高考数学(理数)一轮复习学案3．1《导数的概念及运算》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案3．1《导数的概念及运算》(含详解)，共9页。
3．1　导数的概念及运算


1．导数的概念
(1)定义
如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即＝.如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处____________，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作____________或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝ .
(2)导函数
当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ .
(3)用定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法
①求函数的增量Δy＝____________；
②求平均变化率＝____________；
③取极限，得导数f′(x0)＝.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是．相应的切线方程为．
3．基本初等函数的导数公式
(1)c′＝(c为常数)，　 (xα)′＝(α∈Q*)．
(2)(sinx)′＝___________，(cosx)′＝___________.
(3)(lnx)′＝___________，(logax)′＝___________．
(4)(ex)′＝____________，(ax)′＝___________.
4．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__________________.
(2)[f(x)g(x)]′＝____________________；
当g(x)＝c(c为常数)时，即[cf(x)]′＝.
(3)′＝(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为______________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

自查自纠：
1．(1)可导　f′(x0)
(3)①f(x0＋Δx)－f(x0)　②
2．f′(x0)　y－y0＝f′(x0)(x－x0)
3．(1)0　αxα－1　(2)cosx　－sinx　(3)　
(4)ex　axlna
4．(1)f′(x)±g′(x)　(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　cf′(x)
(3)
5．yx′＝y′u·u′x


　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　
已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f′的值为
(　　)
A．－1 B．0 C．1 D.
解：f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，
所以f′＝cos＝0.故选B.
一质点作直线运动，由始点起经过t s后的距离为s＝t3－6t2＋32t，则速度为0的时刻是(　　)
A．4 s末 B．8 s末
C．0 s末与8 s末 D．4 s末与8 s末
解：s′＝t2－12t＋32，由导数的物理意义可知，速度为0的时刻就是s′＝0的时刻，解方程t2－12t＋32＝0，得t＝4或t＝8.故选D.
如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是 (　　)


　　　　A　　　　　　　　　 　B

　　　　C　　　　　　　 　　　D
解：由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与 y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程是________．
解：因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋ y＋2＝0.故填5x＋y＋2＝0.
曲线y＝log2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积等于________．
解：y′|x＝1＝，所以曲线在点(1，0)处的切线方程为y＝(x－1)．所求三角形面积S＝×1×＝.故填.

类型一　导数的概念
　已知函数y＝.
(1)求函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数在x＝1处的导数．
解：(1)Δy＝－

所以＝.
(2)由(1)可得，当x＝1时，＝，
lim ＝，即函数在x＝1处的导数为y′|x＝1＝.

点　拨：
利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率，再化简平均变化率，最后判断当Δx→0时，无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．

　(1)航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4(单位：m)．
(Ⅰ)求航天飞机在第1 s内的平均速度；
(Ⅱ)用定义方法求航天飞机在第1 s末的瞬时速度．
解：(Ⅰ)航天飞机在第1 s内的平均速度为
＝＝80 m/s.
(Ⅱ)航天飞机第1 s末高度的平均变化率为

＝
＝
＝5Δt2＋45Δt＋120，
当Δt→0时，5Δt2＋45Δt＋120→120，
所以航天飞机在第1 s末的瞬时速度为120 m/s.
(2)设f(x)是可导函数，且满足 ＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为 (　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解： ＝－1，即f′(1)＝－1，由导数的几何意义知，y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为－1.故选B.
类型二　求导运算
　求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
(2)y＝x2sinx；
(3)y＝3xex－2x＋e；
(4)y＝；
(5)y＝ln(2x－5)．
解：(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)
＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
所以y′＝18x2－10x－4.
(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′
＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xexln3＋3xex－2xln2
＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2.
(4)y′＝
＝＝.
(5)令u＝2x－5，y＝lnu，
则y′＝(lnu)′u′＝·2＝，
即y′＝.

点　拨：
求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；⑥复合函数：由外向内，层层求导．

　(1)f(x)＝x(2 018＋lnx)，若f′(x0)＝ 2 019，则x0＝________．
解：f′(x)＝2 018＋lnx＋x·＝2 019＋lnx，故由 f′(x0)＝2 019，得x0＝1.故填1.
(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则 f′(－1)＝________．
解：f′(x)＝4ax3＋2bx，因为f′(x)为奇函数且 f′(1)＝2，所以f′(－1)＝－2.故填－2.
(3)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．
解法一：令t＝ex，故x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝lnx＋x，所以f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝2.
解法二：f′(ex)＝1＋ex，f′(1)＝f′(e0)＝1＋e0＝2.故填2.
类型三　导数的几何意义
　()已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)＝lnx－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.故填2x＋y＋1＝0.

点　拨：
曲线切线方程的求法：①以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f′(x)；求切线的斜率f′(x0)；写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．②如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．
　　
　()已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
解：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切点坐标为(1，a)，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1.故填1.

　设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为(　　)
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(1，－1) D．(－1，1)
解：对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y＝(x>0)上点P处的切线斜率为－1，由y′＝－＝－1，得 x＝1，则y＝1，所以P的坐标为(1，1)．故选A.

点　拨：
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：①已知切点A(x0，f(x0))，求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)；②已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；③若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由方程组求解即可．
　()曲线y＝x－(x＞0)上点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为，则点P的坐标为________．
解：由题意可得y0＝x0－，x0＞0，因为y′＝1＋，
所以过点P的切线的斜率为
解得x0＝(舍去负根)，所以点P的坐标为.
故填.

　()若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．
解：设直线y＝kx＋b与y＝lnx＋2相切于点(x1，lnx1＋2)，与y＝ln(x＋1)相切于点(x2，ln(x2＋1))，则切线分别为y－(lnx1＋2)＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，这两条切线表示同一条直线，所以解得x1＝，所以k＝＝2，b＝lnx1＋2－1＝1－ln2.故填1－ln2.

点　拨：
处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
　　
　已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m0，故函数y＝ex不具有T性质；y＝f(x)＝x3的导函数为f′(x)＝3x2，则f′(x1)·f′(x2)＝9xx≥0，故函数y＝x3不具有T性质．故选A.
7．()曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．
解：因为y′＝，所以在点(0，0)处切线斜率k＝2，切线方程为y＝2x.故填y＝2x.
8．若函数f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解：函数f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－a＋.由题意可知f′(x)存在零点，即x＋－a＝0有解，所以a＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号．故填[2，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
因为f′(x)＝3x2＋1，
所以f(x)在点(2，－6)处切线的斜率k＝f′(2)＝13.
所以切线方程为y＋6＝13(x－2)，即y＝13x－32.
(2)设切点坐标为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，y0＝x＋x0－16，
直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又因为直线l过原点(0，0)，
所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
解得x0＝－2，y0＝－26，
即切点坐标为(－2，－26)．
所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
10．()已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解：(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，
所以斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，
所以所求切线方程为3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得k≥－1，所以tanα≥－1，
又因为α∈[0，π)，所以α∈∪.
故α的取值范围为∪.
11．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
解：(1)切线方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是解得
故f(x)＝x－(x≠0)．
(2)证明：设P(x0，y0)(x0≠0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为

令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导数，记为f″(x)＝[f′(x)]′，若f″(x)