失败的．难道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功≠成功．
物理学当中的做功在数学中叫做什么，是如何表示的呢？
【想一想】当力与运动方向成某一角度时，力对物体所做的功等于多少呢？你是如何得到的呢？
2.探索交流，解决问题
【探究】在马拉爬犁的实例中，力和位移都是向量，大家能否从功的计算公式中抽象出两个非零向量数量积的定义呢？
【提示】通过现实情境马拉爬犁，研究当力和位移存在夹角时，如何研究力对物体所做的功，通过力的分解，由于垂直位移方向上的分力对物体不做功，最终力对物体所做的功等于位移方向上的分力对物体所做的功，，向量的数量积具有相同的运算。
【设计意图】通过设计的问题，让学生从功的计算公式的得出过程引出投影向量和数量积的计算。
（二）向量的数量积
1.向量的夹角
【探究】如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角是什么？
【提示】力、位移都是矢量,夹角为.
【做一做1】若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60° B．120° C．30° D．150°
解析：平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°.
答案：A
2.向量的数量积
【探究】力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?
【提示】由物理知识容易得到W=|F||s|cs θ,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中功是标量.
特别提醒：
(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”;
(2)数量积的结果为数量,不再是向量;

【做一做】已知向量a，b满足|a|=2,|b|=,且a与b的夹角为30°,那么a·b等于 ( )
A.1 B. C.3 D.3
解析：a·b＝|a||b|cs θ=2cs30°=2=3.
答案：C
3.投影向量
【探究1】如图（1），已知线段AB和直线l，过线段AB的两个端点A，B，分别作直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，得到线段A1B1，那么线段A1B1叫做什么？
【提示】线段A1B1叫做线段AB在直线l上的投影线段.
【探究2】设直线AB与直线l的夹角为，那么|A1B1|与|AB|，之间有怎样的关系？
【提示】|A1B1|=|AB|cs.
（1）如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，
我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
（2）如图，在平面内任取一点O，作=a,=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则=|a|cse.
特别地，当=0时，=|a|e. 当=时，=|a|e. 当=时，=0.
【做一做】已知非零向量a与b的夹角为45°，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c= .
解析：c=|a|cs45°e=2e=e.
答案：e
4.向量的数量积的性质
已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角，e为与b方向相同的单位向量.
【探究1】根据数量积公式，计算a·e，a·a.
【提示】a·e=|a||e|cs=|a|cs，
a·a=|a|·|a|cs 0°＝|a|2.
【探究2】若a·b＝0，则a与b有什么关系？
【提示】a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cs θ＝0，θ＝90°，a⊥b.
【探究3】当θ=0°和180°时，数量积a·b分别是什么？
【提示】当θ=0°时，a·b=|a|·|b|;当θ＝180°时，a·b=－|a|·|b|.
【探究4】两个向量的数量积什么时候为正数，什么时候为零，什么时候为负数？
【提示】 设向量a，b的夹角为θ，当0°≤θ0，即数量积为正数，当θ＝90°，a·b＝0，即数量积为0；当90