北师大版高中数学必修第二册第四章三角恒等变换课时训练含答案

2.3　三角函数的叠加及其应用

2.4　积化和差与和差化积公式

基础巩固

知识点一:辅助角公式

1.若cos x+sin x=cos(x+),则的一个可能值是(　A　)

(A)-   (B)-

(C)   (D)

2.sin 15°+sin 75°等于(　C　)

(A)   (B)1    (C)    (D)

3.化简sin x+cos x等于(　A　)

(A)2sin(x+)    (B)2sin(x-)

(C)2cos(x+)   (D)2cos(x-)

解析:sin x+cos x=2sin(x+).故选A.

4.(多选题)下列说法正确的是(　AB　)

(A)sin 15°+cos 15°=sin 60°

(B)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos β+cos(α-15°)sin β

(C)cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β

(D)tan(α-β)=

解析:A,B正确;

对于C,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,故C错误;

对于D,tan(α-β)=,故D错误.

故选AB.

5.形如的式子叫作行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式的值是　　　　. 

解析:由题意知,原式=sin 15°-cos 15°=-cos 60°=-.

答案:-

知识点二:积化和差与和差化积公式

6.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,则cos αcos β,sin αsin β

的值分别为　　　　　　　　.

解析:cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]=×(-)=-,

sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-×(+)=-.

答案:-,-

能力提升

7.在△ABC中,若sin Asin B=(1+cos C),则△ABC是(　B　)

(A)等边三角形      (B)等腰三角形

(C)不等边三角形   (D)直角三角形

解析:由已知得,[cos(A-B)-cos(A+B)]=(1+cos C),

又A+B=π-C,

所以cos(A-B)-cos(π-C)=1+cos C,

所以cos(A-B)=1,

又-π<A-B<π,

所以A-B=0,所以A=B,

故△ABC为等腰三角形.故选B.

8.已知α∈(0,),sin α+cos α=tan (cos α-sin α),则α等于(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:2(sin α+cos α)=2tan (cos α-sin α),

即sin(α+)=tan cos(α+),

易知cos(α+)≠0,所以=tan ,

即tan(α+)=tan ,

故α+=+kπ(k∈Z),

即α=+kπ(k∈Z).

又因为α∈(0,),令k=-1,得α=.故选D.

9.(多选题)下列四个关系式错误的是(　BCD　)

(A)sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ

(B)cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ

(C)sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ

(D)sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ

解析:由sin 5θ=sin(4θ+θ)=sin 4θcos θ+cos 4θsin θ,

sin 3θ=sin(4θ-θ)=sin 4θcos θ-cos 4θsin θ,

cos 5θ=cos(4θ+θ)=cos 4θcos θ-sin 4θsin θ,

cos 3θ=cos(4θ-θ)=cos 4θcos θ+sin 4θsin θ,代入各选项得,

sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ,A正确;B错误,右边应是

2sin 4θsin θ;C错误,右边应是-2cos 4θsin θ;D错误,由

sin 5θ与cos 3θ两式相加不能得出右边结论.如果从和差化积角度考虑,左边为异名三角函数,要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积,即sin 5θ+cos 3θ=sin 5θ+sin(-3θ)=2sin

(θ+)cos(4θ-).故选BCD.

10.(多选题)关于函数f(x)=cos(2x-)+cos(2x+),下列命题正确的是(　ABD　)

(A)y=f(x)的最大值为

(B)y=f(x)是以π为最小正周期的周期函数

(C)将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度后,将与已知函数的图象重合

(D)y=f(x)在区间(,)上单调递减

解析:f(x)=cos(2x-)+cos(2x+)=cos(2x+-)+cos(2x+)=

sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x++)=sin(2x+),显然A,B选项正确;

C选项,将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度得到y=cos(2x+),图象不会与原图象重合,故C错误;

D选项,当x∈(,),则2x+∈(,),所以y=f(x)在区间(,)上单调递减成立.故选ABD.

11.=　　    　　. 

解析:原式==tan 30°=.

答案:

12.已知tan α,tan β是一元二次方程x2+3x-4=0的两个根,

求的值.

解:因为tan α,tan β是一元二次方程x2+3x-4=0的两个根,

所以tan α+tan β=-3,tan α·tan β=-4,

=====-.

13.求的值.

解:=

=

==-

=-

=-=-=-

=-2-.

14.求下列各式的值.

(1)sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50°;

(2)cos 10°·cos 30°·cos 50°·cos 70°.

解:(1)sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50°=[sin 90°+

sin(-50°)]-[cos 60°-cos(-40°)]=-sin 50°-+cos 40°

=-cos 40°+cos 40°=.

(2)cos 10°·cos 30°·cos 50°·cos 70°=cos 10°·

cos 50°·cos 70°=[(cos 60°+cos 40°)·cos 70°]=

cos 70°+cos 40°cos 70°=cos 70°+(cos 110°+cos 30°)=

cos 70°+cos 110°+=.

应用创新

15.已知实数x,y满足sin x+sin y=,cos x-cos y=,求sin(x-y),

cos(x+y).

解:sin x+sin y=,①

cos x-cos y=,②

①式两边分别平方得sin2x+sin2y+2sin xsin y=,

②式两边分别平方得cos2x+cos2y-2cos xcos y=,上述两式相加得2+2sin xsin y-2cos xcos y=+,即sin xsin y-cos xcos y=-.

所以cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y=.

由和差化积公式得sin 2x-sin 2y=2cos(x+y)·sin(x-y),

则sin(x-y)cos(x+y)=sin(x-y)=(sin 2x-sin 2y).

①×②得(sin 2x-sin 2y)-sin(x-y)=,

即sin(x-y)-sin(x-y)=,

所以sin(x-y)=-.