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高考数学(理数)一轮复习学案2.9《函数模型及其应用》(含详解)
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这是一份高考数学(理数)一轮复习学案2.9《函数模型及其应用》(含详解),共15页。
1.函数的实际应用
(1)基本函数模型
(2)三种常用函数模型性质比较
2.函数建模
(1)函数模型应用的两个方面
①利用已知函数模型解决问题;
②建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测.
(2)应用函数模型解决问题的基本过程:________、________、________、________.
自查自纠:
1.(1)f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
(2)增 增 增 快 慢 y x
2.审题 建模 解模 还原
(eq \a\vs4\al(2018·长沙模拟))小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是 ( )
A B
C D
解:出发时距学校最远,排除A;中途堵塞停留,距离没变,排除D;堵塞停留后比原来骑得快,排除B.故选C.
(eq \a\vs4\al(教材改编题))已知某矩形广场的面积为4万平方米,则其周长至少为 ( )
A.800米 B.900米
C.1 000米 D.1 200米
解:设这个广场的长为x米,则宽为eq \f(40 000,x)米,所以其周长l=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(40 000,x)))≥800,当且仅当x=eq \f(40 000,x),即x=200时取等号.故选A.
(eq \a\vs4\al(教材改编题))某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是 ( )
A.105元 B.106元 C.108元 D.118元
解:设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.故选C.
(eq \a\vs4\al(2018·抚顺模拟))某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alg3(x+1),设这种动物第2年有100只,则可预测第8年有________只.
解:因为alg33=100,所以a=100,当x=8时,y=100lg39=200.故填200.
交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/ml.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到0.8 mg/ml,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时20%的速度减少,则至少经过________小时他才可以驾驶机动车.(精确到个位,lg2=0.301)
解:设至少经过n小时后他才可以驾驶机动车,由题意得0.8(1-20%)n≤0.2,n∈N*,0.8n+1≤0.2,n+1≥lg0.80.2=eq \f(lg2-1,3lg2-1)≈7.2,则n≥6.2,即至少经过7小时他才可以驾驶机动车.故填7.
类型一 幂型函数模型
李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店,其月利润(单位:元)分别为L甲=-5x2+900x-16 000,L乙=300x-2 000(其中x为销售辆数),若某月两连锁店共销售了110辆,则能获得的最大利润为 ( )
A.11 000元 B.22 000元
C.33 000元 D.40 000元
解:设甲连锁店销售x辆,则乙连锁店销售(110-x)辆,故利润L=-5x2+900x-16 000+300(110-x)-2 000=-5x2+600x+15 000=-5(x-60)2+33 000,所以当x=60时,有最大利润33 000元.故选C.
点 拨:
①列函数关系式时,注意自变量的取值范围;②求最值这里运用了配方法,通常换元法、导数法、均值不等式法也是解这类题比较常用的方法.
(eq \a\vs4\al(2016·辽宁五校联考))一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t秒内的路程为 s=eq \f(1,2)t2米,那么,此人 ( )
A.可在7秒内追上汽车
B.可在9秒内追上汽车
C.不能追上汽车,但期间离汽车的最近距离为14米
D.不能追上汽车,但期间离汽车的最近距离为7米
解:已知s=eq \f(1,2)t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=eq \f(1,2)t2-6t+25=eq \f(1,2)(t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.故选D.
类型二 指数型函数模型
一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的eq \f(1,4),已知到今年为止,森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2).
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
解:(1)设每年降低的百分比为x(0
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