第一章　特殊平行四边形　能力提升训练　2022-2023学年北师大版数学九年级上册(含答案)

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2022-2023学年北师大版九年级数学
第一章《特殊平行四边形》能力提升训练
一、单选题
1．如图，菱形 ABCD的对角线 AC、BD 交于点 O，将△BOC 绕着点 C 旋转 180°得到，若AC＝2，，则菱形 ABCD 的边长是（     ）

A．3 B．4 C． D．
2．如图，在菱形中，，连接、，则的值为（   ）

A． B． C． D．
3．如图，O是菱形的对角线的交点，E，F分别是的中点给出下列结论：①；②四边形也是菱形；③四边形的面积大小等于；④；⑤是轴对称图形．其中正确的结论有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（   ）

A．8 B． C．16 D．
5．如图，在长方形中，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为（    ）

A．2或15 B．2或18 C．3或15 D．3成18
6．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点D′、C′的位置．若，则∠AED′的大小是（    ）

A． B． C． D．
7．如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB∶OE＝3∶2．其中正确结论的个数是（        ）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG．现有如下4个结论：①AG＝GF；②AG与EC一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，四边形是边长为6的正方形，点在边上，，过点作，分别交于两点．若分别是的中点，则的长为（   ）

A．3 B． C． D．4
二、填空题
11．已知平行四边形的一边长为3，两条对角线的长分别为4和，则这个平行四边形的面积为______．
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝3．若过点E的直线l，将该菱形的面积平分，且与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为_____．

13．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF=______．

14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为________．

15．在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点、、、…在直线1上，点、、、…在y轴正半轴上，则点的坐标是________．


三、解答题
16．在平行四边形ABCD中，点P是AB上一点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于点E，连接BE.

（1）如图1，若∠EBC=∠EPA，EC平分∠DEB，证明：四边形ABCD为菱形．
（2）如图2，对角线AC与BD交于点O，当P是AB的中点时，请直接写出与△ADP面积相等的三角形（其中不含以AD为边的三角形）．



17．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上两点，AE＝AF．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若∠ECF＝60°，∠B＝80°，试问BC＝CE吗？请说明理由．




18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．




19．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，E是BC上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，且CE＝，
（1）求AD的长；
（2）求FG的长




20．如图1是长方形纸带将长方形ABCD沿EF折叠成图2，使点C、D分别落在点、处，再沿BF折叠成图3，使点、分别落在点、处．

（1）若，求图1中的度数；
（2）在（1）的条件下，求图2中的度数；
（3）在图3中写出、与的数量关系，并说明理由．



21．【性质探究】
（1）如图1，在中，，AB＝AC，点D在斜边BC上，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE．
①直线BD与CE的位置关系为______；
②若点F为BE的中点，连接AF，请探究线段AF与CD的数量关系，并给予证明．

【拓展应用】
（2）如图2，已知点E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，点H为BG的中点，连接AH．若AB＝4，BE＝3，求AH的长．



22．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题

(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．

参考答案
1．D
解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即菱形 ABCD 的边长是．
故选：D．
2．D
解：设AC与BD的交点为O，如图所示：

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
3．C
解：①正确
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴AE＝OE．
∵S△ADEAE×ODOE×OD＝S△EOD
∴S△ADE＝S△EOD．
②正确
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．
∴EF⊥OD，OE＝OF．
∵OD＝OB．
∴四边形BFDE是菱形．
③正确
∵菱形ABCD的面积AC×BD．
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴EFAC．
∴菱形ABCD的面积＝EF×BD．
④不正确
由已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO．
⑤正确
∵EF⊥OD，OE＝OF，OD＝OD．
∴△DEO≌△DFO．
∴△DEF是轴对称图形．
∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，
故选：C．
4．A
解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4
又∵将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，
∴FC=CD=4
由此，△BCF的底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积
∴△BCF面积的最大值是
故选：A．

5．B
解：如图，连接，
四边形是长方形，
，
与关于直线对称，
，
是直角三角形，
，
，
点共线，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，当点在线段上时，

设，则，
在中，，即，
解得；
（2）如图，当点在的延长线时，

设，则，
在中，，即，
解得；
综上，的长为2或18，
故选：B．
6．C
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴，
∵长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点D′、C′的位置，
∴=∠D′EF，
∴∠D′EF=65°，
∴∠AED′=180°-2×65°=50°．
故选C.
7．C
连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
在△OBF与△CBF中， ，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM=CM；
∴①正确，
∵∠OBC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM=∠CBM=30°，
∴∠ABO=∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，
易证△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误，
∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，
∵OE=OF，
∴MB：OE=3：2，
∴④正确；
故选C．
8．C
根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF，
∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，
∵DA=DF，DG=DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE
=（∠ADF+∠CDF）
=45°，
∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，
∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG
=AB+AC，
是定值，
∴正确的结论有①③④，
故选C.
9．D
解：，
，
，
，，
，
故选：D．
10．C
如图，连接，
∵ABCD是正方形，EF//BC，
∴四边形是矩形，
∵N是CE的中点，BF、CE是矩形BCFE的对角线，
∴三点在同一条直线上．
∵是正方形的对角线，
∴，
∴是等腰直角三角形．
又∵是的中线，
∴也是边上的高，
∴是直角三角形，
∵N为BF的中点，
∴．

故选C．
11．
解：∵如图，平行四边形ABCD，对角线交点为O，

∴
∵ 即
∴ ，
∴四边形ABCD是菱形，
∴ ．
故答案为：．
12．
根据全等图形的面积相等，在BC上截取CF=AE=3，连接EF，则EF即为所求，过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∵菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，
∴∠BAH＝30°，BH=4，AH==；
过点E作EG⊥BC，垂足为G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵AH⊥BC，EG⊥BC，
∴AH=EG，AE=HG=3，
∴AH=EG=，AE=HG，
∵BH=4，BF=5，HG=3，
∴FG=BH+HG-BF=4+3-5=2，
∴EF==．
故答案为：．

13．
案．
解：连接OP，如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC==10，
∴S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，
∴PE+PF=；
故答案为：．
14．
解：如图所示，连接EG，

由旋转可知△ABF≌△ADE，
∴DE=BF，AE=AF，
∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG=FG，
设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=BF+BG=8-x，
∵∠C=90°，
∴CE2+CG2=EG2
即x2+22=(8−x)2
解得x=，
∴CE的长为，
故答案为：.
15．
解：当y=0时，有x-1=0，
解得：x=1，
∴点A1的坐标为（1，0）．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴点B1的坐标为（1，1）．
同理，可得出：A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），…，
∴B2（2，3），B3（4，7），B4（8，15），B5（16，31），…，
∴Bn（2n-1，2n-1）（n为正整数），
故答案为：
16．
证明：（1） 平行四边形ABCD，




平分




平行四边形ABCD是菱形．
（2） 平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，

为的中点，

与△ADP面积相等的三角形（其中不含以AD为边的三角形）有：

17．
（1）证明：∵ABCD是菱形
∴AB＝AD，BC＝CD，∠B＝∠D
∵AE＝AF
∴AB﹣AE＝AD﹣AF
∴BE＝DF
在△BCE与△DCF中，∵
∴△BCE≌△DCF
∴CE＝CF；
（2）结论是：BC＝CE．
理由如下：
∵ABCD是菱形，∠B＝80°
∴∠A＝100°
∵AE＝AF
∴
由（1）知CE＝CF，∠ECF＝60°
∴△CEF是等边三角形
∴∠CEF＝60°
∴∠CEB＝180°﹣60°﹣40°＝80°
∴∠B＝∠CEB
∴BC＝CE．
18．
(1)证明：在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中,

∴△ABF≌△ADF(SAS)，
∴∠AFB=∠AFD，
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠AFD=∠CFE，
∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；
(2)证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
∵CF=CF，
∴△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD=∠EFD.
19．
（1）设，利用，构造方程求得的值，即可求解．
（1）∵CE＝，
∴设CE，则BE，
∴BC=AD=CE+ BE，
∵△AGE是由△ABE翻折得到的，
∴GE= BE，AG=AB=15，
在Rt△CEG中，由勾股定理可知：
CG=，
在Rt△AGD中，由勾股定理可知：
GD=，
∵CG+GD=CD=15，
∴，
解得：，
AD；
（2）由（1）知：CG=3，GD=12，
设，
∵△AHF是由△ADF翻折得到的，
∴，
∵，即，
∴，
解得：，即DF，
∴．
20．
解：（1）∵长方形ABCD，
∴，
∴，
∵，
∵，
（2）∵四边形EDCF折叠得到四边形，
∴，
∴，
∵长方形ABCD，
∴，
∴
∵，
∴；
（3）答：，
理由如下：∵长方形ABCD，
∴
∴，，，
设，
∴，，
∵四边形EDCF折叠得到四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形折叠得到四边形，
∴，


，
∴.
21．
解：（1）①∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，AE＝AD，AC＝AB
∴∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ACB=45°，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=45°+45°=90°， 即
②，理由如下：
延长BA至点G，使AG＝AB，连接GE，

∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，AE＝AD，AC＝AB＝AG，
又∠DAC=90°－∠CAE=∠GAE，
∴△ADC≌△AEG，
∴CD＝GE．
延长FA至点Q，使AQ＝AF，连接GQ，
∵AG＝AB，∠BAF＝∠GAQ，
∴△ABF≌△AGQ，
∴∠BFA＝∠GQA，BF＝GQ，
∴，即．
∵点F为BE的中点，
∴EF＝BF＝GQ，
∴四边形EFQG是平行四边形，
∴QF＝GE．
∵，CD＝GE，
∴．
（2）如图，连接DE､DG，

∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，
∴AB＝AD=BC=CD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
又∠BAE＝90°－∠EAD＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG，
∴△DAG可以由△BAE绕点A逆时针旋转90°得到．
∵AB＝4，BE＝3，
∴CE＝1，CD＝4．

延长AB至N，使AN=AB，连接NG，延长HA至Q，使AQ=AH，连接NQ，
同理：由（1）中②可知，
∴．
22．
（1）
①CF⊥BD，CF＝BD
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，
∵
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD ；
故答案为：垂直，相等；
②成立，理由如下：
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD；
（2）
当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°，
∴CF⊥BC．