北师大版高中数学必修第二册第三章数学建模活动(二)课时训练含答案
展开§1 建筑物高度的测量
§2 测量和自选建模作业的汇报交流
基础巩固
1.如图,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点,在A,B两点分别测得树顶P处的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为10 m,则树的高度h为( A )
(A)(5+5) m (B)(30+15) m
(C)(15+30) m (D)(15+3) m
解析:由已知,AB=-=10,
即h-h=10,
解得h==5×(+1)=(5+5)(m).
故选A.
2.如图,一研究性小组同学为了估测某塔的高度,在塔底D和A,B
(与塔底D同一水平面)处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,且A,B两点相距91 m,由点D看A,B的张角为150°,则此塔的高度CD等于( C )
(A)91 m (B)13 m
(C)13 m (D)91 m
解析:设CD=h m,因为在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,
所以BD=h,AD=h,
在△ABD中,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos 150°,
整理得912=7h2,解得h=13(m).
故选C.
3.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为( D )
(A)500 m (B)200 m
(C)1 000 m (D)1 000 m
解析:由题图可知,∠BSA=360°-75°-150°=135°,
又∠SAB=45°-30°=15°,
所以∠ABS=30°,
在△ABS中,由正弦定理得=,
所以AB===1 000(m),
所以BC=AB·sin ∠BAC=1 000·sin 45°=1 000(m).
故选D.
4.如图,某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°,该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5 min后,到达B处,此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h,且cos ∠AOB=-,
则此山的高PO等于( A )
(A)1 km (B) km
(C) km (D) km
解析:由题意可知,∠APO=90°-30°=60°,
∠BPO=90°-45°=45°,
AB=20×=2.5(km),
设PO=h km,在△POA中,tan ∠APO=,
即tan 60°=,所以AO=h(km),
在△POB中,tan ∠BPO=,即tan 45°=,
所以BO=h(km),
在△AOB中,由余弦定理可得AB2=AO2+BO2-2AO·BOcos ∠AOB,
即2.52=+h2-2h·h·(-),
整理得h2=,
解得h=1(km),
所以山的高PO=1 km.
故选A.
能力提升
5.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是β,α(α<β),则A点离地面的高度AB等于( A )
(A) (B)
(C) (D)
解析:在△ADC中,∠DAC=β-α.
由正弦定理得=,
所以AC=,
所以在△ABC中,AB=AC·sin β=.故选A.
6.如图,某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°,乙山山顶B的仰角为60°,∠APB的大小为30°,山脚P到山顶A的直线距离为
4 km,在A处测得山顶B的仰角为30°,则乙山的高度为 km.
解析:假设甲山底部为C,乙山底部为D,过A作AE⊥BD于E,如图所示.
由题意可知,∠APC=30°,∠BPD=60°,AP=4,
所以在△APC中,AC=AP·sin 30°=2(km),
DE=AC=2 km,
设BD=h km,则DP=h,
BE=h-2,BP=h,
因为∠BAE=30°,所以AB=2BE=2h-4,
在△ABP中,由余弦定理得cos 30°=
=
=,
解得h=3,所以乙山的高度为3 km.
答案:3
7.如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).
(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;
(注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式)
(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际高度有误差,请你针对误差情况进行说明.
解:(1)选用测角仪和米尺,如图所示.
①选择一条水平基线HG(如图),使H,G,B三点共线;
②在G,H两点用测角仪测得A的仰角分别为α,β,用米尺测量得CD=a,测得测角仪的高为h;
③经计算建筑物AB=+h(或者写成+h).
(2)①测量工具问题;
②两次测量时位置的间距差;
③用身高代替测角仪的高度.
应用创新
8.如图,某摩天轮的半径为6(单位:10 m),游客在乘坐舱P升到上半空鸟瞰某建筑BC,该摩天轮与此建筑之间的距离AB为12(单位:10 m),游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为θ.
(1)当游客在乘坐舱P与该摩天轮中心M在同一水平面看建筑BC的视角θ为60°时,拍摄效果最好.若此时测得建筑物BC的高度为(18-6)(单位:10 m),求视线PC的长度.
(2)当乘坐舱P在该摩天轮的最高点D时,视角θ=30°,求建筑BC的高度.
解:(1)根据题意,易知点P应在轴线AD的右侧与M等高的位置,连接MP,
则MA=MP=6,
过点P作PE⊥AB于点E(如图),则PE=MA=6,因为AB=12,所以E为AB的中点,
则AE=BE=6,
因此△PEB为等腰直角三角形,则∠PBE=45°,PB==6,
又BC⊥AB,所以∠PBC=45°,
因为θ=60°,所以∠PCB=180°-60°-45°=75°,
在△PBC中,由正弦定理可得,=,
则PC===(6-6)(单位:10 m),
即视线PC的长度为(60-60)m.
(2)如图所示,连接DB,
因为AD=AB=12,
所以DB==12,∠DBA=45°,
又BC⊥AB,所以∠DBC=45°,
因为θ=30°,所以∠DCB=180°-30°-45°=105°,
在△DBC中,由正弦定理可得=,
则BC==12(-1)(单位:10 m),
即建筑BC的高度为120(-1) m.
