北师大版高中数学必修第二册第五章复数课时学案

1.2　复数的几何意义

　复数与复平面内的点的对应关系

[问题1] 实数与数轴上的点是一一对应的,复数z=a+bi(a,b∈R)与有序实数对(a,b)有什么对应关系?

提示:任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.

知识点1:复数与复平面内的点的对应关系

(1)复平面

①定义:通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.

②实轴:在复平面内,x轴称为实轴,实轴上的点都表示实数.

③虚轴:在复平面内,y轴称为虚轴,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

④原点:复平面内的原点(0,0)表示复数0.

(2)复数与复平面内的点的对应关系

复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b).

[例1] 当实数m取什么值时,复平面内表示复数z=2m+(4-m2)i的点.

(1)位于虚轴上;(2)位于第三象限.

解:复数z=2m+(4-m2)i对应复平面内点P的坐标为(2m,4-m2).

(1)若点P在虚轴上,则2m=0,即m=0.

(2)若点P在第三象限,则解得m<-2.所以当点P位于第三象限时,实数m的取值范围是(-∞,-2).

变式训练1-1:已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　)

(A)(-3,1) (B)(-1,3)

(C)(1,+∞) (D)(-∞,-3)

解析:由题意得

得-3<m<1.故选A.

变式训练1-2:已知复数z1=3+2i,z2=-5-6i,且z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,求向量.

解:由题知Z1(3,2),Z2(-5,-6),

=(-8,-8).

②由有序实数对(a,b)确定复平面内的点Z(a,b).

　复数与复平面内的向量的对应关系

[问题2] 复平面内的点(2,3)对应的复数z是什么?以原点O为起点,终点为Z(2,3)的向量的坐标是什么?

提示:z=2+3i,=(2,3).

知识点2:复数与复平面内的向量的对应关系

复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的向量=(a,b)是一一对应的,即复数z=a+bi平面向量=(a,b).

[例2] 已知O为坐标原点,向量对应的复数为-3+4i,向量对应的复数为2a+i(a∈R).若向量与共线,求a的值.

解:因为向量对应的复数为-3+4i,向量对应的复数为2a+i,

所以=(-3,4),=(2a,1).

因为向量与共线,所以存在实数k,使=k,

即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k).

所以

所以

即a的值为-.

变式训练2-1:在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x 的对称点为B,则向量对应的复数为　　　　　　　　. 

解析:由A(-1,2),则B(-2,1),

所以向量对应的复数为-2+i.

答案:-2+i

变式训练2-2:在复平面内,O为原点,已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别是A,B,C.若=x+y(x,y∈R),则x+y=　　　　. 

解析:由A(-1,2),B(1,-1),C(3,-2),得=(-1,2),=(1,-1),=(3,-2),

得(3,-2)=(-x,2x)+(y,-y)=(-x+y,2x-y),

所以所以

所以x+y=5.

答案:5

(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、平面向量之间的转化.

　复数的模、共轭复数

[问题3] (1)求向量=(a,b)的模||;(2)求复平面内点(a,b)关于实轴对称的点.

提示:(1)||=.(2)(a,-b).

知识点3:复数的模、共轭复数

(1)复数的模

向量的模称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模就等于|z|===|a|(a的绝对值).

(2)共轭复数

①定义:若两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数.

②表示:复数z的共轭复数用表示,当z=a+bi(a,b∈R)时,=a-bi.

③性质:a.在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称,并且它们的模相等.

b.任意一个实数的共轭复数仍是它本身,反之亦然,即z=⇔z∈R.

利用这个性质,可以证明一个复数是实数.

[思考1] 复数z的模等于1,则复数z对应的点的轨迹是什么?又若|z-2|=3,则复数z对应的点的轨迹是什么?

提示:以原点为圆心的单位圆;以(2,0)为圆心,半径为3的圆.

[思考2] 复数x-2+yi和3x-i(x,y∈R)互为共轭复数,求|x+yi|.

提示:由题意

解得

所以|x+yi|=|-1+i|=.

[例3] 已知复数z1=-+i,z2=--i.

(1)求||与||的值,并比较它们的大小.

(2)设复平面内的复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|,复数z对应的点Z的集合是什么?

解:(1)由题 =--i,

=-+i,||==2.

||==1.

因为2>1,所以||>||.

(2)|z2|≤|z|≤|z1|,由(1)知1≤|z|≤2.

因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1上和该圆外部所有点的集合,不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2上和该圆的内部所有点组成的集合,所以满足条件1≤|z|≤2 的点Z的集合是以原点O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环(包括边界),如图所示.

变式训练3-1:已知z1=x2+ i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.

解:因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,

且|z1|>|z2|,

所以>|x2+a|对x∈R恒成立等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.

不等式等价于1-2a=0,1-a2>0,解得a=.

或

解得-1<a<,所以a∈(-1,).

综上可得,实数a的取值范围是{a|-1<a≤}.

(3)|z1-z2|表示z1,z2所表示的两点间的距离,|z|=r 表示以原点为圆心,以r为半径的圆.

利用复数的几何意义解不等式

[典例] 已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.

试题情境:含有复数模的不等式

必备知识:复数的模的几何意义

关键能力:逻辑思维能力,直观想象能力

核心素养:逻辑推理,直观想象

解:

利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界),由z=3+ai知z对应的点Z在直线x=3上,所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合,

由图可知,-<a<.

素养演练:如果复数z=1+ai满足条件|z|<2,那么实数a的取值范围是　　　　　　　　. 

解析:由|z|<2知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以2为半径的圆内(不包括边界),由z=1+ai知z对应的点Z在直线x=1上,所以线段AB(除去端点)为z对应的点Z的集合,由图可知-<a<.

答案:(-,)

[例1] 设复数z=a+bi(a∈Z,b∈Z),则满足|z-1|≤1的复数z有(　　)

(A)7个 (B)5个 (C)4个 (D)3个

解析:由题意得≤1,

即(a-1)2+b2≤1,又a∈Z,b∈Z,

得b=±1或0,

b=±1时,a=1,

b=0时,a=0,1,2.故选B.

[例2] 如果复数z的模不大于1,而z的虚部的绝对值不小于,那么复数z的对应点Z组成的平面图形的面积是多少?

解:所求复数对应点Z组成的图形如图所示(阴影部分).

∠AOB=,S扇形AOB=,

又S△AOB=,

所以上面的阴影部分面积为-.

所以整个阴影部分的面积为-.

 [例3] 已知复平面内的点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π).设向量 对应的复数是z.

(1)求复数;

(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.

解:(1)因为点A,B对应的复数分别是

z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,

所以点A,B的坐标分别是(sin2θ,1),(-cos2θ,cos 2θ),

所以=(-cos2θ,cos2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)=(-1,-2sin2θ),

所以向量对应的复数z=-1-i·2sin2θ.

=-1+i·2sin2θ.

(2)由(1)知点P的坐标是(-1,-2sin2θ),代入y=x,

得-2sin2θ=-,

即sin2θ=,所以sin θ=±.

又因为θ∈(0,π),所以sin θ=,

所以θ=或.

[例4] 在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.

(1)求向量,,对应的复数;

(2)判定△ABC的形状.

解:(1)由题A(1,0),B(2,1),C(-1,2),

所以=(1,1),=(-2,2),=(-3,1),所以向量,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.

(2)因为||=,||=2,||=,

所以||2+||2=||2,

所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.

基础巩固

知识点一:复数与复平面内的点和向量的对应关系

1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点Z位于(　C　)

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

解析:z=-1-2i对应点Z(-1,-2).故选C.

2.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于虚轴的对称点为B,则向量对应的复数为(　C　)

(A)-2-i (B)-2+i

(C)1+2i (D)-1+2i

解析:因为点A(-1,2)关于虚轴的对称点为B(1,2),所以向量对应的复数为1+2i.故选C.

3.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点Z在虚轴上,则a的值为(　A　)

(A)a=0或a=2 (B)a=0

(C)a≠1且a≠2 (D)a≠1或a≠2

解析:因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点Z在虚轴上,所以a2-2a=0,所以a=0或a=2.故选A.

知识点二:复数的模、共轭复数

4.已知平行四边形OABC,O,A,C三点对应的复数分别为0,1+2i,3-2i,则向量的模||等于(　D　)

(A) (B)2 (C)4 (D)

解析:由于四边形OABC是平行四边形,故=,因此||=||=|3-2i|=.故选D.

5.若复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),其中m∈R,则||=　　　　. 

解析:由题解得m=2,所以z=3i,所以=-3i,所以||=3.

答案:3

6.若b-ai(a,b∈R)与3-4i互为共轭复数,则a-b=　　　　. 

解析:由题意知,b=3,又-a+(-4)=0,所以a=-4,所以a-b=-7.

答案:-7

能力提升

7.(多选题)下列说法正确的是(　CD　)

(A)若实数a与ai对应,则实数集与虚数集是一一对应的

(B)虚轴上的点表示的数都是纯虚数

(C)已知复数z=a+i(a∈R),在复平面上,z对应的点不可能在第三象限

(D)复数z1=a+bi与z2=-a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点关于虚轴对称

解析:对于A,当a=0时,不符合,故A错误.

对于B,虚轴上的(0,0)点表示的数不是纯虚数,故B错误;

对于C,z对应的点为(a,1),因为纵坐标y=1,所以不可能在第三象限,故C正确;

对于D,z1与z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,故D正确.故选CD.

8.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹是(　A　)

(A)1个圆　 (B)线段

(C)2个点　 (D)2个圆

解析:|z|=3或|z|=-1(舍去).故选A.

9.设复数z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论正确的是(　C　)

(A)复数z对应的点在第一象限

(B)复数z一定不是纯虚数

(C)复数z对应的点在实轴上方

(D)复数z一定是实数

解析:因为2t2+5t-3=0的判别式Δ=25+24=49>0,

所以方程有两根,2t2+5t-3的值可正可负可为零,所以A,B不正确.

又t2+2t+2=(t+1)2+1>0,所以D不正确.故选C.

10.已知复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,则向量表示的复数是　. 

解析:由题意知=(4,3),=(-2,-5),又=-=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量表示的复数是-6-8i.

答案:-6-8i

11.已知复数z=lg(m2+2m-14)+(m2-m-6)i.

(1)若复数z是实数,则实数m=　　　　; 

(2)若复数z对应的点位于复平面的第二象限,则实数m的取值范围为　. 

解析:(1)若复数z是实数,则有m2-m-6=0,解得m=3,或m=-2,

又当m=-2时,m2+2m-14<0,所以当复数z是实数时,m=3.

(2)若复数z所对应的点位于第二象限,

则有0<m2+2m-14<1且m2-m-6>0,

解得-5<m<-1-.

答案:(1)3　(2)(-5,-1-)

12.已知复数z0=lg(a2-4a+4)+(a2-3a+2)i(i为虚数单位,a∈R)为纯虚数,z0和b是关于x的方程x2-(3+2i)x+6i=0的两个根.

(1)求a,b的值.

(2)若复数z满足1≤|z|≤|a+bi|,说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形?并求该图形的面积.

解:(1)由题意得

即

解得a=3,

则z0=2i,由于z0和b是方程x2-(3+2i)x+6i=0的两个根,由根与系数的关系得

解得b=3.

(2)由1≤|z|≤|a+bi|,得1≤|z|≤3,

不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1的外部(包括边界)所有点组成的集合,

不等式|z|≤3的解集是圆|z|=3的内部(包括边界)所有点组成的集合,

所以所求点Z的集合是以原点为圆心,以1和3为半径的两个圆所夹的圆环,包括边界.

则S圆环=π[(3)2-12]=17π.

13.已知复数z1=2-2i,

(1)求|z1|;

(2)若|z|=1,试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值.

解:(1)|z1|==2.

(2)由于|z|=1,故复数z所对应的点的轨迹是以原点为圆心,以1为半径的圆,而z1所对应的点为Z1(2,-2),则所求距离的最大值可以看成点Z1(2,-2)到圆心的距离再加1.由图可知,最大值为2+1.

应用创新

14.已知复数z对应的向量为 (O为坐标原点),与实轴正向的夹角为120°,且复数z的模为2,求复数z.

解:根据题意可画图形如图所示,

设点Z的坐标为(a,b),

因为||=|z|=2,与x轴正向的夹角为120°,

所以a=-1,b=,

即点Z的坐标为(-1,),

所以z=-1+i.