高考数学(理数)一轮复习学案1．1《集合及其运算》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案1．1《集合及其运算》(含详解)，共8页。

1．1　集合及其运算


1．集合的基本概念
(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．
(2)集合中元素的三个特性：______，______，__________.
(3)集合常用的表示方法：________和________．
2．常用数集的符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号






3.元素与集合、集合与集合之间的关系
(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a ________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．
(2)集合与集合之间的关系
　 表示
关系　　
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
__________⇔
A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
________或________
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
________或________
空集
空集是任何集合的子集，是任何______的真子集
∅⊆A，∅B
(B≠∅)
结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．
4．两个集合A与B之间的运算


集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示


若全集为U，则集合A的补集记为________
韦恩(Venn)图表示(阴影部分)



意义



5.集合运算中常用的结论
(1)①A∩B________A； ②A∩B________B；
③A∩A＝________； ④A∩∅＝________；
⑤A∩B________B∩A.
(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；
③A∪A＝________； ④A∪∅＝________；
⑤A∪B________B∪A.
(3)①∁U(∁UA)＝________； ②∁UU＝________；
③∁U∅＝________； ④A∩(∁UA)＝________；
⑤A∪(∁UA)＝________.
(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；
②A∩B＝A∪B⇔____________.
(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：
card(A∪B)＝____________________________；
card[∁U(A∪B)]＝________________________.

自查自纠：
1．(1)元素　集合　(2)确定性　互异性　无序性
(3)列举法　描述法
2．N　N*(N＋)　Z　Q　R　C
3．(1)属于　a∈A　不属于　a∉A
(2)A⊆B且B⊆A　A⊆B　B⊇A　AB　BA
非空集合　2n　2n－1　2n－2
4．A∪B　A∩B　∁UA　{x|x∈A或x∈B}　
{x|x∈A且x∈B}　{x|x∈U且x∉A}
5．(1)①⊆　②⊆　③A　④∅　⑤＝
(2)①⊇　②⊇　③A　④A　⑤＝
(3)①A　②∅　③U　④∅　⑤U
(4)①A⊆B　②A＝B
(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)
card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)



()已知集合A＝{0，2}，B＝ {－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝ (　　)
A．{0，2} B．{1，2}
C．{0} D．{－2，－1，0，1，2}
解：由题意知A∩B＝{0，2}．故选A.
()已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝ (　　)
A．{x|－1＜x＜2}
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解：由x2－x－2＞0得(x－2)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞2，所以A＝{x|x＜－1或x＞2}，所以 ∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
()设集合Α＝{1，2，4}，Β＝{x|x2－4x＋m＝0}．若Α∩Β＝{1}，则Β＝(　　)
A．{1，－3} B．{1，0}
C．{1，3} D．{1，5}
解：由Α∩Β＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}．故选C.
()已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．


解：A表示圆x2＋y2＝1上所有点的集合，B表示直线y＝x上所有点的集合，故A∩B表示直线与圆的交点构成的集合，由图可知交点的个数为2，即A∩B中元素的个数为2.故填2.
()设集合A＝{1，2，6}， B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝________．
解：集合A∪B＝{1，2，4，6}，则(A∪B)∩ C＝{1，2，4}．故填{1，2，4}．

类型一　集合及相关概念
　(1)()已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为
(　　)
A．9 B．8 C．5 D．4

解法一：集合A＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9个元素．
解法二：A表示由圆x2＋y2＝3内部及边界上所有整数点构成的集合．如图，则圆内部共有9个满足题意的点．故选A.
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则实数a＝ (　　)
A. B. C．0 D．0或
解：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－ 3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，所以a的取值为0或.故选D.

点　拨：
题(1)要注意x，y的约束条件．题(2)集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形．用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
　　
　(1)设集合A＝{1，3，a}，B＝{1， a2－a＋1}，且B⊆A，则a的值为________．
解：因为B⊆A，所以a2－a＋1∈A，所以a2－ a＋1＝3或a2－a＋1＝a.由a2－a＋1＝3，得a＝2或a＝－1；由a2－a＋1＝a，得a＝1.经检验，a＝1时集合A，B不满足集合中元素的互异性，舍去．故 a＝－1或a＝2.故填－1或2.
(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．
解：由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，
当a＝0时，x＝不合题意，舍去；
当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，所以a<－.
故填.
类型二　集合间的关系
　()已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若BA，求实数m的取值范围；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．
解：(1)①当B≠∅时，如图所示．

所以或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
②当B＝∅时，m＋1＞2m－1，得m＜2.
综上可得，m的取值范围是(－∞，3]．
(2)当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.

所以即所以m不存在．
即不存在实数m使A⊆B.

点　拨：
已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到．
　　
　(1)已知集合A＝{x|lgx>0}，B＝{x|x≤1}，则 (　　)
A．A∩B≠∅ B．A∪B＝R
C．B⊆A D．A⊆B
解：由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lgx>0}＝(1， ＋∞)，所以A∪B＝R.故选B.
(2)()已知A＝{y|y＝x，0≤x≤1}，B＝{y|y＝kx＋1，x∈A}，若A⊆B，则实数k的取值范围为 (　　)
A．{－1} B．{k|k＜－1}
C．{k|－1≤k≤0} D．{k|k≤－1}
解：由已知可得A＝{y|y＝x，0≤x≤1}＝[0，1]，易知k≠0，当k＞0时，B＝[1，1＋k]；当k＜0时，B＝[1＋k，1]．由A⊆B知，当k＞0时不合题意，则1＋k≤0，即k≤－1.故选D.
类型三　集合的运算
　(1)()已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝ (　　)
A．∅ B．{1，3}
C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
解：因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁UA＝{2，4，5}．故选C.
(2)集合P＝{x∈R||x－1|<1}，Q＝{x∈R||x－a|≤1}，且P∩Q＝∅，则实数a的取值范围为(　　)
A．{a|a≥3} B．{a|a≤－1}
C．{a|a≤－1或a≥3} D．{a|－1≤a≤3}
解：P＝{x|0
点　拨：
集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩(Venn)图等进行运算．
　　
　(1)()已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2，0，1，2}，则A∩B＝ (　　)
A．{0，1} B．{－1，0，1}
C．{－2，0，1，2} D．{－1，0，1，2}
解：因为|x|＜2，所以－2＜x＜2，所以A＝{x|－2＜x＜2}．因为B＝{－2，0，1，2}，所以A∩B＝{0，1}．故选A.
(2)设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，则P∩(∁UQ)等于 (　　)
A．{1，2} B．{3，4，5}
C．{1，2，6，7} D．{1，2，3，4，5}
解：因为∁UQ＝{1，2}，所以P∩(∁UQ)＝{1，2}．故选A.
类型四　韦恩(Venn)图
　()已知全集 U＝R，集合A＝{y|y＝x2＋2，x∈R}，集合B＝ {x|y＝lg(9－x2)}，则阴影部分表示的集合为 (　　)

A．[－3，2] B．(－3，2)
C．(－3，2] D．[－3，2)
解：由函数y＝x2＋2≥2，得A＝[2，＋∞)，由函数y＝lg(9－x2)，得9－x2＞0，即B＝(－3，3)．因为全集U＝R，所以∁UA＝(－∞，2)，图中阴影部分表示的集合为B∩∁UA＝(－3，2)．故选B.

点　拨：
韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．
　　
　如图，全集I＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合为 (　　)

A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x＜3}
C．{x|x＜3} D．{x|x＞0}
解：由图可知，阴影部分表示的是集合A∪B＝{x|0＜x＜3}．故选B.


1． 首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．
2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．
3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．
4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何集合的子集．
5．五个关系式A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB)＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．
6．正难则反原则
对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易，化隐为显，从而解决问题．
例如：已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且A，B，C中至少有一个不是空集，求a的取值范围．
这个问题的反面即是三个集合全为空集，
即 解得≤a＜3，
从而所求a的取值范围为.


　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　
1．()设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是 (　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
解：由题意，A∩Z＝{－2，－1，0，1，2}，则元素的个数为5.故选C.
2．()设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝(　　)
A. B.
C. D.
解：A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2x－3＞0}＝，所以A∩B＝.故选D.
3．已知全集R，集合A＝{x|(x－1)(x＋2)(x－2)＝0}，B＝{y|y≥0}，则A∩(∁RB)为(　　)
A．{1，2，－2} B．{1，2}
C．{－2} D．{－1，－2}
解：A＝{1，2，－2}，而B的补集是{y|y<0}，故两集合的交集是{－2}．故选C.
4．()设集合P＝{m|－1＜m≤0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系成立的是 (　　)
A．PQ B．PQ
C．P＝Q D．P∩Q＝∅
解：Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，对m分类：①当m＝0时，－4＜0恒成立；②当m＜0时，需Δ＝(4m)2－4×m×(－4)＜0，解得－1＜m＜0.综合①②知－1＜m≤0.故选C.
5．集合P＝{1，4，9，16，…}，若a∈P，b∈P，则ab∈P，则运算可能是(　　)
A．除法 B．加法 C．乘法 D．减法
解：当为除法时，∉P，所以排除A；
当为加法时，1＋4＝5∉P，所以排除B；
当为乘法时，m2·n2＝(mn)2∈P，C正确；
当为减法时，1－4∉P，所以排除D.故选C.
6．设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝}，B＝{x∈Z|－1
A．3 B．4 C．7 D．8
解：A＝{x∈N|y＝}＝{x∈N|7x－ x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C.
7．()已知A＝{x∈R|x＜－2或x＞3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为________．
解：因为A∪B＝A，所以B⊆A.
①当B≠∅时，有或解得a＞3.
②当B＝∅时，由a＞2a－1，得a＜1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a＜1或a＞3}．
故填{a|a＜1或a＞3}．
8．已知集合A，B与集合A@B的对应关系如下表：
A
{1，2，3，4，5}
{－1，0，1}
{－4，8}
B
{2，4，6，8}
{－2，－1，0，1}
{－4，－2，0，2}
A@B
{1，3，5，6，8}
{－2}
{－2，0，2，8}
若A＝{－2 019，0，2 018}，B＝{－2 019，0，2 017}，试根据图表中的规律写出A@B＝________.
解：由规律知，A@B是由A∪B中元素去掉A∩B中元素构成的集合，故A@B＝{2017，2018}．故填{2017，2018}．
9．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m，－3}，且3∈A，求m的值．
解：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝2m2＋m＝3，不满足集合元素的互异性，当m＝－时，A＝满足题意．故m＝－.
10．()若A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，A∩B＝{9}，求A∪B.
解：由A∩B＝{9}可知9∈A，则x2＝9或2x－ 1＝9，解得x＝±3或5.
当x＝3时，A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，集合B中元素不满足互异性，故舍去；
当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，满足题意，此时A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}；
当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，矛盾，故舍去．
综上，A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}．
11．()设集合A＝ {x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
解：A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{－4，0}，因为B⊆A，所以分B＝A和BA两种情况讨论．
①当A＝B时，B＝{－4，0}，则有－4，0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1.
②当BA时，若B≠∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，验证知B＝{0}满足条件；
若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.
综上可知，所求实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－1}．
()对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16，a∈N*，b∈N*，a≠b}的真子集的个数是(　　)
A．27－1 B．211－1 C．212－1 D．214－1
解：因为16是偶数，所以M＝{(1，16)，(2，8)，(16，1)，(8，2)，(1，15)，(15，1)，(3，13)，(13，3)，(5，11)，(11，5)，(7，9)，(9，7)}，共12个元素，则集合M的真子集个数为212－1.故选C.