北师大版高中数学必修第二册第三章数学建模活动(二)课时学案

§1　建筑物高度的测量

§2　测量和自选建模作业的汇报交流

　两点的高度差

[例1] 为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”的冈仁波齐山峰的高度,采用人工攀登的方式进行测量,测量人员从山脚开始,直到到达山顶分段测量,最后将所有的高度差累加,得到山峰的高度,在测量过程中,已知竖立在B点处的测量觇标高10 m,测量人员在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°,80°(如图),则A,B两点的高度差约为(　　)

(参考数据:sin 10°≈0.173 6,sin 70°≈0.939 7,sin 80°≈0.984 8)

(A)10 m (B)9.66 m

(C)9.40 m (D)8.66 m

解析:如图所示,在△ABC中,由正弦定理可得=,

由∠BAC=∠DAC-∠BAD=10°,∠ACD=90°-∠CAD=10°,

所以AB=BC=10 m,

在Rt△ADB中,

BD=ABsin ∠BAD=10sin 70°≈9.40(m).

故选C.

变式训练1-1:在某大学校园中有一座雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC=45°,且CD=2.3 m,则像体AD的高度为(　　)

(最后结果精确到0.1 m,参考数据:sin 70.5°≈0.943,cos 70.5°≈0.334,tan 70.5°≈2.824)

(A)4.0 m (B)4.2 m

(C)4.3 m (D)4.4 m

解析:在Rt△BCD中,

BC==2.3(m),

在Rt△ABC中,

AC=BCtan ∠ABC≈2.3×2.824≈6.5(m),

所以AD=AC-CD=6.5-2.3=4.2(m).

故选B.

山顶上的小塔的高度就是塔顶与塔底之间的高度差.基本的思路方法就是把高度差抽象为与水平面垂直的线段,把该线段归入三角形中,再通过三角形的其他元素求得该线段的长度.

　航空测量

[例2]要航测某座山的海拔高度,如图,飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内,已知飞机的飞行高度为海拔10 000 m,速度为900 km/h,航测员先测得对山顶的俯角为30°,经过40 s(已飞过M点)后,又测得对山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度.(精确到 m)(可能要用到的数据:≈1.414,≈1.732,≈2.450)

解析:因为900 km/h=250 m/s,

所以AB=250×40=10 000(m),

在△ABM中,由正弦定理得=,BM=.

作MD⊥AB于点D(如图),

则MD=BMsin 45°=×sin 45°=5 000(-1)≈3 660(m),

所以山顶的海拔高度为10 000-3 660=6 340 (m).

变式训练2-1:飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的飞行高度为海拔15 000 m,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°,经过108 s后又看到山顶的俯角为78°,则山顶的海拔高度为(　　)

(A)(15-18sin 18°cos 78°) km

(B)(15-18sin 18°sin 78°) km

(C)(15-20sin 18°cos 78°) km

(D)(15-20sin 18°sin 78°) km

解析:如图,∠A=18°,∠ACB=78°-18°=60°,

因为108 s=0.03 h,

所以AB=1 000×0.03=30(km).

在△ABC中,由正弦定理可得=,

可得BC==20sin 18°,

因为CD⊥AD,

所以C到AB边的距离为CD=BCsin ∠CBD=BCsin 78°=20sin 18°sin 78°,

所以山顶的海拔高度为(15-20sin 18°sin 78°) km.

故选D.

　最大视角问题

[例3]目前,中国已经建成全球最大的5G网络,无论是大山深处还是广袤平原,处处都能见到5G基站的身影.如图(1),某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB,已知基站高AB=50 m,该同学眼高1.5 m(眼睛到地面的距离),该同学在初始位置C处(眼睛所在位置)测得基站底部B的仰角为37°,测得基站顶端A的仰角为45°.

(1)求出山高BE(结果保留整数).

(2)如图(2),当该同学面向基站AB前行时(保持在同一铅垂面内),记该同学所在位置M处(眼睛所在位置)到基站AB所在直线的距离MD=x m,且记在M处观测基站底部B的仰角为α,观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时,观测基站的视角∠AMB最大?

(参考数据:sin 8°≈0.14,sin 37°≈0.6,sin 45°≈0.7,sin 127°≈0.8)

解:(1)由题知∠ACB=8°,∠BAC=45°,

在△ABC中,由正弦定理得=,即=,

所以BC≈=250(m).

在Rt△BDC中,sin ∠BCD=,

即sin 37°=,

所以BD≈250×0.6=150(m),

所以山高BE=BD+DE=150+1.5=151.5≈152 (m).

(2)由题知∠AMD=β,∠BMD=α,

则在Rt△BMD中,tan α==,

在Rt△AMD中,tan β==,

由题知∠AMB=β-α,则

tan ∠AMB=tan(β-α)==

==≤

==,

当且仅当x=,

即x=100 时,

tan ∠AMB取得最大值,即视角∠AMB最大.

变式训练3-1:如图,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿倾斜角为α(其中tan α=)的斜坡前进 km后到达D处,休息后继续行驶 km到达山顶B.

(1)求山的高度BE.

(2)现山顶处有一塔CB= km,从A到D的登山途中,队员在点P处测得塔的视角为θ (∠CPB=θ).若点P处高度PF为x km,则x为何值时,视角θ最大?

解:(1)因为tan α=,α是锐角,

所以sin α=,cos α=,

所以cos ∠BAD=cos(-α)=cos cos α+

sin sin α=×+×=.

在△ABD中,过D作DH⊥AB,垂足为H(如图).

因为AD=BD=,

所以AB=2AH=2ADcos ∠BAD

=2×=3(km).

在△ABE中,BE=ABsin 45°=3(km),

所以山的高度为3 km.

(2)过点P作PM⊥BE于点M,如图所示.

因为PF=x,所以AF=2x,

因为P在AD上,DG=1,所以x∈[0,1],

所以tan ∠BPM==,

tan ∠CPM===.

所以tan θ=tan(∠CPM-∠BPM)=

==,x∈[0,1].

令t=3-2x∈[1,3],所以x=,

则tan θ==

≤=.

当且仅当4t=,即t=∈[1,3],x=时,tan θ取得最大值.

所以当x=时,视角θ最大.

视角是指从某点处观察一个高度(也可以是其他的长度)一定的物体时,视线与该物体的下端点、上端点所成的角,该角可以转化为两个仰角的差,利用差角的正切公式,可得该角的正切,利用变量取得最大值的条件,可得其在什么位置取得最大视角,以及最大视角是多少.一个基本的模型如图,其中物体高度为b,底端A到水平线的距离为a,BD=x,则tan α=,tan β=,

tan ∠ADC=tan(β-α)==≤,等号当且仅当x=,即x=时成立.由于正切函数在(0,)上单调递增,所以当BD=时,视角∠ADC最大,其正切值为.

基础巩固

1.如图,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点,在A,B两点分别测得树顶P处的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为10 m,则树的高度h为(　A　)

(A)(5+5) m    (B)(30+15) m

(C)(15+30) m    (D)(15+3) m

解析:由已知,AB=-=10,

即h-h=10,

解得h==5×(+1)=(5+5)(m).

故选A.

2.如图,一研究性小组同学为了估测某塔的高度,在塔底D和A,B

(与塔底D同一水平面)处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,且A,B两点相距91 m,由点D看A,B的张角为150°,则此塔的高度CD等于(　C　)

(A)91 m      (B)13 m

(C)13 m   (D)91 m

解析:设CD=h m,因为在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,

所以BD=h,AD=h,

在△ABD中,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos 150°,

整理得912=7h2,解得h=13(m).

故选C.

3.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为(　D　)

(A)500 m       (B)200 m

(C)1 000 m    (D)1 000 m

解析:由题图可知,∠BSA=360°-75°-150°=135°,

又∠SAB=45°-30°=15°,

所以∠ABS=30°,

在△ABS中,由正弦定理得=,

所以AB===1 000(m),

所以BC=AB·sin ∠BAC=1 000·sin 45°=1 000(m).

故选D.

4.如图,某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°,该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5 min后,到达B处,此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h,且cos ∠AOB=-,

则此山的高PO等于(　A　)

(A)1 km   (B) km

(C) km   (D) km

解析:由题意可知,∠APO=90°-30°=60°,

∠BPO=90°-45°=45°,

AB=20×=2.5(km),

设PO=h km,在△POA中,tan ∠APO=,

即tan 60°=,所以AO=h(km),

在△POB中,tan ∠BPO=,即tan 45°=,

所以BO=h(km),

在△AOB中,由余弦定理可得AB2=AO2+BO2-2AO·BOcos ∠AOB,

即2.52=+h2-2h·h·(-),

整理得h2=,

解得h=1(km),

所以山的高PO=1 km.

故选A.

能力提升

5.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是β,α(α<β),则A点离地面的高度AB等于(　A　)

(A)   (B)

(C)   (D)

解析:在△ADC中,∠DAC=β-α.

由正弦定理得=,

所以AC=,

所以在△ABC中,AB=AC·sin β=.故选A.

6.如图,某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°,乙山山顶B的仰角为60°,∠APB的大小为30°,山脚P到山顶A的直线距离为

4 km,在A处测得山顶B的仰角为30°,则乙山的高度为　　　 km.

解析:假设甲山底部为C,乙山底部为D,过A作AE⊥BD于E,如图所示.

由题意可知,∠APC=30°,∠BPD=60°,AP=4,

所以在△APC中,AC=AP·sin 30°=2(km),

DE=AC=2 km,

设BD=h km,则DP=h,

BE=h-2,BP=h,

因为∠BAE=30°,所以AB=2BE=2h-4,

在△ABP中,由余弦定理得cos 30°=

=

=,

解得h=3,所以乙山的高度为3 km.

答案:3

7.如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).

(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;

(注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式)

(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际高度有误差,请你针对误差情况进行说明.

解:(1)选用测角仪和米尺,如图所示.

①选择一条水平基线HG(如图),使H,G,B三点共线;

②在G,H两点用测角仪测得A的仰角分别为α,β,用米尺测量得CD=a,测得测角仪的高为h;

③经计算建筑物AB=+h(或者写成+h).

(2)①测量工具问题;

②两次测量时位置的间距差;

③用身高代替测角仪的高度.

应用创新

8.如图,某摩天轮的半径为6(单位:10 m),游客在乘坐舱P升到上半空鸟瞰某建筑BC,该摩天轮与此建筑之间的距离AB为12(单位:10 m),游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为θ.

(1)当游客在乘坐舱P与该摩天轮中心M在同一水平面看建筑BC的视角θ为60°时,拍摄效果最好.若此时测得建筑物BC的高度为(18-6)(单位:10 m),求视线PC的长度.

(2)当乘坐舱P在该摩天轮的最高点D时,视角θ=30°,求建筑BC的高度.

解:(1)根据题意,易知点P应在轴线AD的右侧与M等高的位置,连接MP,

则MA=MP=6,

过点P作PE⊥AB于点E(如图),则PE=MA=6,因为AB=12,所以E为AB的中点,

则AE=BE=6,

因此△PEB为等腰直角三角形,则∠PBE=45°,PB==6,

又BC⊥AB,所以∠PBC=45°,

因为θ=60°,所以∠PCB=180°-60°-45°=75°,

在△PBC中,由正弦定理可得,=,

则PC===(6-6)(单位:10 m),

即视线PC的长度为(60-60)m.

(2)如图所示,连接DB,

因为AD=AB=12,

所以DB==12,∠DBA=45°,

又BC⊥AB,所以∠DBC=45°,

因为θ=30°,所以∠DCB=180°-30°-45°=105°,

在△DBC中,由正弦定理可得=,

则BC==12(-1)(单位:10 m),

即建筑BC的高度为120(-1) m.