2020-2021学年第五章 数列5.1 数列基础5.1.2 数列中的递推课堂教学ppt课件

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斐波那契,意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部,其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》.他在书中提出了著名的兔子繁殖问题:如果每对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄),而子兔在出生后第三个月里就又能生一对子兔.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子?
一、数列的递推关系如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).名师点析 通项公式与递推公式的区别与联系
微思考所有的数列都有递推公式吗?提示:递推公式是给出数列的一种重要方法,但并不是所有的数列都有递推公式.例如 精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.
微练习已知数列{an}的首项a1=1,且an=3an-1+1(n≥2),则a4为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.13B.15C.30D.40答案:D
二、数列的前n项和一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.名师点析 由数列的前n项和Sn求通项an
微练习已知数列{an}的前n项和Sn,求数列的通项公式.(1)Sn=(-1)n+1·n;(2)Sn=2n2+n+3.
解:(1)由Sn=(-1)n+1·n知,当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n+1(2n-1).又当n=1时,a1=(-1)1+1×1=1,适合上式,∴an=(-1)n+1(2n-1).(2)由Sn=2n2+n+3知:当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+n+3)-[2(n-1)2+(n-1)+3]=4n-1.
由递推关系写出数列的项例1已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出.(1)写出此数列的前5项;(2)通过公式bn= 构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项.
解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2,∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.
反思感悟 由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算.(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=
变式训练1已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1= 给出,试写出这个数列的前5项.
例2(1)已知a1=1,an+1-an=2,求数列{an}的通项公式.(2)已知a1=1,an+1=2an,求数列{an}的通项公式.思路分析递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系,可将递推公式转化为通项公式进行研究.
解:(1)(方法一:累加法)∵a1=1,an+1-an=2,∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2,将这些式子的两边分别相加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1),即an-a1=2(n-1).又a1=1,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.(方法二:迭代法)an=an-1+1×2=an-2+2×2=…=a1+(n-1)×2=2n-1.
又a1=1=20,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.(方法二:迭代法)an=2an-1=22an-2=23an-3=…=2n-1·a1=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.
反思感悟 由递推公式求通项公式的方法(1)归纳法一般是根据递推公式先写出前几项,然后进行归纳猜想n与an间的内在规律,但此方法不严密,有时易发生错误.(2)累加法当an-an-1=f(n)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累加来求通项公式an.(3)累乘法如果递推关系可以变形为an+1=g(n)·an的形式,且g(n)能够求积,则可用累乘法求数列的通项公式.
延伸探究将本例(2)中条件“an+1=2an”改为“an+1=an+ an(n≥2)”,其他条件不变,则an=　　　　　. 
数列中an与Sn的关系例3(1)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2-3n,求通项an;(2)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=5n-3,求通项an.
解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.显然a1=-1也适合n≥2时的an=4n-5.故数列{an}的通项公式为an=4n-5.(2)当n=1时,a1=S1=51-3=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=4×5n-1,显然a1=2不适合n≥2时的an=4×5n-1.
反思感悟 由Sn求an的方法an= 若a1适合an(n≥2),则用一个公式表示an,若a1不适合an(n≥2),则要用分段函数的形式表示an.此时不可不求a1而直接求an.
变式训练2已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为　　　　. 
解析:当n=1时,a1=S1=1-2+2=1.当n≥2时,Sn-Sn-1=n2-2n+2-[(n-1)2-2(n-1)+2]=2n-3.
数列中的恒成立问题典例已知数列{an}满足前n项和Sn=2n-1,且λan≥4n-2对一切n∈N+恒成立,则实数λ的取值范围是　　　　. 
解析:当n=1时,a1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-1+1=2n-1,a1适合上式.所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,
1.下列说法错误的是(　　)A.递推公式也是数列的一种表示方法B.an=an-1,a1=1(n≥2)是递推公式C.给出数列的方法只有图像法、列表法、通项公式法D.an=2an-1,a1=2(n≥2)是递推公式解析:通过图像、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列.an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式.答案:C
2.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出,则该数列的第5项等于(　　)A.6B.7C.8D.9解析:∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2),∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.答案:C
3.(2020黑龙江鹤岗一中高一月考)设数列{an}的前n项和Sn=n3,则a4的值为(　　)A.15B.37C.27D.64解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n3-(n-1)3,故a4=43-33=64-27=37.答案:B
4.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln ,则通项公式an=　　　　　. 
∵a1=2,∴an=2+ln n.∵a1=2+ln 1=2,∴{an}的通项公式为2+ln n.