北师大版高中数学必修第二册第五章复数检测试题含答案
展开第五章 检测试题
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.等于( A )
(A)-i (B)+i
(C)--i (D)-+i
解析:==-i.故选A.
2.“m=1”是“复数z=(1+mi)(1+i)(m∈R,i为虚数单位)为纯虚数”的( C )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:z=(1+mi)(1+i)=1+i+mi-m=(1-m)+(1+m)i,若m=1,则z=2i为纯虚数;若z为纯虚数,则m=1.故选C.
3.若z·(1+i)=2i,则z的虚部是( B )
(A)-1 (B)1 (C)i (D)-i
4.复数z1=1由z2绕原点O按顺时针方向旋转而得到,则arg()的值为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:z1=cos 0+isin 0=1,z2=z1(cos +isin )=+i,=(-+i),此复数在第二象限,设辐角是θ,tan θ=-,θ=.故选C.
5.z=(a∈R),若z为实数,则a的值为( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:z==,因为z为实数,a∈R,所以2a-3=0,解得a=.故选D.
6.已知复数z满足(1-i)(3+z)=1+i(i为虚数单位),则z的共轭复数为( C )
(A)3-i (B)3+i
(C)-3-i (D)-3+i
解析:由题得z=-3+i,所以z的共轭复数为-3-i.故选C.
7.若虚数z满足z(1+i)=|z|2,则z等于( A )
(A)1-i (B)1+i
(C)-1-i (D)-1+i
解析:设z=a+bi,a,b∈R,
得(a+bi)(1+i)=|a+bi|2=a2+b2,
得所以z=1-i.故选A.
8.如图,若向量对应的复数为z,且|z|=,则等于( D )
(A)+i
(B)--i
(C)-i
(D)-+i
解析:由题图设z=-1+bi,b>0,
由|z|=,解得b=2,所以z=-1+2i,
所以=-+i.故选D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9.若复数z=-i,则( AC )
(A)|z|=2
(B)|z|=4
(C)z的共轭复数=+i
(D)z2=4-2i
10.复数z=1+2i(i为虚数单位),为z的共轭复数,则下列结论正确的是( ACD )
(A)z·=5
(B)的虚部为-2i
(C)复数z是方程x2-2x+5=0的一个虚根
(D)若复数z1满足|z1|=1,则|z-z1|max=+1
解析:A正确;B不正确;C正确;
对于D,设z1=x+yi(x,y∈R),
则|z-z1|表示点A(1,2)与圆x2+y2=1上的点之间的距离d,
则dmax=r+|OA|=1+=1+,D正确.故选ACD.
11.设复数z=a+bi(a,b∈R),则下列命题为真命题的是( BD )
(A)若z·∈R,则z∈R
(B)若b=0,则z=
(C)若z2为纯虚数,则a=b≠0
(D)若z+i与都是实数,则|z|=
解析:A错误;
B为真命题;
对于C,若z2=a2+b2i2+2abi=(a2-b2)+2abi为纯虚数,
则所以a=±b≠0,故C错误;
D为真命题.故选BD.
12.设z1,z2,z3为复数,z1≠0.下列命题正确的是( BC )
(A)若|z2|=|z3|,则z2=±z3
(B)若z1z2=z1z3,则z2=z3
(C)若=z3,则|z1z2|=|z1z3|
(D)若z1z2=|z1|2,则z1=z2
解析:|+i|=|+i|,但+i≠±(+i),A错误;
i·(-i)=|i|2,但i≠-i.D错误.故选BC.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.复数--i表示成三角形式为 .
解析:--i=cos +isin .
答案:cos +isin
14.在复平面内,O是原点,设复数z对应的点是P,复数zi对应的点是Q,若z=1+i,则cos ∠POQ等于 .
解析:由题=(1,1),
=(-1,1),所以·=0,
所以cos ∠POQ=0.
答案:0
15.已知复数z=,则复数z在复平面内对应点的坐标为
.
解析:因为i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i+i2+i3+i4=0,而2 018=4×504+2,所以z======i,对应的点为(0,1).
答案:(0,1)
16.若复数z满足①|z|≥1;②|z+i|≤|-1-2i|.则z在复平面内所对应的图形的面积为 .
解析:因为|z|≥1,所以复数z对应的图形为以原点为圆心,以1为半径的圆及其外部(包括边界),
因为|z+i|≤|-1-2i|,
所以复数z在复平面内所对应的图形为以(0,-1)为圆心,以为半径的圆及其内部(包括边界),如图所示.
故所求的图形的面积为π×()2-π×12=4π.
答案:4π
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知复数z=(m2-4m+3)+(m2-m)i,其中i为虚数单位.
(1)若复数z是纯虚数,求实数m的值;
(2)复数z在复平面内对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.
解:(1)因为复数z是纯虚数,
所以
解得故m=3,
(2)因为复数z在复平面内对应的点在第一象限,
所以解得m>3或m<0,
所以实数m的取值范围为(-∞,0)∪(3,+∞).
18.(本小题满分12分)
已知复数满足z1=2-i,z1z2=5i(i为虚数单位).
(1)求复数和z2;
(2)求复数+的模.
解:(1)=2+i.
z2===i(2+i)=-1+2i.
(2)+=2+i+=2+i+(-1-2i)=1-i,
所以|+|==.
19.(本小题满分12分)
(1)已知z∈C,解关于z的方程(z-3i)·=1+3i;
(2)已知3+2i是关于x的方程2x2+ax+b=0在复数集内的一个根,求实数a,b的值.
解:(1)设z=a+bi,则(a+bi-3i)(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i,
所以解得或
所以z=-1或z=-1+3i.
(2)由题知方程在复数集内另一根为3-2i,
故即a=-12,b=26.
20.(本小题满分12分)
已知复数z满足|z|=,z2的虚部为2.
(1)求复数z;
(2)设复数z,z2,z-z2在复平面上对应的点分别为A,B,C,求(+)·的值.
解:(1)设z=a+bi,由题,可得|z|==,z2=(a+bi)2=(a2-b2)+
2abi,因为|z|=,z2的虚部为2,则所以或,故z=1+i或z=-1-i.
(2)由(1)可知z2=2i,即B为(0,2),
所以=(0,2)
当z=1+i时,即A为(1,1),所以=(1,1),此时z-z2=1-i,即C为
(1,-1),所以=(1,-1).
所以+=(1,3),
所以(+)·=1×1+3×(-1)=-2;
当z=-1-i时,即A为(-1,-1),
所以=(-1,-1),
此时z-z2=-1-3i,即C为(-1,-3),
所以=(-1,-3),所以+=(-1,1),
所以(+)·=(-1)×(-1)+1×(-3)=-2.
综上,(+)·=-2.
21.(本小题满分12分)
关于复数z的方程z2-(a+2i)z-4+3i=0(a∈R).
(1)若此方程有实数解,求a的值;
(2)证明:对任意的实数a,原方程不可能有纯虚数根.
(1)解:设方程的实数解为t,则t2-(a+2i)t-4+3i=0,
所以t2-at-4+(3-2t)i=0,
所以3-2t=0,所以t=.
因为t2-at-4=0,所以a=-.
(2)证明:假设原方程有纯虚数根,令z=mi,m≠0,且m∈R,
则(mi)2-(a+2i)mi-4+3i=0,
整理可得-m2+2m-4+(-am+3)i=0,
即
对于①,由于判别式Δ<0,所以方程①无解,故方程组无解,假设不成立,故对任意的实数a原方程不可能有纯虚数根.
22.(本小题满分12分)
已知z为虚数,z+为实数.
(1)若z-2为纯虚数,求虚数z;
(2)求|z-4|的取值范围.
解:(1)设z=x+yi(x,y∈R,y≠0),
则z-2=x-2+yi,
由z-2为纯虚数,得x=2,所以z=2+yi,则z+=2+yi+=2+(y-)i为实数,得y-=0,y=±3,所以z=2+3i或z=2-3i.
(2)由(1)设z=x+yi,
因为z+=x+yi+=x++[y-]i为实数,
所以y-=0,
因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9,
得(x-2)2<9,得x∈(-1,5),
所以|z-4|=|x+yi-4|=
==∈(1,5).
所以|z-4|的取值范围是(1,5).
