北师大版高中数学必修第二册第五章复数课时训练含答案

1.2　复数的几何意义

基础巩固

知识点一:复数与复平面内的点和向量的对应关系

1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点Z位于(　C　)

(A)第一象限   (B)第二象限

(C)第三象限    (D)第四象限

解析:z=-1-2i对应点Z(-1,-2).故选C.

2.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于虚轴的对称点为B,则向量对应的复数为(　C　)

(A)-2-i (B)-2+i

(C)1+2i (D)-1+2i

解析:因为点A(-1,2)关于虚轴的对称点为B(1,2),所以向量对应的复数为1+2i.故选C.

3.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点Z在虚轴上,则a的值为(　A　)

(A)a=0或a=2    (B)a=0

(C)a≠1且a≠2    (D)a≠1或a≠2

解析:因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点Z在虚轴上,所以a2-

2a=0,所以a=0或a=2.故选A.

知识点二:复数的模、共轭复数

4.已知平行四边形OABC,O,A,C三点对应的复数分别为0,1+2i,3-2i,则向量的模||等于(　D　)

(A)     (B)2    (C)4   (D)

解析:由于四边形OABC是平行四边形,故=,因此||=||=

|3-2i|=.故选D.

5.若复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),其中m∈R,则||=　　　　. 

解析:由题解得m=2,所以z=3i,所以=-3i,所以||=3.

答案:3

6.若b-ai(a,b∈R)与3-4i互为共轭复数,则a-b=　　　　. 

解析:由题意知,b=3,又-a+(-4)=0,所以a=-4,所以a-b=-7.

答案:-7

能力提升

7.(多选题)下列说法正确的是(　CD　)

(A)若实数a与ai对应,则实数集与虚数集是一一对应的

(B)虚轴上的点表示的数都是纯虚数

(C)已知复数z=a+i(a∈R),在复平面上,z对应的点不可能在第三

象限

(D)复数z1=a+bi与z2=-a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点关于虚轴对称

解析:对于A,当a=0时,不符合,故A错误.

对于B,虚轴上的(0,0)点表示的数不是纯虚数,故B错误;

对于C,z对应的点为(a,1),因为纵坐标y=1,所以不可能在第三象限,故C正确;

对于D,z1与z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,故D正确.故选CD.

8.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹是(　A　)

(A)1个圆　 (B)线段

(C)2个点　 (D)2个圆

解析:|z|=3或|z|=-1(舍去).故选A.

9.设复数z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论正确的是(　C　)

(A)复数z对应的点在第一象限

(B)复数z一定不是纯虚数

(C)复数z对应的点在实轴上方

(D)复数z一定是实数

解析:因为2t2+5t-3=0的判别式Δ=25+24=49>0,

所以方程有两根,2t2+5t-3的值可正可负可为零,所以A,B不正确.

又t2+2t+2=(t+1)2+1>0,所以D不正确.故选C.

10.已知复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,则向量表示的复数是　                  . 

解析:由题意知=(4,3),=(-2,-5),又=-=(-2,-5)-

(4,3)=(-6,-8),所以向量表示的复数是-6-8i.

答案:-6-8i

11.已知复数z=lg(m2+2m-14)+(m2-m-6)i.

(1)若复数z是实数,则实数m=　　　　; 

(2)若复数z对应的点位于复平面的第二象限,则实数m的取值范围为

　                 . 

解析:(1)若复数z是实数,则有m2-m-6=0,解得m=3,或m=-2,

又当m=-2时,m2+2m-14<0,所以当复数z是实数时,m=3.

(2)若复数z所对应的点位于第二象限,

则有0<m2+2m-14<1且m2-m-6>0,

解得-5<m<-1-.

答案:(1)3　(2)(-5,-1-)

12.已知复数z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i(i为虚数单位,a∈R)为纯虚数,z0和b是关于x的方程x2-(3+2i)x+6i=0的两个根.

(1)求a,b的值.

(2)若复数z满足1≤|z|≤|a+bi|,说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形?并求该图形的面积.

解:(1)由题意得

即

解得a=3,

则z0=2i,由于z0和b是方程x2-(3+2i)x+6i=0的两个根,由根与系数的关系得解得b=3.

(2)由1≤|z|≤|a+bi|,得1≤|z|≤3,

不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1的外部(包括边界)所有点组成的集合,不等式|z|≤3的解集是圆|z|=3的内部(包括边界)所有点组成的集合,所以所求点Z的集合是以原点为圆心,以1和3为半径的两个圆所夹的圆环,包括边界.

则S圆环=π[(3)2-12]=17π.

13.已知复数z1=2-2i,

(1)求|z1|;

(2)若|z|=1,试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值.

解:(1)|z1|==2.

(2)由于|z|=1,故复数z所对应的点的轨迹是以原点为圆心,以1为半径的圆,而z1所对应的点为Z1(2,-2),则所求距离的最大值可以看成点Z1(2,-2)到圆心的距离再加1.由图可知,最大值为2+1.

应用创新

14.已知复数z对应的向量为 (O为坐标原点),与实轴正向的夹角为120°,且复数z的模为2,求复数z.

解:根据题意可画图形如图所示,

设点Z的坐标为(a,b),

因为||=|z|=2,与x轴正向的夹角为120°,

所以a=-1,b=,

即点Z的坐标为(-1,),

所以z=-1+i.