人教版 (2019)必修 第二册第六章 圆周运动综合与测试课后作业题

专题提升2　圆周运动的综合应用

基础巩固练

知识点一　圆周运动的多解问题

1. 为了测定子弹的飞行速度,在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B,盘A、B平行且相距2 m,轴杆的转速为3 600 r/min,子弹穿过两盘留下两弹孔a、b,测得两弹孔所在半径的夹角θ=30°,如图所示。则该子弹的速度可能是(　C　)

A.360 m/s      B.720 m/s

C.1 440 m/s D.108 m/s

解析:子弹从A盘到B盘,B盘转过的角度θ=2πn+(n=0、1、2…),

B盘转动的角速度ω=2πn=2π× rad/s=120π rad/s,子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间,即=,所以v= m/s

(n=0、1、2…),n=0时,v=1 440 m/s;n=1时,v≈110.77 m/s;n=

2时,v=57.6 m/s,C正确。

2.(多选)如图所示,一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一P点,飞镖抛出时与P等高,且距离P点为L。当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时,圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力,重力加速度为g,若飞镖恰好击中P点,则(　BCD　)

A.圆盘的半径可能为

B.飞镖击中P点所需的时间为

C.圆盘转动角速度的最小值为

D.P点随圆盘转动的线速度不可能为

解析:飞镖水平抛出做平抛运动,在水平方向做匀速直线运动,设运动时间为t,则有t=,飞镖击中P点时,P恰好在最下方,则有2r=gt2,联立可得r=,故A错误,B正确;飞镖击中P点,则P点转过的角度满足θ=ωt=π+2kπ(k=0、1、2…),则ω==(k=0、1、2…),当k=0时,圆盘转动角速度有最小值为,故C正确;P点随圆盘转动的线速度为v=ωr=·=(k=0、1、2…),假设P点随圆盘转动的线速度为,则有=,解得k=5.5,不满足k=0、1、2…,假设错误,故D正确。

知识点二　轻绳模型和轻杆模型

3.一长度为L的轻绳,一端固定一个质量为m的小球,以另一端O为圆心,使小球在竖直面内做圆周运动,下列说法正确的是(　B　)

A.小球过最高点时,绳所受的弹力一定大于小球的重力

B.小球过最高点时的最小速率为

C.小球过最高点时的速率可小于

D.小球过最高点时,绳所受的弹力一定大于零

解析:小球在最高点时,有FT+mg=m,绳中的拉力最小为零,此时速率最小,即vmin=,绳所受的弹力一定大于或等于零,不一定大于小球的重力,故A、C、D错误,B正确。

4.如图,一质量为M的光滑大圆环,用一细轻杆固定在竖直平面内;套在大圆环上的质量为m的小圆环(可视为质点),从大圆环的最高处由静止滑下,重力加速度为g。当小圆环滑到大圆环的最低点时,大圆环对轻杆拉力的大小为(　C　)

A.Mg-5mg B.Mg+mg

C.Mg+5mg D.Mg+10mg

解析:小圆环到达大圆环底端时满足mg·2R=mv2,对小圆环在最低点,由牛顿第二定律可得FN-mg=m;对大圆环,由平衡条件可知FT=Mg+

FN′,由牛顿第三定律可知FN′=FN,联立解得FT=Mg+5mg,选项C正确。

5.如图所示,质量为m的小球固定在一根轻质木杆一端,围绕此木杆的另一端在竖直平面内做匀速圆周运动。已知小球以速度v通过最高点时对杆的拉力大小为mg,则当小球以速度 v通过圆周轨道的最高点时(　D　)

A.小球与杆之间作用力为零

B.小球对杆的拉力等于 mg

C.小球对杆的压力等于mg

D.小球对杆的压力等于 mg

解析:小球以速度v通过最高点时对杆的拉力大小为mg,则FT+mg=m,即2mg=m,当小球以速度v通过圆周轨道的最高点时,假设杆对小球的力仍为拉力,则FT′+mg=m,解得FT′=-mg,可知杆对小球有支持力,大小为mg,根据牛顿第三定律可知,小球对杆的压力等于mg,故选D。

类型三　圆周运动中的临界问题

6.汽车在水平地面上转弯,地面对车的摩擦力已达到最大值。当汽车的速率加大到原来的2倍时,若使车在地面转弯时仍不打滑,汽车的转弯半径应(　C　)

A.增大到原来的2倍

B.减小到原来的一半

C.增大到原来的4倍

D.减小到原来的

解析:汽车在水平地面上转弯,所需的向心力是由侧向静摩擦力提供,摩擦力已达到最大值,设摩擦力的最大值为Ffm,则得Ffm=m,当速率v增大为原来的2倍时,Ffm不变,则R应增大为原来的4倍,故C正确。

7.在水平传送带上被传送的小物体的质量为m(可视为质点),A为终端皮带轮,如图所示,已知皮带轮半径为r,传送带与皮带轮间不会打滑。当物体可被水平抛出时,A轮每秒转过的圈数最少为(　A　)

A.  B.

C. D.

解析:物体恰好被水平抛出的临界条件是最高点重力恰好提供向心力,根据牛顿第二定律有mg=m,又v=2πnr,联立解得n= ,所以物体可被水平抛出时,A轮每秒转过的圈数最少为 ,故A项正确。

8.如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动,盘面上离转轴距离10 cm处有一物体与圆盘始终保持相对静止,物体与盘面间的动摩擦因数为 0.8,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,盘面与水平面间的夹角为 θ=37°,g取10 m/s2。则ω的最大值是(　D　)

A.0.2 rad/s B.0.5 rad/s 

C.1 rad/s      D.2 rad/s

解析:当物体转到圆盘的最低点,所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时,角速度最大,由牛顿第二定律得 μmgcos θ-mgsin θ=mω2r,代入数据得ω=2 rad/s,故D正确。

能力提升练

9.(多选)如图所示, 长0.5 m的轻质细杆,一端固定有一个质量为

3 kg的小球,另一端由电动机带动,使杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动,小球的速率为2 m/s。g取10 m/s2,下列说法正确的是(　BD　)

A.小球通过最高点时,对杆的拉力大小是24 N

B.小球通过最高点时,对杆的压力大小是6 N

C.小球通过最低点时,对杆的拉力大小是24 N

D.小球通过最低点时,对杆的拉力大小是54 N

解析:设在最高点杆表现为拉力,对小球则有FT+mg=m,代入数据得FT=-6 N,则可判断杆对小球为支持力,大小为6 N,由牛顿第三定律可知,小球对杆的压力为6 N,A错误,B正确;在最低点,杆表现为拉力,对小球有FT′-mg=m,代入数据得FT′=54 N,由牛顿第三定律可知,C错误,D正确。

10.如图所示,两个质量均为m的小木块A和B(均可视为质点)放在水平圆盘上,A与转轴OO′的距离为l,B与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,则下列说法正确的是(　A　)

A.B一定比A先开始滑动

B.A、B所受的摩擦力始终相等

C.ω0= 是A开始滑动的临界角速度

D.当ω= 时,A所受摩擦力的大小为kmg

解析:A、B所受的最大静摩擦力相等,而B需要的向心力较大,所以B先滑动,A项正确;在未滑动之前,A、B各自受到的摩擦力等于其向心力,因此B受到的摩擦力大于A受到的摩擦力,B项错误;A处于临界状态时,kmg=ml,ω0=,C项错误;当ω=<ω0时,对A有Ff=mlω2=ml·=kmg,D项错误。

11.如图(甲),一长为R且不可伸长的轻绳一端固定在O点,另一端系住一小球,使小球在竖直面内做圆周运动,小球经过最高点的速度大小为v,此时绳子拉力大小为F,拉力F与速度的平方v2的关系如图(乙)所示,以下说法正确的是(　D　)

A.利用该装置可以得出重力加速度g=

B.利用该装置可以得出小球的质量m=

C.小球质量不变,换绳长更长的轻绳做实验,图线a点的位置不变

D.绳长不变,用质量更大的球做实验,得到的图线斜率更大

解析:由题图(乙)可知,当v2=a时,F=0,小球的重力提供向心力,有mg=m,解得v2=gR,所以a=gR,则重力加速度g=,A错误;当v2=

2a时,F=b,对小球受力分析有mg+b=m,解得小球的质量 m=,B错误;小球经过最高点时,根据牛顿第二定律有mg+F=m,解得F=v2-mg,所以题图(乙)中图线的斜率为k=,所以绳长不变,用质量更大的球做实验,得到的图线斜率更大,D正确;当F=0时,有v2=gR,所以小球质量不变,换绳长更长的轻绳做实验,图线a点的位置将会发生变化,C错误。

12.长L=1.0 m的轻杆,其一端连接着一个零件A,A的质量m=2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动,如图所示。在A通过最高点时,求下列两种情况下A对杆的作用力:(g取10 m/s2)

(1)A的速率为1 m/s;

(2)A的速率为4 m/s。

解析:以A为研究对象,设其受到杆的拉力为F,则有mg+F=m。

(1)代入数据v=1 m/s,可得F=m(-g)=2×(-10)N=-18 N

即A受到杆的支持力为18 N,根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力,大小为18 N,方向竖直向下。

(2)代入数据v=4 m/s,可得F=12 N

即A受到杆的拉力为12 N,根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力,大小为12 N,方向竖直向上。

答案:(1)18 N,竖直向下　(2)12 N,竖直向上

13.如图所示,B物体放在光滑的水平地面上,在水平力F的作用下由静止开始运动,B物体的质量为m,同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求满足使A、B速度相同的力F的取值。

解析:速度相同即大小、方向相同,B的速度方向为水平向右,A一定要在最低点才能保证速度水平向右。由题意可知,当A从M点运动到最低点时t=nT+T(n=0、1、2…),线速度v=ωr

对于B(初速度为0)v=at=(nT+T)=(n+)

解得F=(n=0、1、2…)。

答案:(n=0、1、2…)

14.如图是小型电动打夯机的结构示意图,电动机带动质量为m=

50 kg 的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O匀速运动,重锤转动半径为R=0.5 m,电动机连同打夯机底座的质量为M=25 kg,重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计,重力加速度g取 10 m/s2。问:

(1)重锤转动的角速度为多大时,才能使打夯机底座刚好离开地面?

(2)若重锤以上述的角速度转动,当打夯机的重锤通过最低位置时,打夯机对地面的压力为多大?

解析:(1)当拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时,才能使打夯机底座刚好离开地面,有FT=Mg

对重锤有mg+FT=mω2R

解得ω== rad/s。

(2)在最低点,对重锤有FT1-mg=mω2R

则FT1=Mg+2mg

对打夯机有FN=FT2+Mg

由牛顿第三定律可知FT1=FT2,联立解得FN=1500 N

即打夯机对地面的压力FN′=FN=1 500 N。

答案:(1) rad/s　(2)1 500 N