高中数学新人教A版选择性必修第二册 第四章 习题课 数列求和 课件

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习题课——数列求和激趣诱思知识点拨若一个人与你做一笔交易:按一个月30天算,他每天给你5 000元,而你只需第1天给我1分钱,第2天给我2分钱,第3天给我4分钱,第4天给我8分钱……由此类推,交易期为一个月.这笔交易你做吗?请用数列求和的知识做出决定吧!激趣诱思知识点拨一、裂项相消法求和裂项相消法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前n项和变成首尾若干项之和,从而求出数列的前n项和.名师点析常用的一些裂项技巧:激趣诱思知识点拨微练习 激趣诱思知识点拨二、分组求和法分组求和法:如果一个数列的各项是由若干个等差数列和等比数列的项相加减得到的,那么可以把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其分别构成等差数列或等比数列,然后利用等差、等比数列的求和公式求解.激趣诱思知识点拨微练习数列{n+2n}的前n项和Sn等于　　　　. 激趣诱思知识点拨三、并项转化法求和并项转化法:在求数列的前n项和时,如果一个数列的项是正负交错的,尤其是当各项的绝对值又构成等差数列时,可以依次两项两项(或几项几项)合并,再利用其他相关的方法进行求和.微练习(1)对于数列1,-3,5,-7,9,-11,…,其前100项的和等于　. 答案:-100(2)若数列{an}的通项公式an=(-1)n·2n,前n项和为Sn,则S10=　　　　,S15=　　　　. 解析:S10=(-2)+4+(-6)+8+…+(-18)+20=2×5=10,S15=(-2)+4+(-6)+8+…+28+(-30)=2×7-30=-16.答案:10　-16探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测裂项相消法求和 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟裂项相消法求和的关注点裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,相加使之能消去一些项,最终达到求和的目的.利用裂项法的关键是分析数列的通项,考察其是否能分解成两项的差,且这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项.在裂项求和的过程中,还要注意以下几点:(1)在通项裂开后,原各项是否恰好等于相应的两项之差.(2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,还有可能前面剩下了两项(或多项),后面也剩下了两项(或多项).探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1已知等差数列{an}中,a5=9,a13=25,且bn= ,试求数列{bn}的前n项和.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测分组求和法求和例2已知数列{cn}的首项c1=3,cn=2np+nq(n∈N*,p,q为常数),且c1,c4,c5成等差数列,求:(1)p,q的值;(2)数列{cn}的前n项和Sn.分析:先将c1,c4,c5用p,q表示,根据c1,c4,c5成等差数列建立关于p,q的方程组,即可求得p,q的值,从而得到数列的通项公式.这时每一项都是由一个等比数列和一个等差数列中的项的和构成,可分别求和后再相加.解:(1)由c1=3,得2p+q=3.因为c4=24p+4q,c5=25p+5q,且c1+c5=2c4,所以3+25p+5q=25p+8q,解得p=1,q=1.(2)由(1)知cn=2n+n,所以Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟分组求和法的解题策略当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列时,就可以用分组求和法,即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2在等差数列{an}中,已知a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式;探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测并项转化法求和例3已知数列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n项和Sn.分析:该数列中正负项交替出现,且各项的绝对值构成等差数列,故可用并项转化法求和.解:当n为偶数时,令n=2k(k∈N*),Sn=S2k=-1+4-7+10+…+(-1)n(3n-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-6k+5)+(6k-2)]探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟并项转化法求和的解题策略1.一般地,当数列中的各项正负交替,且各项的绝对值成等差数列时,可以采用并项转化法求和.2.在利用并项转化法求和时,因为数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n进行分类讨论,但最终的结果却往往可以用一个公式来表示.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究本例中,将条件改为“已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+…+(-1)n-1(4n-3)”,求S15+S22-S31的值.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测错位相减法求和例4已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.(1)求{an}的通项公式及Sn;分析:(1)列方程组求出等差数列{an}的首项和公差;(2)利用错位相减法求Tn.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟错位相减法求和的关注点(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出Sn-qSn的表达式.若公比是字母参数,则应先对参数加以讨论(一般情况下,分公比等于1和不等于1两种情况分别求和).探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解:(1)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=an+1=2Sn, ∴数列{Sn}是首项为1,公比为3的等比数列.∴Sn=3n-1(n∈N*).当n≥2时,an=2Sn-1=2·3n-2,且a1=1,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)∵Tn=a1+2a2+3a3+…+nan,∴当n=1时,T1=1;当n≥2时,Tn=1+4×30+6×31+…+2n·3n-2,①3Tn=3+4×31+6×32+…+2n·3n-1,②①-②,得-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测数列的通项与求和的综合问题典例已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列{bn}的通项公式;分析:(1)先求出数列{an}的通项公式,再求数列{bn}的通项公式;(2)先求出数列{cn}的通项公式,再利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)由题意知当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5.设数列{bn}的公差为d.又Tn=c1+c2+…+cn,得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测【答题模版】第1步:由数列{an}中an与Sn满足的关系式求其通项an;　↓第2步:由数列{bn}满足的关系式求其通项bn;　↓第3步:求出数列{cn}的通项cn;　↓第4步:用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Tn.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测【失误警示】通过阅卷统计分析,造成失分的原因如下:(1)由数列{an}中an与Sn满足的关系式求其通项an时,漏掉n=1时的情况而导致丢分.(2)不会利用an=bn+bn+1求出等差数列{bn}的公差和首项.(3)用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn时,不知道错位对齐相减,弄错正负号而失分.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测S30=(　　)A.120 B.180C.240 D.360解析:由题意得S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)=(1+2+…+15)+(1+2+…+15)答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.若数列{an}的通项公式是an=8n,其前n项和为Sn,且Snbn=1,数列{bn}的前n项和为Tn,则T10等于(　　)答案:B 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.已知数列{an}的通项公式是an=2n+3n+1,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　　. 解析:∵an=2n+3n+1, 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n(5n-4),则其前20项的和等于　　　　. 解析:该数列前20项的和S20=-1+6-11+16-…-91+96=(-1+6)+(-11+16)+…+(-91+96)=5×10=50.答案:50探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.在等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.(1)求{an}的通项公式;解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.