人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算课文ppt课件

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1.掌握向量数量积的坐标表示,会进行向量数量积的坐标运算.2.能利用向量数量积的坐标运算解决有关长度、角度、垂直等相关问题.
“我知道,我一直有双隐形的翅膀,带我飞,飞过绝望.不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道,我一直有双隐形的翅膀,带我飞,给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节课我们来学习平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示,它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而可以使几何问题数量化,把定性研究推向定量研究.
知识点:向量数量积的坐标表示1.由向量坐标的定义可知,存在单位正交基底{e1,e2},使得a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,因此a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2e1·e1+x1y2e1·e2+y1x2e2·e1+y1y2e2·e2=x1x2+y1y2,从而a·b=x1x2+y1y2.
名师点析 (1)公式a·b=|a||b|cs与a·b=x1x2+y1y2都是求两向量的数量积,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b=|a||b|cs求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解.
微思考向量数量积的坐标表示公式有什么特点?应用时应注意什么?提示公式的特点是对应坐标相乘后再求和,在解题时要注意坐标的顺序.
微练习已知a=(3,-1),b=(1,-2),求a·b,|a|,|b|,.
向量数量积的坐标运算例1已知向量a=(3,-1),b=(1,-2).(1)求(a+b)2;(2)求(a+b)·(a-b).分析利用a·b=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))等基本公式计算.
解(1)∵a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25.(2)(方法一)∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5,∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5.(方法二)∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1),∴(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=4×2+(-3)×1=5.
反思感悟 向量数量积运算的途径及注意点(1)进行向量数量积的运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征建立平面直角坐标系,并写出相应点的坐标即可求解.
延伸探究本例中,若存在向量c满足a·c=-1,b·c=3,试求c.
利用向量数量积解决长度和夹角问题例2已知向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c,求b,c及b与c的夹角.
反思感悟 利用向量数量积的坐标表示求向量夹角的步骤(1)求向量的数量积.(3)求夹角的余弦值cs θ.(4)求角.由向量夹角的范围及cs θ求θ的值.
利用向量数量积的坐标运算求解几何问题例4已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:BE⊥CF.
向量中的数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,使抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.向量中的数形结合思想应关注以下几点:(1)向量的几何表示关注方向.(2)向量运算中的三角形、平行四边形法则使向量具备形的特征.(3)向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征.
答案C方法点睛 建立平面直角坐标系,将所求问题转化为向量的数量积的坐标运算求解.