北师大版高中数学必修第二册第二章平面向量及其应用课时学案

§1　从位移、速度、力到向量

1.1　位移、速度、力与向量的概念

1.2　向量的基本关系

　位移、速度、力与向量的概念

知识点1:位移、速度、力与向量的概念

(1)向量的概念:既有大小又有方向的量统称为向量.

(2)有向线段:在数学中,具有方向和长度的线段称为有向线段.以A为起点,B为终点的有向线段,记为,它的长度记为||.

(3)向量的模:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用黑斜体小写字母a,b,c,…或,,,…(书写)来表示.向量a的大小,记作|a|,又称作向量的模.

(4)零向量和单位向量:长度为0的向量称为零向量,记作0或,任何方向都可以作为零向量的方向.模等于1个单位长度的向量称为单位向量.

[思考1] 如何用图形表示零向量?

提示:可用一个点表示.

[例1] 给出下列说法:①向量的长度与向量的长度相等;②有向线段就是向量,向量就是有向线段;③向量的大小与方向有关;④向量的模可以比较大小.其中说法正确的有(　　)

(A)1个 (B)2个

(C)3个 (D)4个

解析:选B.

变式训练1-1:下列结论中,正确的是　　　　. 

①零向量只有大小没有方向;

②对任一向量a,|a|>0总是成立的;

③||=||;

④||与线段BA的长度不相等.

答案:③

变式训练1-2:如图,是某人行走的路线,那么的几何意义是某人从A点沿西偏南　　　　　　方向行走了　　　　 km. 

解析:由已知图形可知,的几何意义是从A点沿西偏南60°方向行走了2 km.

答案:60°　2

　向量的基本关系

知识点2:向量的基本关系

(1)相等向量

长度相等且方向相同的两个向量称为相等向量.向量a与b相等,记作a=b.

(2)共线向量

若两个非零向量a,b的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作a∥b.

特别:

①相反向量:若两个向量的长度相等、方向相反,则称它们互为相反向量.向量a的相反向量记作-a,零向量的相反向量仍为零向量.

②规定:零向量与任一向量共线,即对于任意的向量a,都有0∥a.

(3)向量的夹角

已知两个非零向量a和b,在平面内选一点O,作=a,=b,则θ=

∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角.

特别:①当θ=0°时,a与b同向;②当θ=180°时,a与b反向;③当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.规定零向量可与任一向量垂直,即对于任意的向量a,都有0⊥a.

[思考2] 对零向量与任意一个非零向量,如何理解其夹角问题?

提示:有两条规定,零向量与任一向量共线(夹角为0°或180°),零向量与任一向量垂直(夹角为90°),可以认为零向量与任意一个向量的夹角也是任意的.

[例2] 如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.

(1)写出与相等的向量.

(2)写出与共线的向量.

(3)向量与是否相等?

(4)求向量分别与向量,,的夹角.

解:(1)根据相等向量的概念可得,与相等的向量有,,.

(2)由共线向量的定义可得,与共线的向量有,,,,,,,,.

(3)根据图形可得,与的方向相反,所以向量与不相等.

(4)与的夹角为90°;与的夹角为45°;与的夹角为135°.

变式训练2-1:下列命题正确的是(　　)

(A)|a|=|b|⇒a=b (B)|a|>|b|⇒a>b

(C)a∥b⇒a=b (D)|a|=0⇒a=0

解析:选D.

[例1] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)画出下列向量.

(1),使||=4,点A在点O北偏东45°;

(2),使||=4,点B在点A正东方向.

解:(1)(2)如图所示.

[例2] 一艘军舰从基地A出发向东航行了200 km到达基地B,然后向东偏北60°航行了400 km到达C岛,最后又向西航行了200 km到达D岛.

(1)试作出向量,,;

(2)求||.

解:(1)建立如图所示的平面直角坐标系,向量,,即为所求.

(2)根据题意,向量与方向相反,

故向量∥.

又||=||,

所以在四边形ABCD中,ABCD,

所以四边形ABCD为平行四边形,

所以=,

所以||=||=400(km).

[例3] 一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.

解:如图所示,

||=100 m,||=100 m,

∠ABC=45°+15°=60°,

所以△ABC为正三角形,所以||=100 m,

即此人从C点走回A点所走的路程为100 m.

因为∠BAC=60°,

所以∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,

故此人行走的方向为北偏西75°.故此人从C点走回A点的位移为沿北偏西75°方向100 m.

基础巩固

知识点一:向量的有关概念

1.数轴上点A,B分别对应-1,2,则向量的长度是(　D　)

(A)-1 (B)2

(C)1 (D)3

2.若向量a与b不相等,则a与b一定(　C　)

(A)有不相等的模      (B)不共线

(C)不可能都是零向量 (D)不可能都是单位向量

知识点二:向量的基本关系

3.下列说法错误的是(　B　)

(A)若a=0,则|a|=0

(B)零向量是没有方向的

(C)零向量与任一向量平行

(D)零向量的方向是任意的

4.下列结论中,正确的是(　D　)

(A)若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合

(B)若向量a与b都是单位向量,则a=b

(C)若向量a与b是平行向量,则a与b的方向相同

(D)若两个向量相等,则它们的模相等

5.设O是正方形ABCD的中心,则向量,,,是(　D　)

(A)相等向量        (B)平行向量

(C)有相同起点的向量 (D)模相等的向量

6.(多选题)若四边形ABCD是矩形,则下列命题中正确的是(　ACD　)

(A), 共线

(B), 相等

(C), 模相等,方向相反

(D), 模相等

能力提升

7.有关向量a和b,下列四个说法中,

①若|a|=0,则a=0;

②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;

③若a∥b,则|a|=|b|;

④若a=0,则-a=0.其中正确的说法有(　B　)

(A)1个 (B)2个

(C)3个 (D)4个

解析:由零向量的定义,可知①④正确;由向量的模定义,可知②不正确;由向量共线可知③不正确.故选B.

8.“=”是“四边形ABCD是平行四边形”的(　A　)

(A)充要条件

(B)必要不充分条件

(C)充分不必要条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:=⇔四边形ABCD是平行四边形.故选A.

9.下列命题:

①设非零向量a,b,若a∥b,则向量a与b的夹角为0°;

②若非零向量与是共线向量,则A,B,C,D四点共线;

③若a∥b,b∥c,则a∥c;

④若a=b,则|a|=|b|.

其中正确命题的个数为(　B　)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:对于①,a,b也可能反向,夹角为180°,①错误;

对于②,若与共线,则A,B,C,D可能不共线,②错误;

对于③,若b是零向量,则不成立,③错误;

④正确.

故选B.

10.(多选题)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是(　ABD　)

(A)||=||

(B)与共线

(C)与共线

(D)=

解析:与不一定共线,故C不正确.故选ABD.

11.(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,则以下说法正确的是(　ABC　)

(A)与相等的向量(不含)只有一个

(B)与的模相等的向量(不含)有9个

(C)的模是的模的倍

(D)与不共线

解析:A正确;B正确;C正确;

因为=,所以与是共线向量,所以D不正确.故选ABC.

12.给出下列五个命题:

①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;

②若|a|=|b|,则a=b;

③若=,则A,B,C,D四点构成平行四边形;

④在平行四边形ABCD中,一定有=;

⑤若m=n,n=p,则m=p.

其中错误的命题有　　　　.(填序号) 

答案:①②③

13.在如图所示的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为起点画一个向量b,使b=a;

(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|=,并说出向量c的终点的轨迹是什么.

解:(1)由题意,以B为起点画一个向量b,使b=a,如图所示.

(2)因为c=,则向量c的终点表示以A为圆心,半径为的圆,如图所示.

应用创新

14.已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地.画图表示向量,,,并指出向量的模和方向.

解:以A为原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.

由题意知B点在第一象限,C点在x轴正半轴上,D点在第四象限,

向量,,如图所示,由已知可得,

△ABC为正三角形,所以AC=2 000 km.

又∠ACD=45°,CD=1 000 km,

所以△ADC为等腰直角三角形,

所以AD=1 000 km,∠CAD=45°.

故向量的模为1 000 km,方向为东南方向.