高考数学(理数)一轮复习12《算法初步、推理与证明》单元测试 (含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习12《算法初步、推理与证明》单元测试 (含详解)，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。




　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．算法有三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构，在下列说法中正确的是(　　)
A．一个算法中只能含有一种逻辑结构
B．一个算法中可以含有以上三种逻辑结构
C．一个算法中必须含有以上三种逻辑结构
D．一个算法中最多可以含有以上两种逻辑结构
解：算法中的逻辑结构可以是一种或多种，故选B.
2．()若将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确的一组是 (　　)
A. B.
C. D.
解：利用程序语句变换两个数的算法为c＝b，b＝a，a＝c或c＝a，a＝b，b＝c，结合所给的选项，只有C符合题意．故选C.
3．若实数a，b满足a＋b0，故f(π)>f(0)”，所得结论错误的原因是 (　　)
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．大前提与小前提均错误
解：f(x)＝tanx不是增函数，而π>0正确．故选A.
5．()用数学归纳法证明：x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．假设n＝k成立，则n＝k＋1时，被整除式应为 (　　)
A．x2k＋3＋y2k＋3 B．x2k＋2＋y2k＋2
C．x2k＋1＋y2k＋1 D．x2k＋y2k
解：当n＝k＋1时，x2n－1＋y2n－1＝x2k＋1＋y2k＋1.故选C.
6．()原始社会的人类常用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”．如图所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图示计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为 (　　)

A．336 B．510 C．1 326 D．3 603
解：由题意知，图中的结绳计数法是七进制计数法，所以该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为S＝1×73＋3×72＋2×71＋6×70＝510.故选B.
7．()执行如图的程序框图，若输出的S＝48，则输入k的值可以为 (　　)

A．4 B．6 C．8 D．10
解：执行程序框图：n＝1，S＝1，否，n＝4， S＝6；否，n＝7，S＝19；否，n＝10，S＝48，由题意，此时应该满足条件n＝10＞k，退出循环，输出S的值为48.故7≤k＜10，k可以取值8.故选C.
8．()将棱长相等的正方体按图示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，…，则第20层正方体的个数是 (　　)

A．210 B．220 C．420 D．440
解：观察可得，第1层正方体的个数为1；第2层正方体的个数为3，比第1层多2个；第3层正方体的个数为6，比第2层多3个；…；可得，每一层比上一层多的个数依次为2，3，4，5，…，故第20层的正方体个数为1＋2＋3＋4＋…＋20＝＝210.故选A.
9．()若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(mod m)，例如10≡4(mod 6)，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入a＝2，b＝3，c＝5，则输出的N＝
(　　)

A．6 B．9 C．12 D．21
解：由框图可知，输出N的值为2，3的公倍数，且除以5时余数为1，选项中仅N＝6符合题意．故选A.
10．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是
(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，不符合题意．
若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说真话，不符合题意．
若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说真话，不符合题意．
若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说假话，丁说真话，符合题意．故选A.
11．()执行如图所示的程序框图，则输出的S值是 (　　)

A. B．－1 C．0 D．－1－
解：在数列{an}中，an＝cos，a1＝， a2＝0，a3＝－，a4＝－1，a5＝－，a6＝0， a7＝，a8＝1，a9＝，…，该数列是以8为周期的周期数列，则其前8项和等于0，结合题中的程序框图得知，最后输出的值等于数列{an}的前2 017项的和，而2 017＝8×252＋1，因此前2 017项的和为252×0＋＝.故选A.
12．()牛顿通过研究发现，形如(ax＋b)n的式子可以展开成关于x的多项式，即(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的形式，其中各项的系数可以采用“逐次求导赋值法”计算．例如：在原式中令x＝0可以求得a0，第一次求导数之后再取x＝0，可求得a1，再次求导之后取 x＝0可求得a2，依次下去可以求得任意一项的系数．设ex＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则当n＝5时，e＝ (　　)
A. B. C. D.
解：当n＝5时，ex＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝0，可得a0＝1.
第一次求导可得：ex＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝0，可得a1＝1；
第二次求导可得：ex＝2a2＋6a3x＋12a4x2＋20a5x3，令x＝0，可得a2＝；
第三次求导可得：ex＝6a3＋24a4x＋60a5x2，令x＝0，可得a3＝；
第四次求导可得：ex＝24a4＋120a5x，令x＝0，可得a4＝；
第五次求导可得：ex＝120a5，令x＝0，可得a5＝.
所以ex＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5中，
令x＝1可得e＝1＋1＋＋＋＋＝.故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为____________．
解：由反证法证明的步骤知，先反设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.故填③①②.
14．()四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1，2，3，4的4个位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 020次互换座位后，小兔的座位对应的编号为____________．

解：由图可知，经过4次交换后，每个小动物又回到了开始时的位子，故此变换规律的周期为4.因为2 020＝4×505，所以经过2 020次互换座位后，小兔对应的是编号3的位置．故填3.
15．()某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，

大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，抽奖活动的规则是：每个优胜队的队长通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该优胜队中奖；若电脑显示“谢谢”，则该优胜队不中奖．在一次抽奖活动中，某优胜队中奖的概率为____________．
解：根据题意，列出关于x、y的不等式组
作可行域如图所示，

阴影部分面积为1－×1×＝，矩形面积为1，即某优胜队获奖的概率为.故填.
16．()有一个游戏：盒子里有n个球，甲，乙两人依次轮流拿球(不放回)，每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿完后盒子为空谁赢．若甲先拿，则下列说法正确的有____________．(写出所有正确说法的序号)
①若n＝4，则甲有必赢的策略；
②若n＝6，则甲有必赢的策略；
③若n＝2 019，则甲有必赢的策略；
④若n＝2 020，则乙有必赢的策略．
解：①若n＝4，则乙有必赢策略，而甲无．因为无论甲拿1个，2个还是3个，乙都可以将剩余球一次拿完，从而取胜．
②若n＝6，则甲若先拿2个，由①知甲有必赢的策略．
由①②可归纳出：当n＝4k(k∈N*)时，乙有必赢的策略；当n＝4k＋1，n＝4k＋2，n＝4k＋3时，先拿者(即甲)有必赢的策略．故②③④正确．故填②③④.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)()
(1)设a≥b＞0，用综合法证明：a3＋b3≥a2b＋ab2；
(2)用分析法证明：＋＞2＋.
证明：(1)因为a3＋b3－(a2b＋ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
因为a≥b＞0，所以(a－b)2≥0，a＋b＞0，
所以a3＋b3－(a2b＋ab2)≥0，
所以a3＋b3≥a2b＋ab2.
(2)要证＋＞2＋，
只需证(＋)2＞(2＋)2，即证＞2，
只需证()2＞(2)2，即证42＞40.
而42＞40显然成立，故原不等式得证．
18．(12分)()观察下列各等式(i为虚数单位)：
(cos1＋isin1)(cos2＋isin2)＝cos3＋isin3；
(cos3＋isin3)(cos5＋isin5)＝cos8＋isin8；
(cos4＋isin4)(cos7＋isin7)＝cos11＋isin11；
(cos6＋isin6)(cos6＋isin6)＝cos12＋isin12.
记f(x)＝cosx＋isinx，猜想出一个用f(x)表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性．
解：猜想：f(x)f(y)＝f(x＋y)．证明如下：
f(x)f(y)＝(cosx＋isinx)(cosy＋isiny)＝(cosxcosy－sinxsiny)＋(sinxcosy＋cosxsiny)i＝cos(x＋y)＋isin(x＋y)＝f(x＋y)．
19．(12分)设函数f(x)＝，a，b∈(0，＋∞)．
(1)用分析法证明：f()＋f()≤；
(2)设a＋b＞4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
证明：(1)要证f()＋f()≤，
只需证＋≤，
只需证＋≤，
即证≤，因为a，b∈(0，＋∞)，
所以只需证(a－b)2≥0，这显然成立，
所以f()＋f()≤.
(2)假设af(b)，bf(a)都小于或等于，
即≤，≤，则由a，b∈(0，＋∞)有
2a≤b＋2，2b≤a＋2，两式相加得a＋b≤4，
这与a＋b＞4矛盾，所以af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
20．(12分)()在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，且y与x之间的函数关系式用如图所示的程序框图给出．

(1)写出程序框图中①，②，③处应填充的式子；
(2)若输出的面积y值为6，则路程x的值为多少？
解：(1)由题意得函数的定义域为[0，12]，
当0≤x≤4时，y＝·4·x＝2x；
当4＜x≤8时，y＝×4×4＝8；
当8＜x≤12时，y＝·4·(12－x)＝24－2x.
故程序框图中①，②，③处应填充的式子分别为：
y＝2x，y＝8，y＝24－2x.
(2)若输出的y值为6，则
当0≤x≤4时，2x＝6，解得x＝3；
当8＜x≤12时，24－2x＝6，解得x＝9.
综上，输出的面积y值为6，则路程x的值为3或9.
21．(12分)()已知函数f(x)＝|x|.
(1)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋2|－4，求函数g(x)的最小值；
(2)记不等式f(x)＜1的解集为M，若a，b∈M时，证明：＜|1＋|.
解：(1)由题意得g(x)＝|x|＋|x＋2|－4＝
可得函数g(x)的最小值为－2.
(2)证明：因为M＝(－1，1)，又＜|1＋|等价于2|a＋b|＜|4＋ab|，而4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4a2＋4b2－a2b2－16＝(b2－4)(4－a2)．因为a，b∈M，所以a2＜1，b2＜1，所以(b2－4)(4－a2)＜0，所以4(a＋b)2＜(4＋ab)2，所以2|a＋b|＜|4＋ab|，所以＜|1＋|.
22．(12分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，用f(n)表示第n幅图的蜂巢总数．

(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；
(2)证明：＋＋＋…＋