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高考数学(理数)一轮复习13《参数方程与极坐标、不等式选讲》单元测试 (含详解)
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这是一份高考数学(理数)一轮复习13《参数方程与极坐标、不等式选讲》单元测试 (含详解),共5页。
解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.(10分)在极坐标系下,已知圆O:ρ= cosθ+sinθ和直线l:ρsin(θ-)=.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.解:(1)圆O:ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0,直线l:ρsin(θ-)=,即ρsinθ-ρcosθ=1,则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1,).2.(10分)()以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ=.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过极点O作直线l交曲线于点P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程.解:(1)因为ρ=,ρsinθ=y,所以ρ=变形为ρ-ρsinθ=2,所以曲线的直角坐标方程为x2=4y+4.(2)设直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R),根据题意=3·,解得θ0=或θ0=,直线l的极坐标方程θ=(ρ∈R)或θ=(ρ∈R).3.(10分)在极坐标系中,求曲线ρ=2cosθ关于直线θ=对称的曲线的极坐标方程.解:以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线ρ=2cosθ的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,且圆心为(1,0).直线θ=的直角坐标方程为y=x,因为圆心(1,0)关于直线y=x对称的点为(0,1),所以圆(x-1)2+y2=1关于直线y=x对称的曲线为x2+(y-1)2=1.所以曲线ρ=2cosθ关于直线θ=对称的曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ.4.(10分)在极坐标系中,已知圆C的圆心坐标为(3,),半径r=3.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点Q在圆C上运动,点P在OQ的延长线上,且=2,求动点P的轨迹方程.解:(1)在以极点为原点,极轴为x轴正半轴的直角坐标系中,圆C的方程为(x-)2+(y-)2=9,即x2+y2-3x-3y=0,化为极坐标方程为ρ=6cos(θ-).(2)设点Q(ρ1,θ1),P(ρ,θ),由=2,得=,所以ρ1=ρ,θ1=θ,因为点Q在圆C上,所以ρ1=6cos(θ1-),即ρ=6cos(θ-),即ρ=9cos(θ-).5.(10分)()已知曲线C1:x+y=和C2:(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程;(2)设C1与x,y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C1,C2交于P,Q两点,求P,Q两点间的距离.解:(1)曲线C1化为ρcosθ+ρsinθ=.所以ρsin(θ+)=.曲线C2化为+=1.(*)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(*)式得cos2θ+sin2θ=1,即ρ2(cos2θ+3sin2θ)=6.所以曲线C2的极坐标方程为ρ2=.(2)因为M(,0),N(0,1),所以P(,),所以OP的极坐标方程为θ=,把θ=代入ρsin(θ+)=,得ρ1=1,P(1,).把θ=代入ρ2=,得ρ2=2,Q(2,).所以|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q两点间的距离为1.6.(10分)()在直角坐标系xOy中,曲线C:(α为参数),在以O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsinθ+ρcosθ=m.(1)若m=0时,判断直线l与曲线C的位置关系;(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为,求实数m的取值范围.解:(1)曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2,是一个圆;直线l的直角坐标方程为x+y=0.圆心C到直线l的距离为d===r,所以直线l与圆C相切.(2)由已知可得,圆心C到直线l的距离为d=≤,解得-1≤m≤5.所以实数m的取值范围为[-1,5].7.(10分)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数,0<α<π),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当α变化时,求|AB|的最小值.解:(1)由ρsin2θ=4cosθ得(ρsinθ)2=4ρcosθ,所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(2)将直线l的参数方程代入y2=4x得到t2sin2α-4tcosα-4=0.设A,B两点对应的参数分别是t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-.所以|AB|=|t1-t2|==≥4,当且仅当α=时取等号.所以|AB|的最小值为4.8.(10分)()在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin(θ-)=.(1)求C的普通方程和l的倾斜角;(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.解:(1)由消去参数α,得+y2=1,即C的普通方程为+y2=1.由ρsin(θ-)=,得ρsinθ-ρcosθ=2,(*)将代入(*),化简得y=x+2,所以直线l的倾斜角为.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-<0,t1t2=>0,所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.9.(10分)设函数f(x)=|x-a|+|x-4|.(1)当a=1时,求f(x)的最小值;(2)如果对∀x∈R,f(x)≥1,求实数a的取值范围.解:(1)当a=1时,函数f(x)=|x-a|+|x-4|=|x-1|+|x-4|=作出函数f(x)的图象,如图所示,由图象可得函数f(x)的最小值等于3.(2)如果对∀x∈R,f(x)≥1,即|x-a|+|x-4|≥1对任意实数x都成立,由绝对值的几何意义可得|x-a|+|x-4|≥|a-4|,所以|a-4|≥1,所以a-4≥1或a-4≤-1,解得a≥5或a≤3,故实数a的取值范围为(-∞,3]∪[5,+∞).10.(10分)()设函数f(x)=|2x-|+|2x+m|(m≠0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若当m=2时,关于实数x的不等式f(x)≥t2-t恒成立,求实数t的取值范围.解:(1)证明:f(x)=|2x-|+|2x+m|≥|+m|=||+|m|≥2,当且仅当||=|m|,即m=±时取等号.(2)当m=2时,f(x)=|2x-1|+|2x+2|≥|(2x-1)-(2x+2)|=3,则f(x)min=3.若不等式f(x)≥t2-t恒成立,则只需f(x)min=3≥t2-t⇒2t2-t-6≤0⇒-≤t≤2.故实数t的取值范围是[-,2].11.(10分)()设函数f(x)=|x-1|-|2x+1|的最大值为m.(1)作出函数y=f(x)的图象;(2)若a2+2c2+3b2=m,求ab+2bc的最大值.解:(1)因为f(x)=|x-1|-|2x+1|,所以f(x)=画出图象如图.(2)由(1)可知m=.因为=m=a2+2c2+3b2=(a2+b2)+2(c2+b2)≥2ab+4bc,所以ab+2bc≤,当且仅当a=b=c=±时,等号成立.所以ab+2bc的最大值为.12.(10分)设函数f(x)=|x-a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥7-|x-1|;(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+4n≥2+3.解:(1)当a=2时,不等式为|x-2|+|x-1|≥7,所以或或所以x≤-2或x≥5,所以不等式的解集为(-∞,-2]∪[5,+∞).(2)证明:f(x)≤1,即|x-a|≤1,解得a-1≤x≤a+1,而f(x)≤1的解集是[0,2],所以解得a=1,所以+=1(m>0,n>0),所以m+4n=(m+4n)(+)=3++≥3+2(当且仅当m=+1,n=时取等号).13.(10分)()已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时,不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为.(2)当x∈(0,1)时,|x+1|-|ax-1|>x成立,等价于当x∈(0,1)时,|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时,|ax-1|≥1.若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<,所以≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].14.(10分)()设α,β,γ均为实数.(1)证明:|cos(α+β)|≤|cosα|+|sinβ|;|sin(α+β)|≤|cosα|+|cosβ|;(2)若α+β+γ=0,证明:|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1.证明:(1)|cos(α+β)|=|cosαcosβ-sinαsinβ|≤|cosαcosβ|+|sinαsinβ|≤|cosα|+|sinβ|;|sin(α+β)|=|sinαcosβ+cosαsinβ|≤|sinαcosβ|+|cosαsinβ|≤|cosα|+|cosβ|.(2)由(1)知,|cos[α+(β+γ)]|≤|cosα|+|sin(β+γ)|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|,而α+β+γ=0,故|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1.15.(10分)()已知函数f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|,g(x)=x2-2x-4+.(1)若f(2a2-1)≥4|a-1|,求实数a的取值范围;(2)若存在实数x,y,使f(x)+g(y)≤0,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(2a2-1)≥4|a-1|,所以|2a2-2a|+|a2-1|≥4|a-1|,所以|a-1|(2|a|+|a+1|-4)≥0,当a=1时,满足,当a≠1时,2|a|+|a+1|≥4,①若a≤-1,则-2a-a-1≥4,所以a≤-;②若-1<a<0,则-2a+a+1≥4,所以a≤-3,无解;③若a≥0且a≠1,则2a+a+1≥4,所以a>1,综上所述,a的取值范围为∪[1,+∞).(2)因为g(x)=(x-1)2+-5≥-5=-1,显然可取等号,所以g(x)min=-1,于是,若存在实数x,y,使f(x)+g(y)≤0,只需使f(x)min≤1,又f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|≥|(x+1-2a)-(x-a2)|=(a-1)2.所以(a-1)2≤1,所以-1≤a-1≤1,所以0≤a≤2,即a的取值范围为[0,2].
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