江苏省南京市第一中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题

南京一中2021~2022学年度第一学期10月阶段性检测卷

高一数学

一、单项选择题：共本大题共8小题，每小题5分共，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

1. 已知全集，集合，，则

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】，则
故选：A

【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2. 设A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x等于（　　）

A. 0 B. ﹣2 C. 0或﹣2 D. 0或±2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据子集关系列式解得的值，再进行验证即可得解.

【详解】因为A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，

若B⊆A，则x2＝4或x2＝x，解得x＝2或﹣2或1或0．

①当x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足B⊆A．

②当x＝1，集合A＝{1，4，1}不满足元素互异性．

③当x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，满足B⊆A．

④当x＝﹣2，集合A＝{1，4，﹣2}，B＝{1，4}，满足B⊆A．

综上，x＝2或﹣2或0．

故选：D．

3. 若，，，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，且，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若且，则

【答案】B

【解析】

【分析】利用不等式的性质，结合特殊值法，判断选项.

【详解】A选项，时，结论不成立，故A错误

B选项，因为，所以，所以，即，故B正确

C选项，，时结论不成立，故C错误

D选项，若则结论不成立，故D错误，

故选：B.

4. 某班有30人参加了“第十四个五年规划的知识竞赛”若答对第一题的有18人，答对第二题的有16人，两题都答对的有8人，则一、二两题都没答对的有（    ）

A. 3人 B. 4人 C. 5人 D. 6人

【答案】B

【解析】

【分析】结合交并补集的概念，结合题意即可求出结果.

【详解】设全班的同学组成全集，答对第一题的同学组成集合，答对第二题的同学组成集合，由题意可得中元素有18个，中元素有16个，中元素有8个，所以中元素的个数为个，所以中元素的个数为个，故一、二两题都没答对的有人，

故选：B.

5. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由命题“，”是假命题等价于，，然后结合一元二次不等式在实数集上恒成立即可求出结果.

【详解】因为命题“，”是假命题，

所以，，

所以，即，解得，

故选：A.

6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ）

A.  B. 或

C. 或 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得和2是方程的两个根，且，利用韦达定理可得，代入所求不等式化简即可求出.

【详解】不等式的解集为，

和2是方程的两个根，且，

，可得，

则不等式化为，

由，则可整理得，解得，

故不等式的解集为.

故选：D.

7. 如果不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得，再由集合的包含关系即可求解.

【详解】依题可得

所以或

解得或

故选：D.

8. 已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】不等式即：恒成立，

则

结合可得：，

由均值不等式结论有：

，

当且仅当时等号成立，

据此可得实数的取值范围是.

本题选择A选项.

点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

二、多项选择题：（共本大题共4小题，每小题5分共，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要得求，全部选对得5分得，选对但不全的得2分得，有选错的得0分）

9. 下列说法正确的是（    ）

A. “"是“|”的充分不必要条件

B. 命题“”的否定是“

C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件

D. “"是“关于的方程有实根”的充要条件

【答案】BD

【解析】

【分析】根据充分条件、要条件的定义，命题的否定的定义判断各选项．

【详解】对于，例如满足，但，所以错误；

对于，特称命题的否定为全称命题，命题“”的否定是“，所以正确；

对于，例如满足，但，所以不正确；

对于，方程有实根，所以正确．

故选：BD．

10. 当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”或构成“偏食”，则实数的取值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】

当时，，满足题意；当时，可求得集合，分别令中元素与中元素对应相等，可确定或满足题意，由此得到结果.

【详解】当时，，此时，与构成“全食”，满足题意；

当时，，

若，即，则，此时，与构成“全食”，满足题意；

若，即，则，此时，但互不为对方子集，与构成“偏食”，满足题意；

若，此时，，互不为对方子集，不合题意；

综上所述：或或.

故选：.

【点睛】本题考查集合中新定义运算问题的求解，关键是明确新定义的含义实际为两集合之间包含关系、交集的判断，考查了集合之间的关系与集合运算的知识.

11. 对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.

【详解】由，分类讨论如下：

当时，；

当时，；

当时，或；

当时，；

当时，或.

故选：AB.

12. 已知x，y是正数，且，下列叙述正确的是（    ）

A. xy最大值为 B. 的最小值为

C. 最大值为 D. 最小值为4

【答案】AB

【解析】

【分析】

选项ABC直接利用基本不等式求解即可；选项D将原式乘以后展开，利用基本不等式求解.

【详解】对于A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；

对于B，，由选项A得，则，当且仅当，即时等号成立，故B正确；

对于C，，当且仅当，即时等号成立，又x，y是正数，故等号不成立，故C错误；

对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.

故选：AB.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三、填空题：本大题共共4小题，每小题题5分，共共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

13. 已知命题，方程有实数根，则______.

【答案】，方程没有实数根

【解析】

【分析】利用全称量词的否定变换形式即可求解.

【详解】命题，方程有实数根的否定是

，方程没有实数根

故答案为：，方程没有实数根

14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可得，再由集合的包含关系列出不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

①，，解得；

②，即时，

，解得，综上.

所以实数的取值范围是.

故答案为：

15. 若关于x的不等式的解集为(1，)，则的最小值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

由不等式的解集为(1，)得，，则可求得答案.

【详解】由不等式的解集为(1，)

所以，且，所以

当且仅当时，取等号.

所以的最小值为

故答案为：

【点睛】本题考查根据一次不等式的解集得到参数的关系，考查利用重要不等式求最值.属于基础题.

16. 若在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是____________.

【答案】[－2，4]

【解析】

【分析】

分类讨论解出不等式，分析解集中整数的个数可得的范围．

【详解】关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.

当a＝1时，(x－1)2<0，无解，满足题意；

当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}，要使解集中至多包含2个整数，则;

当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1},要使解集中至多包含2个整数，则，

综上实数a的取值范围是[－2，4].

故答案为：．

四、解答题：本大题共共5小题共，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上

17. 已知集合或，.

（1）当时，求，；

（2）当时，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据交集、并集定义求出即可；

（2）由题可得，即可解出.

【详解】（1）时，，，；

（2），

因为，所以，解得.

18. 已知二次函数.

（1）若二次函数有零点，求实数的取值范围；

（2）如果是满足（1）的最大整数，且二次函数的零点是二次函数的一个零点，求的值及二次函数的另一个零点.

【答案】（1）；（2），另一零点为4.

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，即可得出答案；

（2）由（1）可得，即可求得函数的零点，从而可求的的值，从而可得答案.

【详解】解：（1）因为二次函数有零点，即方程有解，

所以，解得；

（2）由（1）可得，所以函数的零点为2，

所以，解得，

所以二次函数为，

令，解得或4，

所以另一零点为4.

19. 已知集合，其中.

（1）若，求实数m的值；

（2）已知命题，命题，若p是q的充分条件，且，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意知，方程的两根分别为和，然后利用韦达定理可求出实数的值；

（2）求出集合和集合B，结合题中条件得出，可列出关于实数的不等式组，解出即可.

【详解】（1）由题意，是方程的两根，

由韦达定理得：，解得，经检验符合条件.

（2）由题意，，

因为，则，
 

由已知得，，解得.

【点睛】本题考查一元二次不等式解集与方程之间的关系，关键点是利用充分条件关系得出，求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，属于中等题.

20. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元．

（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值．

【答案】（1）＜（2）最大值为9

【解析】

【分析】

（1）由题意写出不等关系，解不等式即可得解；

（2）由题意写出不等关系，分离参数得，利用基本不等式求出的最小值即可得解.

【详解】（1）由题意

得，

由可得.

答：取值范围为.

（2）由题意得，

所以在上恒成立，

又 ，（当且仅当时取“=”），

所以.

答：的最大值为9.

点睛】本题考查了不等式应用题，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.

21. 设集合，在集合M中定义一种运算，使得.

（1）若，，试判断是否为集合M中的元素，并说明理由；

（2）证明：.

【答案】（1）是，理由见解析；（2）证明见解析；

【解析】

【分析】（1）求出，再由，求出的取值范围即可求解.

（2）根据集合的新定义求出、即可证明.

【详解】（1）

所以，，可得，所以

又因为

所以，所以；

又因为

所以，所以；

综上

所以是集合M中的元素

（2）左边

右边左边，得证.

本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。

登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。

试卷地址：在组卷网浏览本卷

组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。

关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。

学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。

钱老师 QQ：537008204    曹老师 QQ：713000635