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教科版高中物理必修第二册第二章匀速圆周运动课时学案
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这是一份教科版高中物理必修第二册第二章匀速圆周运动课时学案，文件包含34docx、1圆周运动docx、2匀速圆周运动的向心力和向心加速度docx、实验探究向心力大小的表达式docx等4份学案配套教学资源，其中学案共127页， 欢迎下载使用。
3 圆周运动的实例分析
4 圆周运动与人类文明(选学)
学习目标
成长记录
1.能根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象,在此过程中体会模型构建的方法。
知识点一、二、三,要点一、二
2.知道火车转弯时外轨略高于内轨的原因。
知识点三,要点二
3.观察生活中的离心现象,知道离心运动产生的原因,了解其在生活中的应用,并知道离心运动所带来的危害。
知识点四,要点三
4.知道圆周运动与古代文明、现代工业、科学、文化的密切联系
知识点五
知识点一 汽车通过拱形桥
项目
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
受力
分析
向心力
F=G-N=mv2r
F=N-G=mv2r
对桥的
压力
N′=mg-mv2r
N′=mg+mv2r
结论
汽车对桥的压力小于汽车所受的重力,而且汽车速度越大,对桥的压力越小
汽车对桥的压力大于汽车所受的重力,而且汽车速度越大,对桥的压力越大
知识点二 “旋转秋千”
坐“旋转秋千”的人所受重力mg、缆绳的拉力T,如图所示。
mg和T的合力提供向心力,即mgtan α=mω2r,其中r=r0+lsin α。
知识点三 火车转弯
1.运动特点:火车转弯时实际是在做圆周运动,因而具有向心加速度。
2.向心力来源
(1)内外轨等高:外侧车轮的轮缘挤压外轨,使外轨发生弹性形变,外轨对轮缘的弹力是火车转弯所需向心力的主要来源。
(2)
外轨略高于内轨:如图,铁轨对火车的支持力N的方向不再是竖直的,而是斜向弯道的内侧,它与重力G的合力指向圆心,为火车转弯提供了一部分向心力。在修铁路时,要根据弯道的半径和规定的行驶速度,适当选择内外轨的高度差,使转弯时所需向心力几乎全部由重力G和支持力N的合力来提供。
知识点四 离心运动
1.定义:做圆周运动的物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动。
2.原因:合外力提供的向心力消失或不足。
3.离心运动的应用和防止
(1)应用:离心干燥器;洗衣机的脱水筒;制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆等;分离血液中的血浆和红细胞。
(2)防止:在公路弯道,车辆不允许超过规定的速度;砂轮、飞轮的转速不能太高。
知识点五 圆周运动与人类文明
圆周运动在古代文明和现代的工业技术、科学实验、文化生活中随处可见,与人类文明发展息息相关。
1.思考判断
(1)火车弯道的半径很大,故火车转弯需要的向心力很小。( × )
(2)车辆在水平路面上转弯时,所受摩擦力提供向心力。( √ )
(3)车辆按规定车速通过“内低外高”的弯道时,向心力是由重力和支持力的合力提供的。( √ )
(4)汽车在水平路面上匀速行驶时,对地面的压力等于车重,加速行驶时大于车重。( × )
(5)汽车在拱形桥上行驶,速度小时对桥面的压力大于车重,速度大时压力小于车重。( × )
2.思维探究
(1)在雨雪天气路面湿滑时,汽车转弯时为什么要减速慢行?
答案:汽车转弯时向心力由地面对车的摩擦力来提供,路面湿滑时,摩擦力减小,提供圆周运动的向心力变小,为保证汽车不发生滑动,应减小汽车的行驶速度。
(2)
如图,同一辆汽车先后经过凹形区域和凸形区域,在哪一区域汽车对地面的压力更大?
答案:在凸形区域,有mg-N=mv2R,N=mg-mv2R;在凹形区域,有N-mg=mv2R,N=mg+mv2R,故凹形区域汽车对地面的压力更大。
(3)做离心运动的物体是否受到离心力的作用?
答案:不是,物体做离心运动的原因是它受到的合力突然为零或比所需要的向心力小,而非受离心力作用。
要点一 汽车过桥问题
(1)
用两根铁丝弯成如图所示的凹凸桥。把一个小球放在凹桥底部A,调节两轨间的距离,使球刚好不掉下去,但稍加一点压力,球就会撑开两轨下落。让小球从斜轨滚下,当球经过凹桥底部时,你看到了什么?这说明了什么?
(2)把凹桥下的搭钩扣上,并让小球在凸桥顶端B静止放置时,刚好能撑开两轨下落。然后让小球再从斜轨滚下,当球经过凸桥顶端时,你又看到了什么?这又说明了什么?
答案:(1)小球经过凹桥底部时,从两轨间掉了下来;说明小球对轨道的压力大于小球的重力。
(2)经过凸桥顶端时,没有掉下来;说明小球对轨道的压力小于小球的重力。
1.汽车通过拱形桥最高点时,汽车对桥面压力FN′=mg-mv2R。
(1)当v=gR 时,FN′=0。
(2)当0≤v
2.汽车通过凹形桥最低点时,汽车对桥面压力FN′=mg+mv2R>mg,故凹形桥会受到大于汽车重力的压力,因此易损坏。
[例1] 如图所示,质量m=2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形路面,两路面的圆弧半径均为 20 m。如果路面承受的压力不得超过3.0×105 N,问:
(1)汽车允许的最大速度是多少?
(2)若以所求速度行驶,汽车对路面的最小压力是多少?(g取10 m/s2)
思维导图:
解析:(1)汽车在凹形路面最低点时存在最大允许速度,由牛顿第二定律得
Nmax-mg=mv2r
代入数据解得v=10 m/s。
(2)汽车在凸形路面最高点时对路面有最小压力,由牛顿第二定律得mg-Nmin=mv2r
代入数据解得Nmin=1×105 N
由牛顿第三定律知汽车对路面的最小压力为1×105 N。
答案:(1)10 m/s (2)1×105 N
解决汽车过桥问题的一般步骤
(1)选取研究对象,确定轨道平面、圆心位置和轨道半径。
(2)正确分析研究对象的受力情况(切记:向心力是按作用效果命名的力,在受力分析时不能列出),明确向心力的来源。
(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。
[针对训练1]
如图所示,当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时,车对桥顶的压力为车受到的重力的34,如果要使汽车在通过桥顶时,对桥面无压力,则汽车通过桥顶的速度应为(g取10 m/s2)( B )
A.15 m/s B.20 m/s
C.25 m/s D.30 m/s
解析:汽车以10 m/s的速度通过桥顶时,根据牛顿第二定律得mg-FN=mv2r,即14mg=mv2r,解得r=40 m,若汽车通过桥顶对桥面无压力时,有mg=mv'2r,解得v′=20 m/s,故B正确,A、C、D错误。
要点二 水平面内的匀速圆周运动实例分析
铁路转弯处外轨略高于内轨,要求火车转弯时按规定速度通过,火车转弯时速度如果过大或太小,会对哪侧轨道有侧压力?
答案:火车转弯时速度过大会对外侧轨道有侧压力,速度太小会对内侧轨道有侧压力。
1.“旋转秋千”及其简化模型
2.火车、汽车和飞机的转弯
(1)火车的转弯
①弯道的特点
在实际的火车转弯处,外轨高于内轨,若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供,即mgtan α=mv02R,如图所示,则v0=gRtanα。其中R为弯道半径,α为轨道所在平面与水平面的夹角,v0为转弯处的规定速度。
②明确圆周平面
虽然外轨高于内轨,但整个外轨是等高的,整个内轨是等高的。因而火车在行驶的过程中,重心的高度不变,即火车重心的轨迹在同一水平面内。故火车运动的圆周平面是水平面,而不是斜面。即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
③速度与对轨道压力的关系
a.当火车行驶速度v等于规定速度v0时,所需向心力仅由重力和支持力的合力提供,此时火车对内外轨道无侧向挤压作用。
b.当火车行驶速度v>v0时,轮缘对外轨道有侧压力。
c.当火车行驶速度v
①在水平公路上行驶的汽车,转弯时所需的向心力mv2r是由车轮与路面间的静摩擦力f提供的,即f=mv2r,因为静摩擦力不能超过最大静摩擦力,故要求汽车转弯时,车速不能太大和转弯半径不能太小。
②汽车、摩托车赛道拐弯处和高速公路转弯处设计成外高内低,也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提供向心力,以减小车轮受到地面施加的侧向挤压作用。
(3)飞机转弯
飞机在空中转弯时,其机翼是倾斜的,飞机受到竖直向下的重力和垂直于机翼的升力作用,其合力提供转弯所需要的向心力。当转弯速度较大时,飞机的机翼倾斜角度增大,从而使重力与升力的合力增大;当转弯速度较小时,飞机的机翼倾斜角度减小,从而使重力与升力的合力减小。
[例2] (多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据高速列车的速度决定的。弯道处要求外轨比内轨高,其内、外轨高度差h的设计与r和速率v有关。下列说法正确的是( BD )
A.r一定的情况下,预设列车速度越大,设计的内、外轨高度差h就应该越小
B.h一定的情况下,预设列车速度越大,设计的转弯半径r就应该越大
C.r、h一定,高速列车在弯道处行驶时,速度越小越安全
D.高速列车在弯道处行驶时,速度太小或太大都会对轨道产生很大的侧向压力
解析:如图所示,两轨道间距离为L(恒定),外轨比内轨高h,两轨道最高点连线与水平方向的夹角为θ。
当列车在轨道上行驶时,利用自身重力与轨道对列车的支持力的合力来提供向心力,有F=mgtan θ=mghL=mv2r,所以hL=v2gr。r一定的情况下,预设列车速度越大,设计的内、外轨高度差h就应该越大,A错误;h一定的情况下,预设列车速度越大,设计的转弯半径r就应该越大,B正确;r、h一定,高速列车在弯道处行驶时,速度越小时,列车行驶需要的向心力越小,而为列车提供的合力过大,也会造成危险,C错误;高速列车在弯道处行驶时,向心力刚好由列车自身重力和轨道的支持力的合力提供时,列车对轨道无侧压力,速度太小内轨向外有侧压力,速度太大外轨向内有侧压力,D正确。
火车转弯问题的解题策略
(1)火车转弯时是在同一水平面上做圆周运动,其向心力沿水平方向指向圆心。
(2)弯道两轨在同一水平面上时,向心力由内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供。
(3)当外轨高于内轨时,向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供,这与火车的速度大小有关。
[针对训练2] 有一列质量为100 t的火车,以72 km/h 的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道,轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小;
(2)若要使火车以此速率通过弯道,且使铁轨受到的侧压力为零,可以适当倾斜路基,试计算路基倾斜角度θ的正切值。
核心点拨:(1)内外轨一样高时,火车转弯所需要的向心力由外轨对轮缘的侧压力提供。
(2)要使铁轨受到的侧压力为零,应使外轨高于内轨且重力和铁轨对火车的支持力的合力恰好提供火车转弯的向心力。
解析:(1)v=72 km/h=20 m/s,外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力,所以有
N=mv2r=105×202400 N=1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N。
(2)
火车过弯道,重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力,如图所示,则mgtan θ=mv2r,
由此可得tan θ=v2rg=0.1。
答案:(1)1×105 N (2)0.1
要点三 离心运动
链球比赛中,高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示);雨天,当你旋转自己的雨伞时,会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。
(1)链球飞出后受什么力?
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗?
(3)物体做离心运动的条件是什么?
答案:(1)重力和空气阻力。
(2)旋转雨伞时,雨滴也随着运动起来,但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力,雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
(3)物体受到的合力不足以提供所需的向心力。
1.物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失,或者合力不能提供足够的向心力。
注意:物体做离心运动并不是受到“离心力”作用,而是由于合外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”实际上并不存在。
2.合力与向心力的关系(如图所示)
(1)若F合=mrω2或F合=mv2r,物体做匀速圆周运动,即“提供”满足“需要”。
(2)若F合>mrω2或F合>mv2r,物体做近心运动,即“提供过度”。
(3)若0
[例3]
如图所示是摩托车转弯时的情形。转弯处路面常是外高内低,摩托车转弯有一个最大安全速度,若超过此速度,摩托车将发生滑动。关于摩托车滑动的问题,下列论述正确的是( B )
A.摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B.摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C.摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D.摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析:摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用,没有离心力,选项A错误;摩托车正常转弯时可看作匀速圆周运动,所受的合力等于向心力,如果向外滑动,说明提供的向心力即合力小于需要的向心力;摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动,选项B正确,C、D错误。
分析离心运动需注意的问题
(1)物体做离心运动时并不存在“离心力”,“离心力”的说法是因为有的同学把惯性当成了力。
(2)离心运动并不是沿半径方向向外远离圆心的运动。
(3)摩托车或汽车在水平路面上转弯,当最大静摩擦力不足以提供向心力时,即f静max
A.泥巴在图中a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度
B.泥巴在图中的b、d位置时最容易被甩下来
C.泥巴在图中的c位置时最容易被甩下来
D.泥巴在图中的a位置时最容易被甩下来
解析:a、b、c、d共轴转动,角速度相等,半径也相等,根据公式a=rω2分析知它们的向心加速度大小都相等,故A错误;泥巴做圆周运动,合力提供向心力,根据F=mω2r知:泥巴在车轮上每一个位置的向心力都相等,当提供的合力小于向心力时泥巴做离心运动,所以提供的合力越小,泥巴越容易飞出去。在最低点,重力向下,附着力向上,合力等于附着力减重力;在最高点,重力向下,附着力向下,合力等于重力加附着力;在线速度竖直向上或向下时,合力等于附着力,所以在最低点c合力最小,最容易飞出去,故C正确,B、D错误。
竖直平面内圆周运动的分析
1.两类模型的分析
项目
轻绳模型
轻杆模型
常见
类型
过最高
点的临
界条件
由mg=mv2r得 v临=gr
v临=0
续 表
项目
轻绳模型
轻杆模型
讨论
分析
(1)能过最高点时,v≥gr,FN+mg=mv2r,绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时,v
(1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心
(2)当0
FN=0
(4)当v>gr 时,
FN+mg=mv2r,FN指向圆心并随v的增大而增大
2.竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型,是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态,即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况,根据牛顿第二定律列式求解。
[示例] 如图甲所示,用一轻质绳拴着一质量为m的小球,在竖直平面内做圆周运动,小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T,小球在最高点的速度大小为v,其Tv2关系如图乙所示,则(不计一切阻力)( B )
A.轻质绳长为amb
B.当地的重力加速度为am
C.当v2=c时,轻质绳的拉力大小为acb+a
D.只要v2≥0,小球就能在竖直平面内做完整的圆周运动
解析:在最高点时,绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力,有mg+T=mv2L,解得T=mLv2-mg①,由图像知,T=0时,v2=b。图像的斜率k=ab,则得mL=ab,得绳长L=mba,故A错误;当v2=0时,T=-a,由①得-a=-mg,得g=am,故B正确;当v2=c时,代入①得T=mLc-mg=abc-a,故C错误;只要v2≥b,在最高点绳子的拉力F≥0,小球就能在竖直平面内做完整的圆周运动,故D错误。
洗衣机中的离心现象
离心现象在工农业生产和日常生活中有很多应用。最常见的就是洗衣机中的脱水筒(如图),当湿衣服在筒内随筒高速转动时,水滴和衣服之间的附着力不足以提供水滴做圆周运动所需要的向心力,水滴便离开衣服,逐步到达筒边,穿过小孔飞出来,这样衣服上的水就少多了。
[示例] 如图所示为洗衣机脱水筒。在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上有一件湿衣服与圆筒一起运动,衣服相对于圆筒壁静止,则( C )
A.衣服受重力、弹力、压力、摩擦力、向心力五个力作用
B.洗衣机脱水筒转动得越快,衣服与筒壁间的弹力就越小
C.衣服上的水滴与衣服间的附着力不足以提供所需要的向心力时,水滴做离心运动
D.衣服上的水滴与衣服间的附着力大于所需的向心力时,水滴做离心运动
解析:衣服受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力共三个力的作用,向心力是根据力的作用效果命名的,衣服所受的合外力提供向心力,且脱水筒转动越快,所需的向心力越大,衣服与筒壁间的弹力就越大,所以A、B错误;衣服上的水滴与衣服间的附着力提供向心力,当附着力不足以提供所需的向心力时,水滴做离心运动,故C正确,D错误。
课时作业·巩固提升
基础巩固
1.关于离心运动,下列说法不正确的是( C )
A.做匀速圆周运动的物体,向心力的数值发生变化可能将做离心运动
B.做匀速圆周运动的物体,在外界提供的向心力突然变大时将做近心运动
C.物体不受外力,可能做匀速圆周运动
D.做匀速圆周运动的物体,在外界提供的力消失或变小时将做离心
运动
解析:当合力大于需要的向心力时,物体要做近心运动,当合力小于所需要的向心力时,物体要做离心运动,所以向心力的数值发生变化可能做近心运动或离心运动,故A、B说法正确;物体不受外力时,将处于平衡状态,即匀速或静止状态,不可能做匀速圆周运动,故C说法错误;做匀速圆周运动的物体,在外界提供的力消失或变小时物体就要远离圆心,此时物体做的是离心运动,故D说法正确。
2.如图所示,质量相等的汽车甲和汽车乙,以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动,汽车甲在汽车乙的外侧,两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙。以下说法正确的是( A )
A.f甲小于f乙
B.f甲等于f乙
C.f甲大于f乙
D.f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
解析:汽车在水平面内做匀速圆周运动,摩擦力提供做匀速圆周运动所需的向心力,即f=F=mv2r,由于r甲>r乙,则f甲
A.主要是为了减少车轮与铁轨间的摩擦
B.主要是为了减少轮缘与铁轨间的挤压
C.内轨应略高于外轨
D.重力和支持力的合力为火车转弯提供了向心力
解析:设计时使外轨高于内轨,轨道给火车的支持力斜向弯道内侧,它与重力的合力指向圆心,为火车转弯提供了向心力,减轻了轮缘和铁轨间的挤压,不是为了减少车轮与铁轨间的摩擦,故A、C错误,B、D正确。
4.在室内自行车比赛中,运动员以速度v在倾角为θ的赛道上做匀速圆周运动(如图)。已知运动员的质量为m,做圆周运动的半径为r,重力加速度为g,则下列说法正确的是( C )
A.运动员做圆周运动的角速度为vr
B.如果运动员减速,运动员将做离心运动
C.运动员做匀速圆周运动的向心力大小是mv2r
D.将运动员和自行车看作一个整体,则整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
解析:运动员做圆周运动的角速度ω=vr,选项A错误;如果运动员减速,根据F=mv2r可知,其所需的向心力减小,此时向心力“供”大于“需”,运动员将做近心运动,选项B错误;运动员做匀速圆周运动的向心力大小是mv2r,选项C正确;将运动员和自行车看作一个整体,则整体受重力、支持力、摩擦力的作用,三个力的合力充当向心力,选项D错误。
5. 如图所示,轻杆的一端有一个小球m,另一端有光滑的固定转轴O,现给小球一初速度v,使小球和杆一起绕O轴在竖直平面内转动,不计空气阻力。则下列关于杆给小球的力F说法正确的是( D )
A.在最高点一定是拉力
B.在最高点一定是推力
C.在水平位置拉力为零
D.在圆心以下一定是拉力
解析:设轻杆长度为L,在最高点小球仅靠重力提供向心力时,有mg=mv2L,则v=gL,此时F=0;若最高点的速度v>gL,则杆给小球的力F为拉力,若最高点的速度v
A.适当减小内外轨的高度差
B.适当增加内外轨的高度差
C.适当减小弯道半径
D.适当增大弯道半径
解析:设铁路弯道处轨道平面的倾角为α时,轮缘与内外轨间均无挤压作用,根据牛顿第二定律有mgtan α=mv2r,解得v=grtanα,所以为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题,可行的措施是适当增大倾角α(即适当增加内外轨的高度差)和适当增大弯道半径r,故B、D正确。
7.一辆汽车在水平路面上行驶时对路面的压力为N1,在拱形路面上行驶中经过最高处时对路面的压力为N2,已知这辆汽车的重力为G,则( C )
A.N1G
C.N2
8.长度L=0.5 m的轻质细杆OA,A端有一质量m=3.0 kg的小球,如图所示,小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动,通过最高点时小球的速率是 2.0 m/s,g取10 m/s2,则此时细杆OA受到( A )
A.6.0 N的压力 B.6.0 N的拉力
C.24 N的压力 D.24 N的拉力
解析:小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动,当在最高点小球与细杆无弹力作用时,小球的速度为v1,则有mg=mv12L,得v1=gL=
5 m/s,因为5 m/s>2 m/s,所以小球受到细杆的支持力,此时有mg-N=mv22L,解得N=6.0 N,所以细杆受到的压力大小为6.0 N,故A正确。
9.质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶,轮胎与路面间的最大静摩擦力为 1.4×104 N。
(1)汽车经过半径为50 m的弯道时,如果车速达到 72 km/h,请通过计算说明这辆车是否发生侧滑;
(2)为了弯道行车安全,请你对弯道的设计提出合理化建议。(至少
两条)
解析:(1)由题意知,汽车质量m=2.0×103 kg,
速度v=72 km/h=20 m/s,弯道半径r=50 m,需要的向心力设为F,则由牛顿第二定律得F=mv2r
代入数据得F=1.6×104 N>1.4×104 N
所以这辆车将发生侧滑。
(2)建议:使弯道外高内低,由支持力与重力的合力提供向心力;增加路面的粗糙程度以增大最大静摩擦力等。
答案:(1)见解析
(2)使弯道外高内低;增加路面的粗糙程度等
能力提升
1.(多选)一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面,圆锥筒固定,有质量相等的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动,如图所示,则( BD )
A.球A的角速度等于球B的角速度
B.球A的线速度大于球B的线速度
C.球A的运动周期小于球B的运动周期
D.球A与球B对筒壁的压力相等
解析:对任一球受力分析,受到重力和弹力作用,如图所示,二者的合力提供圆周运动所需的向心力,
即mgtanθ=mv2r=mrω2=m4π2T2r
解得v=grtanθ,ω=grtanθ,T=4π2rtanθg,半径大的线速度大,角速度小,周期大,即vA>vB,ωA<ωB,TA>TB,故A、C错误,B正确;将N沿水平和竖直方向分解,在竖直方向上有Nsin θ=mg,则N=mgsinθ,两球质量相等,则两球对筒壁的压力相等,故D正确。
2.铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的,已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ,如图所示,弯道处的圆弧半径为R,若质量为m的火车转弯时速度等于gRtanθ,则( C )
A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C.这时铁轨对火车的支持力等于mgcosθ
D.这时铁轨对火车的支持力大于mgcosθ
解析:火车在水平面内运动,所以在竖直方向上受力平衡,所以铁轨对火车支持力N的竖直分量与重力平衡,即Ncos θ=mg,所以N=mgcosθ,故C正确,D错误;铁轨对火车的支持力N的水平分量为Nsin θ=
mgtan θ,火车在弯道半径为R的转弯处的速度v=gRtanθ,所以火车转弯时需要的向心力F=mv2R=mgtan θ,支持力的水平分量正好等于向心力,故火车轮缘对内外轨道无挤压,故A、B错误。
3.(多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀。如图是它的示意图,试管中先装水,再加入粉笔粉末后搅拌均匀,当试管绕竖直轴高速旋转时,两支试管几乎成水平状态,然后可观察到粉笔粉末沉淀在试管的底端。则( BC )
A.旋转越快,试管的高度越低
B.粉笔粉末向试管底部运动是一种离心现象
C.旋转越快,粉笔粉末的沉淀现象越明显
D.旋转越快,粉笔粉末的沉淀现象越不明显
解析:对试管整体分析,整体受到的合力提供向心力,设试管中心线与竖直方向夹角为α,则提供的向心力为mgtan α,当转速增大时,需要的向心力增大,故α增大,管越高,选项A错误;离心沉淀器是一种离心设备,不同的物质混合,当其工作时,会发生离心现象,选项B正确;转速越快,离心运动越剧烈,粉笔粉末的沉淀现象越明显,选项C正确,D错误。
4.在短道速滑项目中,运动员绕周长仅111 m的短道竞赛。比赛过程中运动员在通过弯道时如果不能很好地控制速度,将发生侧滑而摔离正常比赛路线。如图所示,圆弧虚线Ob代表弯道,即正常运动路线,Oa为运动员在O点时的速度方向。下列论述正确的是(研究时可将运动员看成质点)( D )
A.发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
B.发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需要的向心力
C.若在O点发生侧滑,则滑动的方向在Oa左侧
D.若在O点发生侧滑,则滑动的方向在Oa右侧与Ob之间
解析:发生侧滑是因为运动员的速度过大,所需要的向心力过大,而提供的向心力小于所需要的向心力,故选项A、B错误;运动员在水平方向不受任何外力时沿Oa方向做离心运动,实际上运动员受到的合力方向指向圆弧Ob内侧,所以运动员滑动的方向在Oa右侧与Ob之间,故选项C错误,D正确。
5.如图所示,汽车车厢顶部悬挂一轻质弹簧,弹簧下端拴一质量为m的小球。当汽车以某一速度通过一个桥面为弧形的凸形桥的最高点时弹簧长度为L1,当汽车通过另一个桥面为弧形的凹形桥的最低点时弹簧的长度为L2,则下列说法正确的是( C )
A.L1=L2 B.L1>L2
C.L1mg,故L2>L0,所以有L1
10 m/s2)
(1)当杆对小球施加拉力的大小为 25 N 时,小球的速度大小;
(2)当小球的速度大小为1 m/s时,杆对小球的作用力。
解析:(1)小球通过最高点时由拉力和小球的重力提供向心力,
则有F+mg=mv2L
代入数据解得v=3 m/s。
(2)当小球速度大小为1 m/s,设此时杆与球的作用力为N,
则有N+mg=mv'2L
代入数据解得N=-15 N,负号表示杆对球的作用力方向与重力方向相反,即杆对球的作用力为支持力,方向竖直向上。
答案:(1)3 m/s (2)15 N,方向竖直向上
7.在高级沥青铺设的高速公路上,汽车的设计时速是108 km/h,汽车在这种路面上行驶时,它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于汽车重力的35。(g取10 m/s2)
(1)如果汽车在这种高速公路的弯道上拐弯,假设弯道的路面是水平的,其弯道的最小半径是多少?
(2)如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥,要使汽车能够以设计的时速安全通过圆弧拱桥,这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少?
解析:设汽车的质量为m,弯道半径为rmin,速度v=108 km/h=30 m/s。
(1)汽车在水平路面上拐弯,可视为汽车做匀速圆周运动,其向心力由车与路面间的静摩擦力提供,当静摩擦力达到最大值时,由向心力公式可知这时的半径最小,有f静max=35mg=mv2rmin,解得rmin=150 m。
(2)汽车过圆弧拱桥,可看作在竖直平面内做匀速圆周运动,到达最高点时,根据向心力公式有mg-N=mv2R
为了保证安全通过,车与路面间的弹力N必须大于等于零,即mg≥mv2R,代入v=108 km/h=30 m/s,得R≥90 m,故半径至少是90 m。
答案:(1)150 m (2)90 m
匀速圆周运动 检测试题
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(共12小题,1～6题为单选,7～12题为多选,每小题4分,共48分)
1.下列现象中,与离心运动无关的是( D )
A.汽车转弯时速度过大,乘客感觉往外甩
B.运动员投掷链球时,在高速旋转的时候释放链球
C.洗衣机脱水筒旋转,衣服紧贴在筒壁上
D.汽车启动时,乘客向后倒
解析:汽车转弯时速度过大,乘客感觉往外甩,是离心运动;运动员投掷链球时,在高速旋转的时候释放链球,这是利用离心运动;洗衣机脱水筒旋转,衣服紧贴在筒壁上,水被甩出去,也是利用离心运动;汽车启动时,乘客向后倒,这是惯性,不是离心运动。故选D。
2.如图所示,某人正在用开瓶器开啤酒瓶盖。在手柄处施力,使开瓶器绕O点转动一定的角度就可以将瓶盖打开。A为开瓶器的施力点,B为手柄上的某一点,则在开瓶器绕O点匀速转动的过程中,下列说法中正确的是( B )
A.A点线速度不变
B.A、B两点的角速度相等
C.A、B两点的线速度大小相等
D.A、B两点的向心加速度大小之比aA∶aB=OB∶OA
解析:在开瓶器绕O点匀速转动的过程,A点线速度大小不变,方向时刻变化,故A错误;A和B两点在同一杆上绕同一点做匀速圆周运动,属于同轴转动,则角速度相等,故B正确;由v=ωr可知,因rA
A.a处 B.b处
C.c处 D.d处
解析:在a、c处卡车均做圆周运动,处于最高点,加速度竖直向下,卡车处于失重状态,卡车对地面的压力小于其重力。在b、d处卡车均做圆周运动,处于最低点,加速度竖直向上,卡车处于超重状态,卡车对地面的压力大于其重力;向心加速度a=v2r,卡车以不变的速率行驶,d处轨道半径较小,则在d处加速度较大,卡车对地面的压力较大。故D正确。
4. “飞车走壁”杂技表演简化后的模型如图所示,表演者沿表演台的侧壁做匀速圆周运动。若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变,摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零,轨道平面离地面的高度为H,侧壁倾斜角度α不变,则下列说法中正确的是( A )
A.摩托车做圆周运动的H越高,角速度越小
B.摩托车做圆周运动的H越高,线速度越小
C.摩托车做圆周运动的H越高,向心力越大
D.摩托车对侧壁的压力随高度H变大而减小
解析:摩托车做匀速圆周运动,提供圆周运动所需的向心力是重力mg和支持力FN的合力,摩托车受力示意图如图所示,Fn=mgtan α,m、α不变,向心力大小不变,摩托车对侧壁的压力FN′=mgcosα也是不变的,故C、D错误;根据牛顿第二定律得Fn=mgtan α=mω2r,因为向心力不变,则H越高,r越大,则角速度越小,故A正确;根据Fn=mv2r知,向心力不变,H越高,r越大,则v越大,故B错误。
5. 质量分别为M和m的两个小球,分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上,当转轴稳定转动时,拴质量为M和m小球的悬线与竖直方向夹角分别为α和β,如图所示,则( A )
A.cos α=cosβ2 B.cos α=2cos β
C.tan α=tanβ2 D.tan α=tan β
解析:设转轴稳定转动时角速度为ω,可知稳定转动时两球角速度相等。根据牛顿第二定律,对质量为M的小球分析有Mgtan α=Mω2·
2lsin α,对质量为m的小球分析有mgtan β=mω2·lsin β ,联立得cos α=cosβ2 ,故A正确。
6.在较大的平直木板上相隔一定距离钉几颗钉子,将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥,三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦,这样玩具车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验,如图所示。关于实验中电子秤的示数,下列说法正确的是( D )
A.玩具车静止在拱形桥顶端时的示数小一些
B.玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数大一些
C.玩具车运动通过拱形桥顶端时处于超重状态
D.玩具车运动通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱形桥),示数越小
解析:玩具车运动到最高点时,受向下的重力和向上的支持力作用,根据牛顿第二定律有mg-F N=mv2r,即F N=mg-mv2r
A.木块的加速度为零
B.木块所受合外力为零
C.木块所受合外力的大小一定,方向改变
D.木块的加速度大小不变
解析:木块做匀速圆周运动,所受合外力提供向心力,方向指向圆心,合外力不为零,加速度也不为零,故A、B错误;合外力提供向心力,时刻指向圆心,方向时刻改变,C正确,加速度的大小不变,方向时刻改变,D正确。
8. 两表演者骑着摩托车在竖直放置的圆锥筒内壁上做水平匀速圆周运动。若两表演者(含摩托车)分别看作质点A、B,其示意简图如图所示,摩托车与内壁倾斜方向的摩擦力恰好为零,则质点B做圆周运动的( AB )
A.周期较大 B.线速度较大
C.角速度较大 D.向心加速度较大
解析: 摩托车做匀速圆周运动,摩擦力恰好为零,由重力mg和支持力N的合力提供圆周运动的向心力,对其中某个表演者受力分析如图所示。设圆锥筒内壁与水平面夹角为α,则有Fn=mgtan α,由
mgtan α=mω2r=mv2r,得ω=gtanαr,v=grtanα,则知质点B所处位置高,半径r大,则ω较小,v较大,故B正确,C错误;因为T=2πω,而质点B角速度小,则其周期较大,故A正确;因为mgtan α=man,则向心加速度为an=gtan α,所以A、B两质点的向心加速度相等,故D错误。
9.在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示,当火车以规定的行驶速度转弯时,内、外轨均不会受到轮缘的挤压,设此时的速度大小为v,重力加速度为g,两轨所在面的倾角为θ,则( ABD )
A.该弯道的半径r=v2gtanθ
B.当火车质量改变时,规定的行驶速度大小不变
C.当火车速率大于v时,内轨将受到轮缘的挤压
D.当火车速率大于v时,外轨将受到轮缘的挤压
解析:火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘,靠重力和支持力的合力提供向心力,已知两轨所在面的倾角为θ,根据牛顿第二定律得
mgtan θ=mv2r,解得 r=v2gtanθ,故A正确;根据牛顿第二定律得
mgtan θ=mv2r,解得v=grtanθ,可知火车规定的行驶速度与质量无关,故B正确;当火车速率大于v时,重力和支持力的合力不能够提供向心力,需要外轨对火车有侧压力,即轮缘挤压外轨,故C错误,D正确。
10.如图所示,质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中,盒子的边长略大于球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动,已知重力加速度为g,空气阻力不计,要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力,则( CD )
A.在最高点小球的速度水平,小球既不超重也不失重
B.小球经过与圆心等高的位置时,处于超重状态
C.盒子在最低点时对小球弹力大小等于2mg,方向向上
D.该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2πRg
解析:由于在最高点时小球与盒子间恰好无作用力,则在最高点小球仅受到重力作用,加速度为g,处于完全失重状态,A错误;小球经过与圆心等高的位置时,竖直加速度为零,既不超重也不失重,B错误;在最高点有mg=mv2R,解得该盒子做匀速圆周运动的速度v=gR,则该盒子做匀速圆周运动的周期T=2πRv=2πRg,D正确;在最低点时,盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动所需的向心力,由F-mg=mv2R,解得F=2mg,C正确。
11.变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度,如图是某一变速车齿轮转动结构示意图,图中A轮有48齿(齿均未画出),B轮有42齿,C轮有18齿,D轮有12齿,则( BC )
A.该车可变换2种不同挡位
B.该车可变换4种不同挡位
C.当A轮与D轮组合时,两轮角速度之比ωA∶ωD=1∶4
D.当A轮与D轮组合时,两轮角速度之比ωA∶ωD=4∶1
解析:A轮通过链条分别与C、D连接,自行车可有两种速度,B轮分别与C、D连接,又可有2种速度,所以该车可变换4种挡位,故A错误,B正确;当A与D组合时,两轮边缘线速度大小相等,A轮转一圈,D转4圈,即 ωAωD=14,故C正确,D错误。
12.如图所示,一内壁光滑的圆形细管竖直放置,其半径为R。质量为m的小球在该管内做圆周运动,小球可视为质点。下列说法中正确的是( AC )
A.小球通过光滑圆形细管最高点时的速度可以为gR2
B.小球通过光滑圆形细管最高点时的最小速度为gR
C.如果小球在光滑圆形细管最高点时的速度大小为 2gR,则此时小球对管道有向上的作用力
D.如果小球在光滑圆形细管最低点时的速度大小为gR,则小球通过该点时与管道间无相互作用力
解析:圆形细管内能支撑小球,小球通过最高点的最小速度为零,故A正确,B错误;设管道对小球的弹力大小为F,由牛顿第二定律得mg+F=mv2R,v=2gR,解得F=3mg,方向竖直向下,根据牛顿第三定律可知,小球对管道有向上的作用力,故C正确;小球通过最低点时,不管小球的速度是多少,向心力由管道向上的支持力和向下的重力提供,则小球通过该点时与管道间一定有相互作用力,D错误。
二、非选择题(共52分)
13.(6分)某物理小组的同学设计了一个测量小钢球通过凹形桥最低点时的速度的实验。所用器材:小钢球、压力式托盘秤、凹形桥模拟器(圆弧部分的半径R=0.25 m)。请完成下列填空:
(1)将凹形桥模拟器静置于托盘秤上,如图甲所示,托盘秤的示数为
0.70 kg。
(2)将小钢球静置于凹形桥模拟器最低点时,托盘秤的示数如图乙所示,该示数为 kg。
(3)将小钢球从凹形桥模拟器某一位置释放,小钢球经过最低点后滑向另一侧,此过程中托盘秤的最大示数为m;多次从同一位置释放小钢球,记录各次的m值如表所示。
序号
1
2
3
4
5
m/kg
2.3
2.2
2.3
2.1
2.2
(4)根据以上数据,可求出小钢球经过凹形桥最低点时对桥的压力为
N;小钢球通过最低点时的速度大小为 m/s。(重力加速度取10 m/s2,速度计算结果保留2位有效数字)
解析:(2)分度值为0.1 kg,注意估读到分度值的下一位,为1.20 kg。
(4)根据表格知最低点小钢球和凹形桥模拟器对秤的最大压力平均值为F=2.3+2.2+2.3+2.1+2.25×10 N=m桥g+FN
解得FN=15.2 N,根据牛顿第三定律知,在最低点时桥对小钢球的支持力FN′=FN=15.2 N,在最低点,
对小钢球根据牛顿第二定律有FN′-m0g=m0v2R
代入数据解得v≈2.3 m/s。
答案:(2)1.20 (4)15.2 2.3
14.(6分)在“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验中,如图甲所示,细绳的悬点刚好与一把竖直的刻度尺的零刻度线平齐。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上,使钢球静止时刚好位于圆心。用手带动钢球在水平面上做圆锥摆运动,设法使它刚好对纸面无压力,且沿纸上某个半径为r的圆周运动,钢球的质量为m,重力加速度为g。
(1)用停表记录运动n圈的总时间为t,那么小球做圆周运动时需要的向心力表达式为Fn= 。
(2)通过刻度尺测量小球运动的轨道平面距悬点的高度为h,那么小球做圆周运动时合外力提供的向心力表达式为F= 。
(3)改变小球做圆周运动的半径,多次实验,得到如图乙所示的关系图像,可以达到粗略验证向心力表达式的目的,该图线的斜率表达式为 。
解析:(1)根据向心力公式Fn=mv2r
而v=2πrT=2πrnt
得Fn=mr4π2n2t2。
(2)如图所示,由几何关系可得F=mgtan θ=mgrh
(3)由上面分析得F=Fn
即mgrh=m4π2n2t2r
整理得t2n2=4π2gh
故斜率表达式为k=4π2g。
答案:(1)mr4π2n2t2 (2)mgrh (3)k=4π2g
15. (10分)如图所示甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动,甲沿顺时针方向做匀速圆周运动,圆半径为R;乙做自由落体运动,当乙下落至A点时,甲恰好第一次运动到最高点B,求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小。(重力加速度为g)
解析:设乙下落到A点所用时间为t,则对乙,满足R=12gt2,得t=2Rg
这段时间内甲运动了34T,即34T=2Rg
又由于an=ω2R=4π2T2R
联立解得an=98π2g。
答案:98π2g
16. (10分)如图所示,半径为R,内径很小的光滑半圆管竖直放置,两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内,A通过最高点C时,对管壁上部的压力为3mg,B通过最高点C时,对管壁下部的压力为0.75mg。求:
(1)A、B两球分别通过C点的速度大小;
(2)A、B两球落地点间的距离。
解析:(1)两个小球在最高点时,受重力和管壁的作用力,这两个力的合力提供向心力,
对A球,3mg+mg=mvA2R,得vA=2gR
对B球,mg-0.75mg=mvB2R,得vB=gR2。
(2)根据平抛运动的规律,两球下落时间相等,t=4Rg
水平方向做匀速运动,
对A球,xA=vAt=4R
对B球,xB=vBt=R
A、B两球落地点间的距离Δx=xA-xB=4R-R=3R。
答案:(1)2gR gR2 (2)3R
17.(10分)暑假里,小明去游乐场游玩,坐了一次“旋转飞椅”,如图甲所示。该“旋转飞椅”的顶部有一个半径为4.5 m的“伞盖”,“伞盖”在转动过程中带动下面的悬绳转动,其示意图如图乙所示。“旋转飞椅”高O1O2=5.8 m,绳长5 m。小明挑选了一个悬挂在“伞盖”边缘的最外侧的椅子坐下,他与座椅的总质量为40 kg。小明和椅子的转动可简化为如图乙所示的圆周运动。在某段时间内,“伞盖”保持在水平面内稳定旋转,绳与竖直方向夹角为37°。在此过程中,求:(g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
(1)座椅受到绳子的拉力大小;
(2)小明运动的线速度大小;
(3)小明随身带的玻璃球从座椅上不慎滑落,求落地点与“旋转飞椅”的转轴(即图中O1点)的距离。(结果保留2位有效数字)
解析:(1)在此过程中对人受力分析如图所示,根据平衡条件可知,拉力沿竖直方向的分力等于重力,
即Tcos 37°=mg
解得T=500 N。
(2)小明所受绳子拉力及重力的合力提供其做匀速圆周运动的向心力,由牛顿第二定律得mgtan 37°=mv2R0
其中R0=(4.5+5×sin 37°)m=7.5 m
联立得v=7.5 m/s。
(3)由几何关系可知座椅离地高度h=(5.8-5×cos 37°)m=1.8 m
由平抛运动规律,得x=vt,h=12gt2
联立得x=4.5 m
由勾股定理,
落地点与“旋转飞椅”中心距离r′=R02+x2=(7.5)2+(4.5)2 m=
8.7 m。
答案:(1)500 N (2)7.5 m/s (3)8.7 m
18.(10分) 如图所示,一根 0.1 m 长的细线,一端系着一个质量为0.18 kg的小球,拉住线的另一端,使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动。当小球的转速增加到原转速的3倍时,细线断了,这时测得线的拉力比原来大 40 N。求:(g取10 m/s2)
(1)线断的瞬间,线的拉力大小;
(2)这时小球运动的线速度大小;
(3)如果桌面高出地面0.8 m,线断后小球飞出去落在离桌边水平距离为多远的地方。
解析:(1)线的拉力等于向心力,设开始时角速度为ω0,线的拉力是F0,线断裂的瞬间,角速度为ω,线的拉力是F,则F0=mω02R,F=mω2R
则F∶F0=ω2∶ω02=9∶1
又F=F0+40 N
所以F0=5 N,线断时F=45 N。
(2)设线断时小球的速度为v,
由F=mv2R得v=FRm=45×0.10.18 m/s=5 m/s。
(3)由平抛运动规律得小球在空中运动的时间,
由h=12gt2得t=2hg=2×0.810 s=0.4 s
小球落地处离桌边的水平距离s=vt=5×0.4 m=2 m。
答案:(1)45 N (2)5 m/s (3)2 m
3 圆周运动的实例分析
4 圆周运动与人类文明(选学)
学习目标
成长记录
1.能根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象,在此过程中体会模型构建的方法。
知识点一、二、三,要点一、二
2.知道火车转弯时外轨略高于内轨的原因。
知识点三,要点二
3.观察生活中的离心现象,知道离心运动产生的原因,了解其在生活中的应用,并知道离心运动所带来的危害。
知识点四,要点三
4.知道圆周运动与古代文明、现代工业、科学、文化的密切联系
知识点五
知识点一 汽车通过拱形桥
项目
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
受力
分析
向心力
F=G-N=mv2r
F=N-G=mv2r
对桥的
压力
N′=mg-mv2r
N′=mg+mv2r
结论
汽车对桥的压力小于汽车所受的重力,而且汽车速度越大,对桥的压力越小
汽车对桥的压力大于汽车所受的重力,而且汽车速度越大,对桥的压力越大
知识点二 “旋转秋千”
坐“旋转秋千”的人所受重力mg、缆绳的拉力T,如图所示。
mg和T的合力提供向心力,即mgtan α=mω2r,其中r=r0+lsin α。
知识点三 火车转弯
1.运动特点:火车转弯时实际是在做圆周运动,因而具有向心加速度。
2.向心力来源
(1)内外轨等高:外侧车轮的轮缘挤压外轨,使外轨发生弹性形变,外轨对轮缘的弹力是火车转弯所需向心力的主要来源。
(2)
外轨略高于内轨:如图,铁轨对火车的支持力N的方向不再是竖直的,而是斜向弯道的内侧,它与重力G的合力指向圆心,为火车转弯提供了一部分向心力。在修铁路时,要根据弯道的半径和规定的行驶速度,适当选择内外轨的高度差,使转弯时所需向心力几乎全部由重力G和支持力N的合力来提供。
知识点四 离心运动
1.定义:做圆周运动的物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动。
2.原因:合外力提供的向心力消失或不足。
3.离心运动的应用和防止
(1)应用:离心干燥器;洗衣机的脱水筒;制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆等;分离血液中的血浆和红细胞。
(2)防止:在公路弯道,车辆不允许超过规定的速度;砂轮、飞轮的转速不能太高。
知识点五 圆周运动与人类文明
圆周运动在古代文明和现代的工业技术、科学实验、文化生活中随处可见,与人类文明发展息息相关。
1.思考判断
(1)火车弯道的半径很大,故火车转弯需要的向心力很小。( × )
(2)车辆在水平路面上转弯时,所受摩擦力提供向心力。( √ )
(3)车辆按规定车速通过“内低外高”的弯道时,向心力是由重力和支持力的合力提供的。( √ )
(4)汽车在水平路面上匀速行驶时,对地面的压力等于车重,加速行驶时大于车重。( × )
(5)汽车在拱形桥上行驶,速度小时对桥面的压力大于车重,速度大时压力小于车重。( × )
2.思维探究
(1)在雨雪天气路面湿滑时,汽车转弯时为什么要减速慢行?
答案:汽车转弯时向心力由地面对车的摩擦力来提供,路面湿滑时,摩擦力减小,提供圆周运动的向心力变小,为保证汽车不发生滑动,应减小汽车的行驶速度。
(2)
如图,同一辆汽车先后经过凹形区域和凸形区域,在哪一区域汽车对地面的压力更大?
答案:在凸形区域,有mg-N=mv2R,N=mg-mv2R;在凹形区域,有N-mg=mv2R,N=mg+mv2R,故凹形区域汽车对地面的压力更大。
(3)做离心运动的物体是否受到离心力的作用?
答案:不是,物体做离心运动的原因是它受到的合力突然为零或比所需要的向心力小,而非受离心力作用。
要点一 汽车过桥问题
(1)
用两根铁丝弯成如图所示的凹凸桥。把一个小球放在凹桥底部A,调节两轨间的距离,使球刚好不掉下去,但稍加一点压力,球就会撑开两轨下落。让小球从斜轨滚下,当球经过凹桥底部时,你看到了什么?这说明了什么?
(2)把凹桥下的搭钩扣上,并让小球在凸桥顶端B静止放置时,刚好能撑开两轨下落。然后让小球再从斜轨滚下,当球经过凸桥顶端时,你又看到了什么?这又说明了什么?
答案:(1)小球经过凹桥底部时,从两轨间掉了下来;说明小球对轨道的压力大于小球的重力。
(2)经过凸桥顶端时,没有掉下来;说明小球对轨道的压力小于小球的重力。
1.汽车通过拱形桥最高点时,汽车对桥面压力FN′=mg-mv2R。
(1)当v=gR 时,FN′=0。
(2)当0≤v
2.汽车通过凹形桥最低点时,汽车对桥面压力FN′=mg+mv2R>mg,故凹形桥会受到大于汽车重力的压力,因此易损坏。
[例1] 如图所示,质量m=2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形路面,两路面的圆弧半径均为 20 m。如果路面承受的压力不得超过3.0×105 N,问:
(1)汽车允许的最大速度是多少?
(2)若以所求速度行驶,汽车对路面的最小压力是多少?(g取10 m/s2)
思维导图:
解析:(1)汽车在凹形路面最低点时存在最大允许速度,由牛顿第二定律得
Nmax-mg=mv2r
代入数据解得v=10 m/s。
(2)汽车在凸形路面最高点时对路面有最小压力,由牛顿第二定律得mg-Nmin=mv2r
代入数据解得Nmin=1×105 N
由牛顿第三定律知汽车对路面的最小压力为1×105 N。
答案:(1)10 m/s (2)1×105 N
解决汽车过桥问题的一般步骤
(1)选取研究对象,确定轨道平面、圆心位置和轨道半径。
(2)正确分析研究对象的受力情况(切记:向心力是按作用效果命名的力,在受力分析时不能列出),明确向心力的来源。
(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。
[针对训练1]
如图所示,当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时,车对桥顶的压力为车受到的重力的34,如果要使汽车在通过桥顶时,对桥面无压力,则汽车通过桥顶的速度应为(g取10 m/s2)( B )
A.15 m/s B.20 m/s
C.25 m/s D.30 m/s
解析:汽车以10 m/s的速度通过桥顶时,根据牛顿第二定律得mg-FN=mv2r,即14mg=mv2r,解得r=40 m,若汽车通过桥顶对桥面无压力时,有mg=mv'2r,解得v′=20 m/s,故B正确,A、C、D错误。
要点二 水平面内的匀速圆周运动实例分析
铁路转弯处外轨略高于内轨,要求火车转弯时按规定速度通过,火车转弯时速度如果过大或太小,会对哪侧轨道有侧压力?
答案:火车转弯时速度过大会对外侧轨道有侧压力,速度太小会对内侧轨道有侧压力。
1.“旋转秋千”及其简化模型
2.火车、汽车和飞机的转弯
(1)火车的转弯
①弯道的特点
在实际的火车转弯处,外轨高于内轨,若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供,即mgtan α=mv02R,如图所示,则v0=gRtanα。其中R为弯道半径,α为轨道所在平面与水平面的夹角,v0为转弯处的规定速度。
②明确圆周平面
虽然外轨高于内轨,但整个外轨是等高的,整个内轨是等高的。因而火车在行驶的过程中,重心的高度不变,即火车重心的轨迹在同一水平面内。故火车运动的圆周平面是水平面,而不是斜面。即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
③速度与对轨道压力的关系
a.当火车行驶速度v等于规定速度v0时,所需向心力仅由重力和支持力的合力提供,此时火车对内外轨道无侧向挤压作用。
b.当火车行驶速度v>v0时,轮缘对外轨道有侧压力。
c.当火车行驶速度v
①在水平公路上行驶的汽车,转弯时所需的向心力mv2r是由车轮与路面间的静摩擦力f提供的,即f=mv2r,因为静摩擦力不能超过最大静摩擦力,故要求汽车转弯时,车速不能太大和转弯半径不能太小。
②汽车、摩托车赛道拐弯处和高速公路转弯处设计成外高内低,也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提供向心力,以减小车轮受到地面施加的侧向挤压作用。
(3)飞机转弯
飞机在空中转弯时,其机翼是倾斜的,飞机受到竖直向下的重力和垂直于机翼的升力作用,其合力提供转弯所需要的向心力。当转弯速度较大时,飞机的机翼倾斜角度增大,从而使重力与升力的合力增大;当转弯速度较小时,飞机的机翼倾斜角度减小,从而使重力与升力的合力减小。
[例2] (多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据高速列车的速度决定的。弯道处要求外轨比内轨高,其内、外轨高度差h的设计与r和速率v有关。下列说法正确的是( BD )
A.r一定的情况下,预设列车速度越大,设计的内、外轨高度差h就应该越小
B.h一定的情况下,预设列车速度越大,设计的转弯半径r就应该越大
C.r、h一定,高速列车在弯道处行驶时,速度越小越安全
D.高速列车在弯道处行驶时,速度太小或太大都会对轨道产生很大的侧向压力
解析:如图所示,两轨道间距离为L(恒定),外轨比内轨高h,两轨道最高点连线与水平方向的夹角为θ。
当列车在轨道上行驶时,利用自身重力与轨道对列车的支持力的合力来提供向心力,有F=mgtan θ=mghL=mv2r,所以hL=v2gr。r一定的情况下,预设列车速度越大,设计的内、外轨高度差h就应该越大,A错误;h一定的情况下,预设列车速度越大,设计的转弯半径r就应该越大,B正确;r、h一定,高速列车在弯道处行驶时,速度越小时,列车行驶需要的向心力越小,而为列车提供的合力过大,也会造成危险,C错误;高速列车在弯道处行驶时,向心力刚好由列车自身重力和轨道的支持力的合力提供时,列车对轨道无侧压力,速度太小内轨向外有侧压力,速度太大外轨向内有侧压力,D正确。
火车转弯问题的解题策略
(1)火车转弯时是在同一水平面上做圆周运动,其向心力沿水平方向指向圆心。
(2)弯道两轨在同一水平面上时,向心力由内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供。
(3)当外轨高于内轨时,向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供,这与火车的速度大小有关。
[针对训练2] 有一列质量为100 t的火车,以72 km/h 的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道,轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小;
(2)若要使火车以此速率通过弯道,且使铁轨受到的侧压力为零,可以适当倾斜路基,试计算路基倾斜角度θ的正切值。
核心点拨:(1)内外轨一样高时,火车转弯所需要的向心力由外轨对轮缘的侧压力提供。
(2)要使铁轨受到的侧压力为零,应使外轨高于内轨且重力和铁轨对火车的支持力的合力恰好提供火车转弯的向心力。
解析:(1)v=72 km/h=20 m/s,外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力,所以有
N=mv2r=105×202400 N=1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N。
(2)
火车过弯道,重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力,如图所示,则mgtan θ=mv2r,
由此可得tan θ=v2rg=0.1。
答案:(1)1×105 N (2)0.1
要点三 离心运动
链球比赛中,高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示);雨天,当你旋转自己的雨伞时,会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。
(1)链球飞出后受什么力?
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗?
(3)物体做离心运动的条件是什么?
答案:(1)重力和空气阻力。
(2)旋转雨伞时,雨滴也随着运动起来,但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力,雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
(3)物体受到的合力不足以提供所需的向心力。
1.物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失,或者合力不能提供足够的向心力。
注意:物体做离心运动并不是受到“离心力”作用,而是由于合外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”实际上并不存在。
2.合力与向心力的关系(如图所示)
(1)若F合=mrω2或F合=mv2r,物体做匀速圆周运动,即“提供”满足“需要”。
(2)若F合>mrω2或F合>mv2r,物体做近心运动,即“提供过度”。
(3)若0
[例3]
如图所示是摩托车转弯时的情形。转弯处路面常是外高内低,摩托车转弯有一个最大安全速度,若超过此速度,摩托车将发生滑动。关于摩托车滑动的问题,下列论述正确的是( B )
A.摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B.摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C.摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D.摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析:摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用,没有离心力,选项A错误;摩托车正常转弯时可看作匀速圆周运动,所受的合力等于向心力,如果向外滑动,说明提供的向心力即合力小于需要的向心力;摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动,选项B正确,C、D错误。
分析离心运动需注意的问题
(1)物体做离心运动时并不存在“离心力”,“离心力”的说法是因为有的同学把惯性当成了力。
(2)离心运动并不是沿半径方向向外远离圆心的运动。
(3)摩托车或汽车在水平路面上转弯,当最大静摩擦力不足以提供向心力时,即f静max
A.泥巴在图中a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度
B.泥巴在图中的b、d位置时最容易被甩下来
C.泥巴在图中的c位置时最容易被甩下来
D.泥巴在图中的a位置时最容易被甩下来
解析:a、b、c、d共轴转动,角速度相等,半径也相等,根据公式a=rω2分析知它们的向心加速度大小都相等,故A错误;泥巴做圆周运动,合力提供向心力,根据F=mω2r知:泥巴在车轮上每一个位置的向心力都相等,当提供的合力小于向心力时泥巴做离心运动,所以提供的合力越小,泥巴越容易飞出去。在最低点,重力向下,附着力向上,合力等于附着力减重力;在最高点,重力向下,附着力向下,合力等于重力加附着力;在线速度竖直向上或向下时,合力等于附着力,所以在最低点c合力最小,最容易飞出去,故C正确,B、D错误。
竖直平面内圆周运动的分析
1.两类模型的分析
项目
轻绳模型
轻杆模型
常见
类型
过最高
点的临
界条件
由mg=mv2r得 v临=gr
v临=0
续 表
项目
轻绳模型
轻杆模型
讨论
分析
(1)能过最高点时,v≥gr,FN+mg=mv2r,绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时,v
(1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心
(2)当0
FN=0
(4)当v>gr 时,
FN+mg=mv2r,FN指向圆心并随v的增大而增大
2.竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型,是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态,即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况,根据牛顿第二定律列式求解。
[示例] 如图甲所示,用一轻质绳拴着一质量为m的小球,在竖直平面内做圆周运动,小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T,小球在最高点的速度大小为v,其Tv2关系如图乙所示,则(不计一切阻力)( B )
A.轻质绳长为amb
B.当地的重力加速度为am
C.当v2=c时,轻质绳的拉力大小为acb+a
D.只要v2≥0,小球就能在竖直平面内做完整的圆周运动
解析:在最高点时,绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力,有mg+T=mv2L,解得T=mLv2-mg①,由图像知,T=0时,v2=b。图像的斜率k=ab,则得mL=ab,得绳长L=mba,故A错误;当v2=0时,T=-a,由①得-a=-mg,得g=am,故B正确;当v2=c时,代入①得T=mLc-mg=abc-a,故C错误;只要v2≥b,在最高点绳子的拉力F≥0,小球就能在竖直平面内做完整的圆周运动,故D错误。
洗衣机中的离心现象
离心现象在工农业生产和日常生活中有很多应用。最常见的就是洗衣机中的脱水筒(如图),当湿衣服在筒内随筒高速转动时,水滴和衣服之间的附着力不足以提供水滴做圆周运动所需要的向心力,水滴便离开衣服,逐步到达筒边,穿过小孔飞出来,这样衣服上的水就少多了。
[示例] 如图所示为洗衣机脱水筒。在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上有一件湿衣服与圆筒一起运动,衣服相对于圆筒壁静止,则( C )
A.衣服受重力、弹力、压力、摩擦力、向心力五个力作用
B.洗衣机脱水筒转动得越快,衣服与筒壁间的弹力就越小
C.衣服上的水滴与衣服间的附着力不足以提供所需要的向心力时,水滴做离心运动
D.衣服上的水滴与衣服间的附着力大于所需的向心力时,水滴做离心运动
解析:衣服受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力共三个力的作用,向心力是根据力的作用效果命名的,衣服所受的合外力提供向心力,且脱水筒转动越快,所需的向心力越大,衣服与筒壁间的弹力就越大,所以A、B错误;衣服上的水滴与衣服间的附着力提供向心力,当附着力不足以提供所需的向心力时,水滴做离心运动,故C正确,D错误。
课时作业·巩固提升
基础巩固
1.关于离心运动,下列说法不正确的是( C )
A.做匀速圆周运动的物体,向心力的数值发生变化可能将做离心运动
B.做匀速圆周运动的物体,在外界提供的向心力突然变大时将做近心运动
C.物体不受外力,可能做匀速圆周运动
D.做匀速圆周运动的物体,在外界提供的力消失或变小时将做离心
运动
解析:当合力大于需要的向心力时,物体要做近心运动,当合力小于所需要的向心力时,物体要做离心运动,所以向心力的数值发生变化可能做近心运动或离心运动,故A、B说法正确;物体不受外力时,将处于平衡状态,即匀速或静止状态,不可能做匀速圆周运动,故C说法错误;做匀速圆周运动的物体,在外界提供的力消失或变小时物体就要远离圆心,此时物体做的是离心运动,故D说法正确。
2.如图所示,质量相等的汽车甲和汽车乙,以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动,汽车甲在汽车乙的外侧,两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙。以下说法正确的是( A )
A.f甲小于f乙
B.f甲等于f乙
C.f甲大于f乙
D.f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
解析:汽车在水平面内做匀速圆周运动,摩擦力提供做匀速圆周运动所需的向心力,即f=F=mv2r,由于r甲>r乙,则f甲
A.主要是为了减少车轮与铁轨间的摩擦
B.主要是为了减少轮缘与铁轨间的挤压
C.内轨应略高于外轨
D.重力和支持力的合力为火车转弯提供了向心力
解析:设计时使外轨高于内轨,轨道给火车的支持力斜向弯道内侧,它与重力的合力指向圆心,为火车转弯提供了向心力,减轻了轮缘和铁轨间的挤压,不是为了减少车轮与铁轨间的摩擦,故A、C错误,B、D正确。
4.在室内自行车比赛中,运动员以速度v在倾角为θ的赛道上做匀速圆周运动(如图)。已知运动员的质量为m,做圆周运动的半径为r,重力加速度为g,则下列说法正确的是( C )
A.运动员做圆周运动的角速度为vr
B.如果运动员减速,运动员将做离心运动
C.运动员做匀速圆周运动的向心力大小是mv2r
D.将运动员和自行车看作一个整体,则整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
解析:运动员做圆周运动的角速度ω=vr,选项A错误;如果运动员减速,根据F=mv2r可知,其所需的向心力减小,此时向心力“供”大于“需”,运动员将做近心运动,选项B错误;运动员做匀速圆周运动的向心力大小是mv2r,选项C正确;将运动员和自行车看作一个整体,则整体受重力、支持力、摩擦力的作用,三个力的合力充当向心力,选项D错误。
5. 如图所示,轻杆的一端有一个小球m,另一端有光滑的固定转轴O,现给小球一初速度v,使小球和杆一起绕O轴在竖直平面内转动,不计空气阻力。则下列关于杆给小球的力F说法正确的是( D )
A.在最高点一定是拉力
B.在最高点一定是推力
C.在水平位置拉力为零
D.在圆心以下一定是拉力
解析:设轻杆长度为L,在最高点小球仅靠重力提供向心力时,有mg=mv2L,则v=gL,此时F=0;若最高点的速度v>gL,则杆给小球的力F为拉力,若最高点的速度v
A.适当减小内外轨的高度差
B.适当增加内外轨的高度差
C.适当减小弯道半径
D.适当增大弯道半径
解析:设铁路弯道处轨道平面的倾角为α时,轮缘与内外轨间均无挤压作用,根据牛顿第二定律有mgtan α=mv2r,解得v=grtanα,所以为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题,可行的措施是适当增大倾角α(即适当增加内外轨的高度差)和适当增大弯道半径r,故B、D正确。
7.一辆汽车在水平路面上行驶时对路面的压力为N1,在拱形路面上行驶中经过最高处时对路面的压力为N2,已知这辆汽车的重力为G,则( C )
A.N1
C.N2
8.长度L=0.5 m的轻质细杆OA,A端有一质量m=3.0 kg的小球,如图所示,小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动,通过最高点时小球的速率是 2.0 m/s,g取10 m/s2,则此时细杆OA受到( A )
A.6.0 N的压力 B.6.0 N的拉力
C.24 N的压力 D.24 N的拉力
解析:小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动,当在最高点小球与细杆无弹力作用时,小球的速度为v1,则有mg=mv12L,得v1=gL=
5 m/s,因为5 m/s>2 m/s,所以小球受到细杆的支持力,此时有mg-N=mv22L,解得N=6.0 N,所以细杆受到的压力大小为6.0 N,故A正确。
9.质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶,轮胎与路面间的最大静摩擦力为 1.4×104 N。
(1)汽车经过半径为50 m的弯道时,如果车速达到 72 km/h,请通过计算说明这辆车是否发生侧滑;
(2)为了弯道行车安全,请你对弯道的设计提出合理化建议。(至少
两条)
解析:(1)由题意知,汽车质量m=2.0×103 kg,
速度v=72 km/h=20 m/s,弯道半径r=50 m,需要的向心力设为F,则由牛顿第二定律得F=mv2r
代入数据得F=1.6×104 N>1.4×104 N
所以这辆车将发生侧滑。
(2)建议:使弯道外高内低,由支持力与重力的合力提供向心力;增加路面的粗糙程度以增大最大静摩擦力等。
答案:(1)见解析
(2)使弯道外高内低;增加路面的粗糙程度等
能力提升
1.(多选)一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面,圆锥筒固定,有质量相等的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动,如图所示,则( BD )
A.球A的角速度等于球B的角速度
B.球A的线速度大于球B的线速度
C.球A的运动周期小于球B的运动周期
D.球A与球B对筒壁的压力相等
解析:对任一球受力分析,受到重力和弹力作用,如图所示,二者的合力提供圆周运动所需的向心力,
即mgtanθ=mv2r=mrω2=m4π2T2r
解得v=grtanθ,ω=grtanθ,T=4π2rtanθg,半径大的线速度大,角速度小,周期大,即vA>vB,ωA<ωB,TA>TB,故A、C错误,B正确;将N沿水平和竖直方向分解,在竖直方向上有Nsin θ=mg,则N=mgsinθ,两球质量相等,则两球对筒壁的压力相等,故D正确。
2.铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的,已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ,如图所示,弯道处的圆弧半径为R,若质量为m的火车转弯时速度等于gRtanθ,则( C )
A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C.这时铁轨对火车的支持力等于mgcosθ
D.这时铁轨对火车的支持力大于mgcosθ
解析:火车在水平面内运动,所以在竖直方向上受力平衡,所以铁轨对火车支持力N的竖直分量与重力平衡,即Ncos θ=mg,所以N=mgcosθ,故C正确,D错误;铁轨对火车的支持力N的水平分量为Nsin θ=
mgtan θ,火车在弯道半径为R的转弯处的速度v=gRtanθ,所以火车转弯时需要的向心力F=mv2R=mgtan θ,支持力的水平分量正好等于向心力,故火车轮缘对内外轨道无挤压,故A、B错误。
3.(多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀。如图是它的示意图,试管中先装水,再加入粉笔粉末后搅拌均匀,当试管绕竖直轴高速旋转时,两支试管几乎成水平状态,然后可观察到粉笔粉末沉淀在试管的底端。则( BC )
A.旋转越快,试管的高度越低
B.粉笔粉末向试管底部运动是一种离心现象
C.旋转越快,粉笔粉末的沉淀现象越明显
D.旋转越快,粉笔粉末的沉淀现象越不明显
解析:对试管整体分析,整体受到的合力提供向心力,设试管中心线与竖直方向夹角为α,则提供的向心力为mgtan α,当转速增大时,需要的向心力增大,故α增大,管越高,选项A错误;离心沉淀器是一种离心设备,不同的物质混合,当其工作时,会发生离心现象,选项B正确;转速越快,离心运动越剧烈,粉笔粉末的沉淀现象越明显,选项C正确,D错误。
4.在短道速滑项目中,运动员绕周长仅111 m的短道竞赛。比赛过程中运动员在通过弯道时如果不能很好地控制速度,将发生侧滑而摔离正常比赛路线。如图所示,圆弧虚线Ob代表弯道,即正常运动路线,Oa为运动员在O点时的速度方向。下列论述正确的是(研究时可将运动员看成质点)( D )
A.发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
B.发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需要的向心力
C.若在O点发生侧滑,则滑动的方向在Oa左侧
D.若在O点发生侧滑,则滑动的方向在Oa右侧与Ob之间
解析:发生侧滑是因为运动员的速度过大,所需要的向心力过大,而提供的向心力小于所需要的向心力,故选项A、B错误;运动员在水平方向不受任何外力时沿Oa方向做离心运动,实际上运动员受到的合力方向指向圆弧Ob内侧,所以运动员滑动的方向在Oa右侧与Ob之间,故选项C错误,D正确。
5.如图所示,汽车车厢顶部悬挂一轻质弹簧,弹簧下端拴一质量为m的小球。当汽车以某一速度通过一个桥面为弧形的凸形桥的最高点时弹簧长度为L1,当汽车通过另一个桥面为弧形的凹形桥的最低点时弹簧的长度为L2,则下列说法正确的是( C )
A.L1=L2 B.L1>L2
C.L1
10 m/s2)
(1)当杆对小球施加拉力的大小为 25 N 时,小球的速度大小;
(2)当小球的速度大小为1 m/s时,杆对小球的作用力。
解析:(1)小球通过最高点时由拉力和小球的重力提供向心力,
则有F+mg=mv2L
代入数据解得v=3 m/s。
(2)当小球速度大小为1 m/s,设此时杆与球的作用力为N,
则有N+mg=mv'2L
代入数据解得N=-15 N,负号表示杆对球的作用力方向与重力方向相反,即杆对球的作用力为支持力,方向竖直向上。
答案:(1)3 m/s (2)15 N,方向竖直向上
7.在高级沥青铺设的高速公路上,汽车的设计时速是108 km/h,汽车在这种路面上行驶时,它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于汽车重力的35。(g取10 m/s2)
(1)如果汽车在这种高速公路的弯道上拐弯,假设弯道的路面是水平的,其弯道的最小半径是多少?
(2)如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥,要使汽车能够以设计的时速安全通过圆弧拱桥,这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少?
解析:设汽车的质量为m,弯道半径为rmin,速度v=108 km/h=30 m/s。
(1)汽车在水平路面上拐弯,可视为汽车做匀速圆周运动,其向心力由车与路面间的静摩擦力提供,当静摩擦力达到最大值时,由向心力公式可知这时的半径最小,有f静max=35mg=mv2rmin,解得rmin=150 m。
(2)汽车过圆弧拱桥,可看作在竖直平面内做匀速圆周运动,到达最高点时,根据向心力公式有mg-N=mv2R
为了保证安全通过,车与路面间的弹力N必须大于等于零,即mg≥mv2R,代入v=108 km/h=30 m/s,得R≥90 m,故半径至少是90 m。
答案:(1)150 m (2)90 m
匀速圆周运动 检测试题
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(共12小题,1～6题为单选,7～12题为多选,每小题4分,共48分)
1.下列现象中,与离心运动无关的是( D )
A.汽车转弯时速度过大,乘客感觉往外甩
B.运动员投掷链球时,在高速旋转的时候释放链球
C.洗衣机脱水筒旋转,衣服紧贴在筒壁上
D.汽车启动时,乘客向后倒
解析:汽车转弯时速度过大,乘客感觉往外甩,是离心运动;运动员投掷链球时,在高速旋转的时候释放链球,这是利用离心运动;洗衣机脱水筒旋转,衣服紧贴在筒壁上,水被甩出去,也是利用离心运动;汽车启动时,乘客向后倒,这是惯性,不是离心运动。故选D。
2.如图所示,某人正在用开瓶器开啤酒瓶盖。在手柄处施力,使开瓶器绕O点转动一定的角度就可以将瓶盖打开。A为开瓶器的施力点,B为手柄上的某一点,则在开瓶器绕O点匀速转动的过程中,下列说法中正确的是( B )
A.A点线速度不变
B.A、B两点的角速度相等
C.A、B两点的线速度大小相等
D.A、B两点的向心加速度大小之比aA∶aB=OB∶OA
解析:在开瓶器绕O点匀速转动的过程,A点线速度大小不变,方向时刻变化,故A错误;A和B两点在同一杆上绕同一点做匀速圆周运动,属于同轴转动,则角速度相等,故B正确;由v=ωr可知,因rA
A.a处 B.b处
C.c处 D.d处
解析:在a、c处卡车均做圆周运动,处于最高点,加速度竖直向下,卡车处于失重状态,卡车对地面的压力小于其重力。在b、d处卡车均做圆周运动,处于最低点,加速度竖直向上,卡车处于超重状态,卡车对地面的压力大于其重力;向心加速度a=v2r,卡车以不变的速率行驶,d处轨道半径较小,则在d处加速度较大,卡车对地面的压力较大。故D正确。
4. “飞车走壁”杂技表演简化后的模型如图所示,表演者沿表演台的侧壁做匀速圆周运动。若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变,摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零,轨道平面离地面的高度为H,侧壁倾斜角度α不变,则下列说法中正确的是( A )
A.摩托车做圆周运动的H越高,角速度越小
B.摩托车做圆周运动的H越高,线速度越小
C.摩托车做圆周运动的H越高,向心力越大
D.摩托车对侧壁的压力随高度H变大而减小
解析:摩托车做匀速圆周运动,提供圆周运动所需的向心力是重力mg和支持力FN的合力,摩托车受力示意图如图所示,Fn=mgtan α,m、α不变,向心力大小不变,摩托车对侧壁的压力FN′=mgcosα也是不变的,故C、D错误;根据牛顿第二定律得Fn=mgtan α=mω2r,因为向心力不变,则H越高,r越大,则角速度越小,故A正确;根据Fn=mv2r知,向心力不变,H越高,r越大,则v越大,故B错误。
5. 质量分别为M和m的两个小球,分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上,当转轴稳定转动时,拴质量为M和m小球的悬线与竖直方向夹角分别为α和β,如图所示,则( A )
A.cos α=cosβ2 B.cos α=2cos β
C.tan α=tanβ2 D.tan α=tan β
解析:设转轴稳定转动时角速度为ω,可知稳定转动时两球角速度相等。根据牛顿第二定律,对质量为M的小球分析有Mgtan α=Mω2·
2lsin α,对质量为m的小球分析有mgtan β=mω2·lsin β ,联立得cos α=cosβ2 ,故A正确。
6.在较大的平直木板上相隔一定距离钉几颗钉子,将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥,三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦,这样玩具车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验,如图所示。关于实验中电子秤的示数,下列说法正确的是( D )
A.玩具车静止在拱形桥顶端时的示数小一些
B.玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数大一些
C.玩具车运动通过拱形桥顶端时处于超重状态
D.玩具车运动通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱形桥),示数越小
解析:玩具车运动到最高点时,受向下的重力和向上的支持力作用,根据牛顿第二定律有mg-F N=mv2r,即F N=mg-mv2r
A.木块的加速度为零
B.木块所受合外力为零
C.木块所受合外力的大小一定,方向改变
D.木块的加速度大小不变
解析:木块做匀速圆周运动,所受合外力提供向心力,方向指向圆心,合外力不为零,加速度也不为零,故A、B错误;合外力提供向心力,时刻指向圆心,方向时刻改变,C正确,加速度的大小不变,方向时刻改变,D正确。
8. 两表演者骑着摩托车在竖直放置的圆锥筒内壁上做水平匀速圆周运动。若两表演者(含摩托车)分别看作质点A、B,其示意简图如图所示,摩托车与内壁倾斜方向的摩擦力恰好为零,则质点B做圆周运动的( AB )
A.周期较大 B.线速度较大
C.角速度较大 D.向心加速度较大
解析: 摩托车做匀速圆周运动,摩擦力恰好为零,由重力mg和支持力N的合力提供圆周运动的向心力,对其中某个表演者受力分析如图所示。设圆锥筒内壁与水平面夹角为α,则有Fn=mgtan α,由
mgtan α=mω2r=mv2r,得ω=gtanαr,v=grtanα,则知质点B所处位置高,半径r大,则ω较小,v较大,故B正确,C错误;因为T=2πω,而质点B角速度小,则其周期较大,故A正确;因为mgtan α=man,则向心加速度为an=gtan α,所以A、B两质点的向心加速度相等,故D错误。
9.在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示,当火车以规定的行驶速度转弯时,内、外轨均不会受到轮缘的挤压,设此时的速度大小为v,重力加速度为g,两轨所在面的倾角为θ,则( ABD )
A.该弯道的半径r=v2gtanθ
B.当火车质量改变时,规定的行驶速度大小不变
C.当火车速率大于v时,内轨将受到轮缘的挤压
D.当火车速率大于v时,外轨将受到轮缘的挤压
解析:火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘,靠重力和支持力的合力提供向心力,已知两轨所在面的倾角为θ,根据牛顿第二定律得
mgtan θ=mv2r,解得 r=v2gtanθ,故A正确;根据牛顿第二定律得
mgtan θ=mv2r,解得v=grtanθ,可知火车规定的行驶速度与质量无关,故B正确;当火车速率大于v时,重力和支持力的合力不能够提供向心力,需要外轨对火车有侧压力,即轮缘挤压外轨,故C错误,D正确。
10.如图所示,质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中,盒子的边长略大于球的直径。某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动,已知重力加速度为g,空气阻力不计,要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力,则( CD )
A.在最高点小球的速度水平,小球既不超重也不失重
B.小球经过与圆心等高的位置时,处于超重状态
C.盒子在最低点时对小球弹力大小等于2mg,方向向上
D.该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2πRg
解析:由于在最高点时小球与盒子间恰好无作用力,则在最高点小球仅受到重力作用,加速度为g,处于完全失重状态,A错误;小球经过与圆心等高的位置时,竖直加速度为零,既不超重也不失重,B错误;在最高点有mg=mv2R,解得该盒子做匀速圆周运动的速度v=gR,则该盒子做匀速圆周运动的周期T=2πRv=2πRg,D正确;在最低点时,盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动所需的向心力,由F-mg=mv2R,解得F=2mg,C正确。
11.变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度,如图是某一变速车齿轮转动结构示意图,图中A轮有48齿(齿均未画出),B轮有42齿,C轮有18齿,D轮有12齿,则( BC )
A.该车可变换2种不同挡位
B.该车可变换4种不同挡位
C.当A轮与D轮组合时,两轮角速度之比ωA∶ωD=1∶4
D.当A轮与D轮组合时,两轮角速度之比ωA∶ωD=4∶1
解析:A轮通过链条分别与C、D连接,自行车可有两种速度,B轮分别与C、D连接,又可有2种速度,所以该车可变换4种挡位,故A错误,B正确;当A与D组合时,两轮边缘线速度大小相等,A轮转一圈,D转4圈,即 ωAωD=14,故C正确,D错误。
12.如图所示,一内壁光滑的圆形细管竖直放置,其半径为R。质量为m的小球在该管内做圆周运动,小球可视为质点。下列说法中正确的是( AC )
A.小球通过光滑圆形细管最高点时的速度可以为gR2
B.小球通过光滑圆形细管最高点时的最小速度为gR
C.如果小球在光滑圆形细管最高点时的速度大小为 2gR,则此时小球对管道有向上的作用力
D.如果小球在光滑圆形细管最低点时的速度大小为gR,则小球通过该点时与管道间无相互作用力
解析:圆形细管内能支撑小球,小球通过最高点的最小速度为零,故A正确,B错误;设管道对小球的弹力大小为F,由牛顿第二定律得mg+F=mv2R,v=2gR,解得F=3mg,方向竖直向下,根据牛顿第三定律可知,小球对管道有向上的作用力,故C正确;小球通过最低点时,不管小球的速度是多少,向心力由管道向上的支持力和向下的重力提供,则小球通过该点时与管道间一定有相互作用力,D错误。
二、非选择题(共52分)
13.(6分)某物理小组的同学设计了一个测量小钢球通过凹形桥最低点时的速度的实验。所用器材:小钢球、压力式托盘秤、凹形桥模拟器(圆弧部分的半径R=0.25 m)。请完成下列填空:
(1)将凹形桥模拟器静置于托盘秤上,如图甲所示,托盘秤的示数为
0.70 kg。
(2)将小钢球静置于凹形桥模拟器最低点时,托盘秤的示数如图乙所示,该示数为 kg。
(3)将小钢球从凹形桥模拟器某一位置释放,小钢球经过最低点后滑向另一侧,此过程中托盘秤的最大示数为m;多次从同一位置释放小钢球,记录各次的m值如表所示。
序号
1
2
3
4
5
m/kg
2.3
2.2
2.3
2.1
2.2
(4)根据以上数据,可求出小钢球经过凹形桥最低点时对桥的压力为
N;小钢球通过最低点时的速度大小为 m/s。(重力加速度取10 m/s2,速度计算结果保留2位有效数字)
解析:(2)分度值为0.1 kg,注意估读到分度值的下一位,为1.20 kg。
(4)根据表格知最低点小钢球和凹形桥模拟器对秤的最大压力平均值为F=2.3+2.2+2.3+2.1+2.25×10 N=m桥g+FN
解得FN=15.2 N,根据牛顿第三定律知,在最低点时桥对小钢球的支持力FN′=FN=15.2 N,在最低点,
对小钢球根据牛顿第二定律有FN′-m0g=m0v2R
代入数据解得v≈2.3 m/s。
答案:(2)1.20 (4)15.2 2.3
14.(6分)在“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验中,如图甲所示,细绳的悬点刚好与一把竖直的刻度尺的零刻度线平齐。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上,使钢球静止时刚好位于圆心。用手带动钢球在水平面上做圆锥摆运动,设法使它刚好对纸面无压力,且沿纸上某个半径为r的圆周运动,钢球的质量为m,重力加速度为g。
(1)用停表记录运动n圈的总时间为t,那么小球做圆周运动时需要的向心力表达式为Fn= 。
(2)通过刻度尺测量小球运动的轨道平面距悬点的高度为h,那么小球做圆周运动时合外力提供的向心力表达式为F= 。
(3)改变小球做圆周运动的半径,多次实验,得到如图乙所示的关系图像,可以达到粗略验证向心力表达式的目的,该图线的斜率表达式为 。
解析:(1)根据向心力公式Fn=mv2r
而v=2πrT=2πrnt
得Fn=mr4π2n2t2。
(2)如图所示,由几何关系可得F=mgtan θ=mgrh
(3)由上面分析得F=Fn
即mgrh=m4π2n2t2r
整理得t2n2=4π2gh
故斜率表达式为k=4π2g。
答案:(1)mr4π2n2t2 (2)mgrh (3)k=4π2g
15. (10分)如图所示甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动,甲沿顺时针方向做匀速圆周运动,圆半径为R;乙做自由落体运动,当乙下落至A点时,甲恰好第一次运动到最高点B,求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小。(重力加速度为g)
解析:设乙下落到A点所用时间为t,则对乙,满足R=12gt2,得t=2Rg
这段时间内甲运动了34T,即34T=2Rg
又由于an=ω2R=4π2T2R
联立解得an=98π2g。
答案:98π2g
16. (10分)如图所示,半径为R,内径很小的光滑半圆管竖直放置,两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内,A通过最高点C时,对管壁上部的压力为3mg,B通过最高点C时,对管壁下部的压力为0.75mg。求:
(1)A、B两球分别通过C点的速度大小;
(2)A、B两球落地点间的距离。
解析:(1)两个小球在最高点时,受重力和管壁的作用力,这两个力的合力提供向心力,
对A球,3mg+mg=mvA2R,得vA=2gR
对B球,mg-0.75mg=mvB2R,得vB=gR2。
(2)根据平抛运动的规律,两球下落时间相等,t=4Rg
水平方向做匀速运动,
对A球,xA=vAt=4R
对B球,xB=vBt=R
A、B两球落地点间的距离Δx=xA-xB=4R-R=3R。
答案:(1)2gR gR2 (2)3R
17.(10分)暑假里,小明去游乐场游玩,坐了一次“旋转飞椅”,如图甲所示。该“旋转飞椅”的顶部有一个半径为4.5 m的“伞盖”,“伞盖”在转动过程中带动下面的悬绳转动,其示意图如图乙所示。“旋转飞椅”高O1O2=5.8 m,绳长5 m。小明挑选了一个悬挂在“伞盖”边缘的最外侧的椅子坐下,他与座椅的总质量为40 kg。小明和椅子的转动可简化为如图乙所示的圆周运动。在某段时间内,“伞盖”保持在水平面内稳定旋转,绳与竖直方向夹角为37°。在此过程中,求:(g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
(1)座椅受到绳子的拉力大小;
(2)小明运动的线速度大小;
(3)小明随身带的玻璃球从座椅上不慎滑落,求落地点与“旋转飞椅”的转轴(即图中O1点)的距离。(结果保留2位有效数字)
解析:(1)在此过程中对人受力分析如图所示,根据平衡条件可知,拉力沿竖直方向的分力等于重力,
即Tcos 37°=mg
解得T=500 N。
(2)小明所受绳子拉力及重力的合力提供其做匀速圆周运动的向心力,由牛顿第二定律得mgtan 37°=mv2R0
其中R0=(4.5+5×sin 37°)m=7.5 m
联立得v=7.5 m/s。
(3)由几何关系可知座椅离地高度h=(5.8-5×cos 37°)m=1.8 m
由平抛运动规律,得x=vt,h=12gt2
联立得x=4.5 m
由勾股定理,
落地点与“旋转飞椅”中心距离r′=R02+x2=(7.5)2+(4.5)2 m=
8.7 m。
答案:(1)500 N (2)7.5 m/s (3)8.7 m
18.(10分) 如图所示,一根 0.1 m 长的细线,一端系着一个质量为0.18 kg的小球,拉住线的另一端,使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动。当小球的转速增加到原转速的3倍时,细线断了,这时测得线的拉力比原来大 40 N。求:(g取10 m/s2)
(1)线断的瞬间,线的拉力大小;
(2)这时小球运动的线速度大小;
(3)如果桌面高出地面0.8 m,线断后小球飞出去落在离桌边水平距离为多远的地方。
解析:(1)线的拉力等于向心力,设开始时角速度为ω0,线的拉力是F0,线断裂的瞬间,角速度为ω,线的拉力是F,则F0=mω02R,F=mω2R
则F∶F0=ω2∶ω02=9∶1
又F=F0+40 N
所以F0=5 N,线断时F=45 N。
(2)设线断时小球的速度为v,
由F=mv2R得v=FRm=45×0.10.18 m/s=5 m/s。
(3)由平抛运动规律得小球在空中运动的时间,
由h=12gt2得t=2hg=2×0.810 s=0.4 s
小球落地处离桌边的水平距离s=vt=5×0.4 m=2 m。
答案:(1)45 N (2)5 m/s (3)2 m
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