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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念背景图ppt课件
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念背景图ppt课件，共44页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，探究一，探究二，探究三，探究四，素养形成，当堂检测，答案递减，答案D等内容，欢迎下载使用。
李政道博士给中国科技大学少年班的学生出过一道智趣题:5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃了一个桃子,然后将桃子分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第二只猴子又爬起来,吃了一个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;以后的3只猴子都采用了同样的办法.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?
一、数列1.数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都称为这个数列的项.2.数列按项的个数分类
名师点析 数列中的项与集合中的元素的对比(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性.(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性).(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性).(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.
微思考数列2,3,4,5,6与集合{2,3,4,5,6}有何区别?提示:数列2,3,4,5,6是按一定的次序排列的,打乱顺序后又产生新的数列;而{2,3,4,5,6}中元素无论按怎样的顺序排列都是同一个集合.
微练习下列说法正确的是( )A.数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列B.数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列
D.2,1,2,1是数列
解析:A中,排列顺序不同,不是同一数列;B中,数列的项数不同,不是同一数列;C是数列.故选D.答案:D
二、数列的通项1.通项公式一般地,如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an=f(n)来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.2.对数列通项公式的两点说明(1)并非所有的数列都有通项公式;(2)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.
名师点析 数列的通项公式an=f(n)揭示了数列{an}的第n项an与n之间的函数关系,体现了数列的本质,即数列项与序号之间的对应关系,一旦知道了数列的通项公式,便可写出数列中的任一项,从而确定数列的取值特点.
微练习先填空,再写出下列各数列{an}的一个通项公式.
三、数列与函数的关系1.数列的本质数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.
2.数列按函数特性分类
名师点析 数列是一种特殊的函数,因此,我们可以借用函数的研究方法来研究数列,但也要时刻注意两者之间的区别:一般函数的定义域为连续区间[a,b],而数列的定义域则为离散的正整数集的子集.
微思考是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列?如果存在,请写出一个这样的数列的通项公式.
微练习已知下列数列:①-1,0,1,2,3,4,…,n.②1,-1,1,-1,….
④6,6,6,6,6.其中递增数列为 ,递减数列为 ,常数列为 ,有穷数列为 ,无穷数列为 (只填序号).
答案:① ③ ④ ①④ ②③
数列的概念及分类例1已知下列数列:①2 015,2 016,2 017,2 018,2 019,2 020;
⑤2,4,8,16,32,…;⑥-1,-1,-1,-1.其中,有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,递减数列是 ,常数列是 ,摆动数列是 (填序号).
解析:①为有穷数列且为递增数列;②为无穷、递减数列;③为无穷、摆动数列;④是摆动数列,是无穷数列,也是周期为4的周期数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.答案:①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ 反思感悟 判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动和常数列要从项的变化趋势来分析,而有穷和无穷数列则看项的个数是有限还是无限.
变式训练1给出下列数列:(1)2013~2020年某市高中生人数(单位:万人)构成数列82,93,105,118,132,147,163,180.
(3)-2的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,……构成数列-2,4,-8,16,-32,….其中,有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,常数列是 ,摆动数列是 .
解析:(1)为有穷数列,同时(1)也是递增数列;(2)(3)是无穷数列,其中(2)为常数列,(3)为摆动数列.答案:(1) (2)(3) (1) (2) (3)
由数列的前几项求通项公式例2写出数列{an}的一个通项公式,使它的前4项是下列各数:
(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9;(4)3,5,3,5.思路分析①求数列的通项公式时,是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形?②数列的通项公式唯一吗?
解:(1)任何一个整数都可以看成一个分数,所以此数列可以看作是自然数列的倒数,正负相间用(-1)的幂进行调整,其一个通项公式为
反思感悟 1.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项符号特征等.2.观察、分析数列中各项的特点是最重要的,观察出项与序号之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换使问题得到解决,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
变式训练2写出下列各数列{an}的一个通项公式:(1)0,3,8,15,24,…;(2)1,-3,5,-7,9,…;
(4)1,11,111,1 111,….
解:(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)此数列的整数部分为1,2,3,4,…,恰好是序号n,分数部分与序号n
数列通项公式的应用例3已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.(1)写出此数列的第4项和第6项;(2)-49是不是该数列的一项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.68是不是该数列的一项呢?思路分析(1)将n=4,n=6分别代入通项公式,求出数值即可;(2)由3n2-28n=-49和3n2-28n=68,求得n,再通过n是否为正整数判断.
解:(1)a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.(2)由3n2-28n=-49,解得n=7或n= (舍去),所以-49是该数列的第7项.由3n2-28n=68解得n=-2或n= ,均不合题意,所以68不是该数列的项.
反思感悟 数列通项公式的应用技巧(1)由通项公式写出数列的指定项,主要是对n进行取值,然后代入通项公式,相当于函数中,已知函数解析式和自变量的值求函数值.(2)判断一个数是否为某数列中的项,其方法是由通项公式等于这个数得到一个方程,求该方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为该数列中的项.(3)在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域为正整数集的子集这一约束条件.
延伸探究若本例中的条件不变,(1)试写出该数列的第3项和第8项;(2)20是不是该数列的一项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
解:(1)因为an=3n2-28n,所以a3=3×32-28×3=-57,a8=3×82-28×8=-32.(2)令3n2-28n=20,解得n=10或n=- (舍去),所以20是该数列的第10项.
判断数列的单调性例4已知函数f(x)=x- .数列{an}满足f(an)=-2n,且an>0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由.思路分析先根据已知条件解方程求an,再利用作差法或作商法判断数列{an}是递增数列还是递减数列.
∴an+1
变式训练3若数列{an}满足an=-n2+2n+9(n∈N+),则该数列是 数列.(填“递增”“递减”或“摆动”)
数列中的最值问题典例已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)· ,该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.思路分析探求数列的最大项可以通过作差或不等式组解决.
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1a11>a12>…,
解得9≤n≤10.又n∈N+,∴n=9或n=10.∴该数列中有最大项,为第9、第10项,
方法点睛 1.利用数列(函数)的单调性可以求数列中的最大(最小)项.一般常用方法为:
中的最小项.2.数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,可利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题.3.根据数列的特殊性,由于它的定义域是N+或它的有限子集{1,2,…,n},因而它的图像是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线.
1.以下四个数中,哪个数是数列{n(n+1)}中的一项( )A.380B.39C.32D.23解析:n(n+1)是这个数列的通项公式,即an=n(n+1).∵380=19×20=19×(19+1),∴380是该数列中的第19项,或者令n(n+1)=380,得n=19,是整数,符合题意.故选A.答案:A
2.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,…中,x的值是( )A.19B.20C.21D.22解析:观察数列可得规律1+1=2,1+2=3,2+3=5,…,8+13=x=21,13+21=34,∴x=21,故选C.答案:C
3.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式为( )
4.(2020上海高二课时练习)已知数列{an}中,an=-2n2+31n+9(n∈N+),则{an}中的最大项为 .
∴a7=128,a8=129,a7
解:(1)因为数列的各项是负正项交替出现的,所以用(-1)n来调节,数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分,整数部分是1,3,5,7,9,为奇数,分数的分子是1,2,3,4,5,正好是序号,分母是4,9,16,25,36,正好是平方数,这样我们可以归纳出数列的一个通项
李政道博士给中国科技大学少年班的学生出过一道智趣题:5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃了一个桃子,然后将桃子分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第二只猴子又爬起来,吃了一个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;以后的3只猴子都采用了同样的办法.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?
一、数列1.数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都称为这个数列的项.2.数列按项的个数分类
名师点析 数列中的项与集合中的元素的对比(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性.(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性).(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性).(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.
微思考数列2,3,4,5,6与集合{2,3,4,5,6}有何区别?提示:数列2,3,4,5,6是按一定的次序排列的,打乱顺序后又产生新的数列;而{2,3,4,5,6}中元素无论按怎样的顺序排列都是同一个集合.
微练习下列说法正确的是( )A.数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列B.数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列
D.2,1,2,1是数列
解析:A中,排列顺序不同,不是同一数列;B中,数列的项数不同,不是同一数列;C是数列.故选D.答案:D
二、数列的通项1.通项公式一般地,如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an=f(n)来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.2.对数列通项公式的两点说明(1)并非所有的数列都有通项公式;(2)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.
名师点析 数列的通项公式an=f(n)揭示了数列{an}的第n项an与n之间的函数关系,体现了数列的本质,即数列项与序号之间的对应关系,一旦知道了数列的通项公式,便可写出数列中的任一项,从而确定数列的取值特点.
微练习先填空,再写出下列各数列{an}的一个通项公式.
三、数列与函数的关系1.数列的本质数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.
2.数列按函数特性分类
名师点析 数列是一种特殊的函数,因此,我们可以借用函数的研究方法来研究数列,但也要时刻注意两者之间的区别:一般函数的定义域为连续区间[a,b],而数列的定义域则为离散的正整数集的子集.
微思考是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列?如果存在,请写出一个这样的数列的通项公式.
微练习已知下列数列:①-1,0,1,2,3,4,…,n.②1,-1,1,-1,….
④6,6,6,6,6.其中递增数列为 ,递减数列为 ,常数列为 ,有穷数列为 ,无穷数列为 (只填序号).
答案:① ③ ④ ①④ ②③
数列的概念及分类例1已知下列数列:①2 015,2 016,2 017,2 018,2 019,2 020;
⑤2,4,8,16,32,…;⑥-1,-1,-1,-1.其中,有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,递减数列是 ,常数列是 ,摆动数列是 (填序号).
解析:①为有穷数列且为递增数列;②为无穷、递减数列;③为无穷、摆动数列;④是摆动数列,是无穷数列,也是周期为4的周期数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.答案:①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ 反思感悟 判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动和常数列要从项的变化趋势来分析,而有穷和无穷数列则看项的个数是有限还是无限.
变式训练1给出下列数列:(1)2013~2020年某市高中生人数(单位:万人)构成数列82,93,105,118,132,147,163,180.
(3)-2的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,……构成数列-2,4,-8,16,-32,….其中,有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,常数列是 ,摆动数列是 .
解析:(1)为有穷数列,同时(1)也是递增数列;(2)(3)是无穷数列,其中(2)为常数列,(3)为摆动数列.答案:(1) (2)(3) (1) (2) (3)
由数列的前几项求通项公式例2写出数列{an}的一个通项公式,使它的前4项是下列各数:
(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9;(4)3,5,3,5.思路分析①求数列的通项公式时,是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形?②数列的通项公式唯一吗?
解:(1)任何一个整数都可以看成一个分数,所以此数列可以看作是自然数列的倒数,正负相间用(-1)的幂进行调整,其一个通项公式为
反思感悟 1.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项符号特征等.2.观察、分析数列中各项的特点是最重要的,观察出项与序号之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换使问题得到解决,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
变式训练2写出下列各数列{an}的一个通项公式:(1)0,3,8,15,24,…;(2)1,-3,5,-7,9,…;
(4)1,11,111,1 111,….
解:(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)此数列的整数部分为1,2,3,4,…,恰好是序号n,分数部分与序号n
数列通项公式的应用例3已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.(1)写出此数列的第4项和第6项;(2)-49是不是该数列的一项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.68是不是该数列的一项呢?思路分析(1)将n=4,n=6分别代入通项公式,求出数值即可;(2)由3n2-28n=-49和3n2-28n=68,求得n,再通过n是否为正整数判断.
解:(1)a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.(2)由3n2-28n=-49,解得n=7或n= (舍去),所以-49是该数列的第7项.由3n2-28n=68解得n=-2或n= ,均不合题意,所以68不是该数列的项.
反思感悟 数列通项公式的应用技巧(1)由通项公式写出数列的指定项,主要是对n进行取值,然后代入通项公式,相当于函数中,已知函数解析式和自变量的值求函数值.(2)判断一个数是否为某数列中的项,其方法是由通项公式等于这个数得到一个方程,求该方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为该数列中的项.(3)在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域为正整数集的子集这一约束条件.
延伸探究若本例中的条件不变,(1)试写出该数列的第3项和第8项;(2)20是不是该数列的一项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
解:(1)因为an=3n2-28n,所以a3=3×32-28×3=-57,a8=3×82-28×8=-32.(2)令3n2-28n=20,解得n=10或n=- (舍去),所以20是该数列的第10项.
判断数列的单调性例4已知函数f(x)=x- .数列{an}满足f(an)=-2n,且an>0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由.思路分析先根据已知条件解方程求an,再利用作差法或作商法判断数列{an}是递增数列还是递减数列.
∴an+1
变式训练3若数列{an}满足an=-n2+2n+9(n∈N+),则该数列是 数列.(填“递增”“递减”或“摆动”)
数列中的最值问题典例已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)· ,该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.思路分析探求数列的最大项可以通过作差或不等式组解决.
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1
解得9≤n≤10.又n∈N+,∴n=9或n=10.∴该数列中有最大项,为第9、第10项,
方法点睛 1.利用数列(函数)的单调性可以求数列中的最大(最小)项.一般常用方法为:
中的最小项.2.数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,可利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题.3.根据数列的特殊性,由于它的定义域是N+或它的有限子集{1,2,…,n},因而它的图像是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线.
1.以下四个数中,哪个数是数列{n(n+1)}中的一项( )A.380B.39C.32D.23解析:n(n+1)是这个数列的通项公式,即an=n(n+1).∵380=19×20=19×(19+1),∴380是该数列中的第19项,或者令n(n+1)=380,得n=19,是整数,符合题意.故选A.答案:A
2.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,…中,x的值是( )A.19B.20C.21D.22解析:观察数列可得规律1+1=2,1+2=3,2+3=5,…,8+13=x=21,13+21=34,∴x=21,故选C.答案:C
3.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式为( )
4.(2020上海高二课时练习)已知数列{an}中,an=-2n2+31n+9(n∈N+),则{an}中的最大项为 .
∴a7=128,a8=129,a7
解:(1)因为数列的各项是负正项交替出现的,所以用(-1)n来调节,数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分,整数部分是1,3,5,7,9,为奇数,分数的分子是1,2,3,4,5,正好是序号,分母是4,9,16,25,36,正好是平方数,这样我们可以归纳出数列的一个通项
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