北师大版高中数学必修第二册第四章三角恒等变换检测试题含答案

第四章　检测试题

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°的值是(　B　)

(A)-    (B)-    (C)   (D)

2.若tan(+α)=2,则tan α的值为(　A　)

(A)   (B)-    (C)    (D)-

3.已知tan α=,则2+cos 2α等于(　A　)

(A) (B) (C)2 (D)3

4.在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点为O,始边为x轴的非负半轴,若点P(-1,2)是角α终边上的一点,则tan(π-2α)等于(　B　)

(A)-   (B)-   (C)    (D)

5.已知cos θ=,tan θ<0,则sin(π-2θ)等于(　A　)

(A)-     (B)-

(C)-     (D)

6.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-1,-2),则sin2α+sin 2α等于(　B　)

(A)     (B)     (C)      (D)

解析:由正弦、余弦函数的定义有sin α==-,

cos α==-,

所以sin2α+sin 2α=sin2α+2sin αcos α=+2×(-)×(-)=.

故选B.

7.已知α∈(-,0),cos α=,则tan 等于(　D　)

(A)3    (B)-3     (C)     (D)-

解析:由题sin α=-,故tan ===-.

故选D.

8.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+

asin C-b-c=0,则A的值为(　B　)

(A)    (B)    (C)    (D)

解析:因为acos C+asin C-b-c=0,

所以由正弦定理得sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0.

因为B=π-(A+C),

所以sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,

所以sin Acos C+sin Asin C-(sin Acos C+cos Asin C)-sin C=0,

即sin Asin C-cos Asin C-sin C=0,

因为sin C≠0,所以sin A-cos A=1,所以sin(A-)=,因为0<A<π,所以-<A-<,所以A-=,得A=.

故选B.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)

9.已知tan θ=3sin(θ-π),则cos θ的值可能为(　ABD　)

(A)-1     (B)-      (C)      (D)1

解析:因为tan θ=3sin(θ-π),

所以=-3sin θ.

若sin θ=0,则cos θ=1或-1,

若sin θ≠0,则cos θ=-.

故选ABD.

10.下列各式值为的是(　ACD　)

(A)2sin 75°cos 75°

(B)1-2sin215°

(C)cos 45°cos 15°-sin 45°sin 15°

(D)

解析:2sin 75°cos 75°=sin 150°=,故选项A正确;

1-2sin215°=cos 30°=,故选项B不正确;

cos 45°cos 15°-sin 45°sin 15°=cos(45°+15°)=cos 60°=,故选项C正确;

=tan(77°-32°)=tan 45°=.故选项D正确.

故选ACD.

11.下列等式成立的是(　ABD　)

(A)cos215°-sin215°=

(B)sin 22.5°cos 22.5°=

(C)sin 40°+cos 40°=sin 70°

(D)tan 15°=2-

解析:cos215°-sin215°=cos 30°=,故A正确;

sin 22.5°cos 22.5°=sin 45°=,故B正确;

sin 40°+cos 40°=sin 40°cos 60°+sin 60°cos 40°=

sin(40°+60°)=sin 100°=sin 80°,故C错误;

tan 15°=tan(45°-30°)===2-,故D正确.

故选ABD.

12.已知函数f(x)=sin ωx-sin(ωx+)(ω>0)在[0,π]上的值域为[-,1],则实数ω的值可能为(　ABC　)

(A)1 (B) (C) (D)2

解析:f(x)=sin ωx-sin(ωx+)=sin ωx-sin ωxcos -

cos ωxsin =sin ωx-cos ωx=sin(ωx-),

因为x∈[0,π],所以ωx-∈[-,ωπ-],

又函数f(x)在[0,π]上的值域为[-,1],f(0)=-,所以由正弦函数的对称性,只需≤ωπ-≤,则≤ω≤.

故选ABC.

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.=　    　　　. 

答案:2

14.已知tan(π-α)=-,则sin 2α的值为　　　　. 

解析:tan(π-α)=-,则tan α=,

sin 2α=2sin αcos α====.

答案:

15.tan 10°+tan 20°+tan 10°tan 20°=　　　　. 

解析:原式=tan 30°(1-tan 10°tan 20°)+tan 10°tan 20°=.

答案:

16.将函数y=3sin(2x+)的图象向右平行移动个单位长度后,得到函数y=f(x)的图象,若f(α)=,则f(2α+)=　　　　. 

解析:由题f(x)=3sin(2x-),

由f(α)=,得sin(2α-)=,

f(2α+)=3sin[2(2α+)-]=3sin(4α+)=3cos[-(4α+)]=

3cos(4α-)=3×[1-2sin2(2α-)]=3×(1-2×)=.

答案:

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

已知tan α=-,且α是第二象限的角.

(1)求sin α和cos α的值;

(2)求的值.

解:(1)由题设α终边上一点P(-3,4),

r=|OP|=5,

所以cos α=-,sin α=.

(2)===-.

18.(本小题满分12分)

已知cos α+sin α=(<α<π).

(1)求sin α·cos α及sin α-cos α的值;

(2)求tan α的值.

解:(1)由题,1+2sin αcos α=,

解得sin αcos α=-,因为<α<π,

则cos α<0<sin α,所以sin α-cos α>0,

因此,sin α-cos α===.

(2)由已知条件可得解得因此,

tan α==-.

19.(本小题满分12分)

证明下列各恒等式:

(1)=;

(2)=.

证明:(1)

=

=

===.

(2)因为==,

=====,

所以=.

20.(本小题满分12分)

已知tan(-α)=,α∈(0,).

(1)求f(α)=的值;

(2)若β∈(0,),且sin(+β)=,求α+β的值.

解:(1)因为tan(-α)=,α∈(0,),所以=,解得tan α=.

所以f(α)== ==

=-.

(2)因为β∈(0,),且sin(+β)=,

所以<+β<,

所以cos(+β)<0,cos(+β)=,

所以sin β=sin[(β+)-]=sin(β+)·cos -cos(β+

)sin =×(-)-()×=,β∈(0,),

所以cos β=.所以tan β=.

所以tan(α+β)===1,

又因为α+β∈(0,),所以α+β=.

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,-≤<)的图象关于直线x=对称,且图象相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和的值;

(2)若f()=(<α<),求cos(α-)的值.

解:(1)因为y=f(x)图象相邻两个最高点的距离为π,所以y=f(x)的最小正周期为π,

所以=π,又ω>0,解得ω=2.

因为y=f(x)的图象关于直线x=对称,

所以2×+=kπ+,又-≤<,

解得=-.

(2)由(1)知,f(x)=sin(2x-),

所以f()=sin(α-)=,

所以sin(α-)=.

因为<α<,所以0<α-<.

所以cos(α-)===,

所以cos(α-)=cos(α--)=cos(α-)cos +sin(α-)sin =

×+×=.

22.(本小题满分12分)

在下列三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并进行解答.

①sin 2θ+cos 2θ-4cos θ+1=0;

②1-4cos 2θ=2sin θ;

③cos(θ+)=.

如图,在边长为1的正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,AB上移动(不含端点),∠EDF=θ,且　　　　,∠ADF=α. 

(1)求θ的值;

(2)求△EDF面积的最小值.

(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)

解:(1)选择①,sin 2θ+cos 2θ-4cos θ+1=0,

即2sin θcos θ+2cos2θ-4cos θ=0,

又cos θ≠0,

所以sin θ+cos θ-2=0,

即2sin(θ+)=2.

根据题意知0<θ<,所以θ=.

选择②,1-4cos 2θ=2sin θ,

即1-4(1-2sin2θ)=2sin θ,

8sin2θ-2sin θ-3=0,

(2sin θ-)(4sin θ+)=0,

解得sin θ=或sin θ=-,

根据题意知0<θ<,

所以θ=.

选择③,cos(θ+)=,

根据题意知0<θ<,

所以<θ+<,

又cos(θ+)=,

所以sin(θ+)==,

所以sin θ=sin[(θ+)-]=×-×=,

而0<θ<,所以θ=.

(2)根据题意,

易知DF=,DE=,0<α<,

S△EDF=×sin ××=×=.

由0<α<,

得<2α+<,

所以sin(2α+)∈(,1],

当sin(2α+)=1,

即2α+=,α=时,△EDF的面积最小,为=2-3.