江苏省南京市金陵中学集团·人民中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试卷

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(满分：150分 考试时间：120分钟)
2021．10
命题人：凌玲 审核人：张云帆
一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列集合表示正确的是( )
A．{2，4} B．{2，3，3} C．{2，2，3} D．{高个于男生}
2．已知非零实数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋b＞0 B．a2＞b2 C．EQ \F(1,a)＜EQ \F(1,b) D．a2＋b2＞2ab
3．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z)，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}，集合之间的关系是( )
A．SMP B．S＝PM C．SP＝M D．P＝MS
4．已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z|－1≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k＋1，k∈N*}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．无穷多个
5．使不等式x2－x－6＞0成立的充分不必要条件是( )
A．－2＜x＜0 B．－3＜x＜2 C．0＜x＜5 D．－2＜x＜4
6．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了 个“半衰期”．【提示：eq \f(1,2\s\up6(9))＝0.00195】
A．10 B．9 C．11 D．8
7．已知不等式ax2＋5x＋b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2－5x＋a＜0的解集是( )
A．{x|x＜－3或x＞－2} B．{x|x＜－eq \f(1,2)或x＞－eq \f(1,3)}
C．{x|－eq \f(1,2)＜x＜－eq \f(1,3)} D．{x|－3＜x＜－2}
8．已知关于x的不等式eq x\s\up6(2)－4ax＋3a\s\up6(2)＜0(a＜0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋eq \f(a,x\s\d(1)x\s\d(2))的最大值是( )
A．eq \f(\r(,6),3) B．eq －\f(2\r(,3),3) C．eq \f(4\r(,3),3) D．－eq \f(4\r(,3),3)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9．下列运算结果中，一定正确的是( )
A．eq a\s\up6(3)·a\s\up6(4)＝a\s\up6(7) B．(－a2)3＝a6 C．eq \r(8,a\s\up6(8))＝a D．eq \r(5,(－π)\s\up6(5))＝－π
10．下列四个不等式中解集为R的是( )
A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2EQ \R(,5)x＋EQ \R(,5)＞0
C．－2x2＋3x－4＜0 D．x2＋6x＋10＞0
11．下列结论正确的是( )
A．若函数eq y＝ax\s\up6(2)＋bx＋c(a≠0)不存在零点，则不等式eq ax\s\up6(2)＋bx＋c＞0的解集为R
B．不等式eq ax\s\up6(2)＋bx＋c≤0(a≠0)在R上恒成立的条件是a＜0且＝eq b\s\up6(2)－4ac≤0
C．若关于x的不等式eq ax\s\up6(2)＋x－1≤0的解集为R，则a≤－eq \f(1,4)
D．不等式eq \f(1,x)＞1的解为x＜1
12．设全集为U，则下面四个命题中是 “A⊆B”的充要条件的是( )
A．A∩B＝A B．(CUA) (CUB) C．(CUB)∩A＝ D．(CUA)∩B＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“x∈R，x2－x＋3＞0”的否定是 ．
14．计算eq (－9.6)\s\up6(0)－(3\f(3,8))\s\up6(－\f(2,3))＋(1.5)\s\up6(－2)＝ ．
15．若集合eq A＝{x|ax\s\up6(2)－3x＋1＝0}中只含有一个元素，则a值为 ；若A的真子集个数是3个，则a的取值范围是 ．(第一空2分，第二空3分)
16．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分10分)
(1)试比较(x＋1)(x＋5)与(x＋3)2的大小；
(2)已知a＞b，EQ \F(1,a)＜EQ \F(1,b)，求证：ab＞0．
18．(本题满分12分)
化简或计算下列各式：
(1)(aEQ \S\UP8(\F(2,3))bEQ \S\UP8(\F(1,2)))×(aEQ \S\UP8(\F(1,2))bEQ \S\UP8(\F(1,3)))÷(aEQ \S\UP8(\F(1,6))bEQ \S\UP8(\F(5,6)))；
(2)已知m＝lg2，10n＝3，计算10EQ \S\UP8(\F(3m－2n,2))的值．
19．(本题满分12分)
已知集合A＝{x|EQ \F(x＋6,3－x)≥0}，集合B＝{x|x2≤16}，集合C＝{x|3x＋m＜0}．
(1)求A∪B，A∩B，CR(A∪B)；
(2)若x∈C是x∈A的必要条件，求m的取值范围．
20．(本题满分12分)
已知关于x的不等式ax2－(2a2＋1)x＋2a＜0，a∈R．
(1)若a＝－1，求不等式的解集．
(2)若关于x的不等式解集为{x|x＞eq \f(1,a)或x＜2a}，求a的取值范围．
21．(本题满分12分)
在①A∩B＝B；②A∩B＝；③BCRA这三个条件中任选一个，补充在下列问题(2)中，若实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．
已知集合A＝{x|EQ \F(x－2, x－8)＜0}，集合B＝{x|x2－(a2＋a＋2)x＋a3＋2a≤0}．
(1)当a＝3时，求A∩B；
(2)当 时，求实数a的取值范围．(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分)
22．(本题满分12分)
中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家铁路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设．目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为3m，底面积为12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两面墙的长度均为xm(2≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低；
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为EQ \F(900a(1＋x),3)元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．