北师大版高中数学必修第二册第一章三角函数课时训练含答案
展开§6 函数y=Asin(ωx+)的性质与图象
6.1 探究ω对y=sin ωx的图象的影响
6.2 探究对y=sin(x+)的图象的影响
6.3 探究A对y=Asin(ωx+)的图象的影响
基础巩固
知识点:函数y=Asin(ωx+)的性质与图象
1.把函数y=sin(2x-)的图象向右平移个单位长度,再向下平移2个单位长度所得函数的解析式为( B )
(A)y=cos 2x-2 (B)y=-cos 2x-2
(C)y=sin 2x-2 (D)y=-cos 2x+2
解析:将函数y=sin(2x-)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=
sin[2(x-)-]的图象,即y=-cos 2x的图象,再向下平移2个单位长度,所得图象的函数解析式为y=-cos 2x-2.故选B.
2.下列函数中,图象的一部分如图所示的是( D )
(A)y=sin(x+)
(B)y=sin(2x-)
(C)y=cos(4x-)
(D)y=cos(2x-)
解析:设函数y=cos(ωx+)(ω>0).由图象可得·=+,所以ω=2,再根据“五点法”作图可得2×+=0,所以=-,所以函数的解析式为y=cos(2x-).
故选D.
3.为了得到函数f(x)=sin(3x+)的图象,需对函数g(x)=sin x的图象所作的变换可以为( B )
(A)先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
(B)先向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标不变
(C)先向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标不变
(D)先向右平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变
解析:先将函数g(x)=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=
sin(x+)的图象,再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标不变,得到f(x)=sin(3x+)的图象.故选B.
4.函数f(x)=4sin(2x+)图象的对称轴方程为( D )
(A)x=+(k∈Z)
(B)x=+kπ(k∈Z)
(C)x=+(k∈Z)
(D)x=+(k∈Z)
5.已知函数y=Asin(ωx+)+n的最大值为4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图象的一条对称轴,若A>0,ω>0,0<<,则函数解析式为 .
解析:依题意可得,A==2,n==2,
ω==4,所以y=2sin(4x+)+2,
所以4×+=kπ+,k∈Z,
即=kπ-,k∈Z.
因为0<<,所以k=1,=.
所以函数解析式为y=2sin(4x+)+2.
答案:y=2sin(4x+)+2
6.当= 时,函数f(x)=2sin(2x+)在区间[,]上单调(写出一个值即可).
解析:因为x∈[,],
所以2x+∈[+,+].
得k∈Z,
k∈Z,
即=-+kπ,k∈Z,
取k=1,得=.
答案:(答案不唯一)
能力提升
7.在地球公转过程中,太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化,太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间,统计了连续400天太阳直射点的纬度值(太阳直射北半球时取正值,直射南半球时取负值).设第x天时太阳直射点的纬度值为y,该科研小组通过对数据的整理和分析,得到y与x近似满足y=
23.439 291 1sin 0.017 202 79x.则每400年中,要使这400年与400个回归年所含的天数最为接近,应设定闰年的个数为(精确到1)
( C )
参考数据:≈182.621 1.
(A)95 (B)96 (C)97 (D)98
解析:T=≈182.621 1×2=365.242 2,400(T-365)=96.88≈97,所以应设定闰年的个数为97.
故选C.
8.记f(x)=2sin(-2x),则( A )
(A)f(x)的周期为π
(B)f(x)的一条对称轴为x=
(C)f(x)的一个对称中心为(,0)
(D)f(x)单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z)
解析:因为f(x)=2sin(-2x)=2cos 2x,
T==π,故A正确;
f()=2cos(2×)=2×(-)=-≠±2,故B错误;
因为f()=2cos(2×)=2×=1≠0,故C错误;
由-π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤kπ,k∈Z,故D错误.
故选A.
9.(多选题)如图是函数y=sin(ωx+)的部分图象,则sin(ωx+)等于( AC )
(A)sin(2x+) (B)sin(x+)
(C)cos(2x-) (D)cos(x-)
解析:由T=2×(+)=π,所以ω==2,即y=sin(2x+).
又2×(-)+=2kπ,k∈Z,
解得=2kπ+,k∈Z,
所以y=sin(2x+)或y=cos(2x-).
故选AC.
10.(多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图所示,下列说法正确的是( ACD )
(A)函数y=f(x)的周期为π
(B)函数y=f(x)在[-,-]上单调递减
(C)函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称
(D)该图象向右平移个单位长度可得y=2sin 2x 的图象
解析:由图象可知,A=2,周期T=4×(-)=π,所以ω==2.
由解得=.
故函数f(x)=2sin(2x+),
A正确;
对于B,当-≤x≤-时,-π≤2x+≤0,故B错误;
对于C,当x=-时,f(-)=2sin(-×2+)=-2,故C正确;
对于D,y=f(x)向右平移个单位长度得到
y=2sin(2x-2×+)=2sin 2x,故D正确.
故选ACD.
11.将函数y=sin(2x-)的图象向左平移后得到一个奇函数的图象,则的最小正值是 .
解析:由题意知y=sin(2x-)关于(,0)对称,2-=kπ,=+,的最小正值为.
答案:
12.函数f(x)=3sin(2x-)的图象为C,下列结论中正确的是 .
①图象C关于直线x=对称;②图象C关于点(,0)对称;③函数f(x)在区间(-,)上是增函数;④y=3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
解析:f()=3sin(2×-)=-3,为最小值,故图象C关于直线x=对称,故①正确.f()=3sin(2×-)=0,故图象C关于点(,0)对称,故②正确.令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,
k∈Z,故函数的增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,(-,)是其子区间,故③正确.y=3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数y=
3sin 2(x-)=3sin(2x-)的图象,故④不正确.
答案:①②③
13.设函数f(x)=sin(2x+)(-π<<0),已知它的图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求;
(2)求函数f(x)的单调递减区间.
解:(1)由题意,可得2×+=kπ+,k∈Z,
因为-π<<0,所以=-.
(2)由(1)知f(x)=sin(2x-),
令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z.
14.已知函数f(x)=sin(3x+),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴;
(2)求f(x)的单调递增区间和单调递减区间;
(3)当x∈[0,],求f(x)的值域.
解:(1)T=,令3x+=+kπ,k∈Z,
则x=+,k∈Z,
故最小正周期为T=,对称轴为直线x=+(k∈Z).
(2)因为-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,
所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
因为+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,
所以+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z),
f(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ](k∈Z).
(3)因为x∈[0,],所以≤3x+≤,
所以-≤f(x)≤,
所以f(x)的值域为[-,].
应用创新
15.(多选题)若不等式sin2x-asin x+2≥0对任意的x∈(0,]恒成立,则实数a可能是( ABC )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:设t=sin x,
因为x∈(0,],所以t∈(0,1],
则不等式sin2x-asin x+2≥0对任意x∈(0,]恒成立,
即转化为不等式t2-at+2≥0在t∈(0,1]上恒成立,即转化为a≤=
t+在t∈(0,1]上恒成立,
由y=t+在t∈(0,1]上递减,得ymin=1+=3,所以a≤3.
故选ABC.
16.关于函数f(x)=4sin(πx-),有如下四个命题:
①f(x)的最小正周期为2;
②f(x)的图象关于点(,0)对称;
③若f(a-x)=f(a+x),则|a|的最小值为;
④f(x)的图象与曲线y=(0<x<)共有4个交点.
其中所有真命题的序号是 .
解析:T==2,故f(x)的最小正周期为2,①正确;
f()=4sin(-)=0,f(x)的图象关于点(,0)对称,②正确;
离y轴最近的对称轴为直线x=-,所以若f(a-x)=f(a+x),则|a|的最小值为,③错误;
在y轴右边离y最近的对称轴为直线x=,f()=4,而=<4,y=在
(0,+∞)上是减函数,因此f(x)的图象在第一象限每个周期内与y=的图象都有两个交点,在区间(,)上有两个交点,在区间(,)上有两个交点,从而在(0,)上有4个交点,④正确.
答案:①②④
