高考数学(理数)一轮复习学案3．2《导数的应用(一)》(含详解)

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3．2　导数的应用(一)


函数的单调性与导数
(1)在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内________；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内________．
(2)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上是________．

自查自纠：
(1)单调递增　单调递减　(2)常数函数


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为 (　　)
A．(0，4) B．(0，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，0)
解：f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0 已知函数f(x)＝1＋x－sinx，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是 (　　)
A．f(2)>f(3)>f(π) B．f(3)>f(2)>f(π)
C．f(2)>f(π)>f(3) D．f(π)>f(3)>f(2)
解：f′(x)＝1－cosx，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)．故选D.
()函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)


　　　　A　　　　　　　　　 　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　　 D
解：由导函数y＝f′(x)的图象可知，该图象在x轴的负半轴上有一个零点(不妨设为x1)，并且当x0；当x∈(x2，x3)时，f′(x)<0；当x>x3时， f′(x)>0.因此函数f(x)在x＝x1处取得极小值，在 x＝x2处取得极大值，在x＝x3处取得极小值．对照四个选项，选项A中，在x＝x1处取得极大值，不合题意；选项B中，极大值点应大于0，不合题意；选项C中，在x＝x1处取得极大值，也不合题意；选项D合题意．故选D.
若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1，3)，则b＋c＝________．
解：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1 若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为________．
解：f′(x)＝6x2－6mx＋6，当x∈(2，＋∞)时， f′(x)≥0恒成立，即x2－mx＋1≥0恒成立，所以m≤x＋恒成立．令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，当x>2时，g′(x)>0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，所以m≤2＋＝.故填.


类型一　导数法研究函数的单调性
　(1)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是________．
解：f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.
令f′(x)＝xcosx>0，
则其在区间(－π，π)上的解集为和，
即f(x)的单调递增区间为和.
故填和.

(2)若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是 (　　)
A．[1，＋∞) B.
C．[1，2) D.
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ 4x－，由f′(x)＝0，得x＝.依题意得解得1≤k<.故选B.

(3)已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为其导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为 (　　)

A．(－3，－2)∪(2，3)
B．(－，)
C．(2，3)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解：由y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f(－2)＝1，f(3)＝1，所以f(x2－6)>1可化为－2
点　拨：
确定函数单调区间的步骤：第一步，确定函数f(x)的定义域；第二步，求f′(x)；第三步，解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
　　
　(1)已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)(　　)
A．在(0，＋∞)上单调递增
B．在(0，＋∞)上单调递减
C．在上单调递增
D．在上单调递减
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x>0)．当f′(x)>0时，解得x>，即函数的单调递增区间为；当f′(x)<0时，解得0 (2)设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(1，2] B．[4，＋∞)
C．(－∞，2] D．(0，3]
解：f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，有0 (3)已知函数f(x)＝，则 (　　)
A．f(e)>f(2)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2)
C．f(3)>f(2)>f(e) D．f(e)>f(3)>f(2)
解：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e.所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)max＝f(e)＝，而f(2)＝＝，f(3)＝ ＝，所以f(e)>f(3)>f(2)．故选D.

类型二　利用导数研究含参数函数的单调性
　()已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)，其中a>0.讨论f(x)的单调性．
解：f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)．
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝＝－2.
①当0 ②当a＝1时，f(x)在R上单调递增；
③当a>1时，f(x)在区间和(0，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减．

点　拨：
研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
　　
　()已知函数 f(x)＝mln(x＋1)(m∈R)，g(x)＝(x>－1)．讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)在(－1，＋∞)上的单调性．
解：F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝－＝(x>－1)．
①当m≤0时，F′(x)<0，函数F(x)在(－1，＋∞)上单调递减；
②当m>0时，令F′(x)<0⇒x<－1＋，
函数F(x)在上单调递减；
令F′(x)>0⇒x>－1＋，
函数F(x)在上单调递增．
类型三　已知函数单调性确定参数的值(范围)
　(1)若函数f(x)＝ln(ax＋1)＋(x≥0，a>0)的单调递增区间是[1，＋∞)，则a的取值集合是________．
解：f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，即f(x)仅在区间[1，＋∞)上单调递增．
令f′(x)≥0⇒ax2＋a－2≥0⇒x2≥.
若≤0，即a≥2，则x2≥恒成立，f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)，不符合题意；
若＞0，即0＜a＜2，则f(x)的单调递增区间为，所以＝1，即a＝1时，符合题意．故填{a|a＝1}．
(2)若函数f(x)＝ln(ax＋1)＋(x≥0，a＞0)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
解：f′(x)＝－＝，由f(x)在[1，＋∞)上单调递增可得，对任意x≥1，f′(x)≥0⇒a(x2＋1)≥2.所以a≥＝1，所以a≥1.故填[1，＋∞)．

点　拨：
根据函数单调性求参数的一般思路：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．③函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．

　(1)()若函数f(x)＝x－ sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，1] B.
C. D.
解：依题意知，f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝ －cos2x＋acosx＋≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．设cosx＝t，则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1，1]上恒成立，因为Δ＝a2＋>0，所以解得－≤a≤.故选C.

(2)若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．
解：f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a.当 x∈时，f′(x)单调递减，故f′(x)的最大值为f′＝＋2a.令＋2a>0，解得a>－，所以实数a的取值范围是.故填.


1．用导数判断单调性
用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．
2．已知单调性确定参数的值(范围)，要分清“在某区间单调”与“单调增(减)区间是某区间”的不同，“在某区间不单调”，一般是该区间含导数变号零点．

1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 (　　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
解：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令 f′(x)＞0，解得x＞2，故选D.
2．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是 (　　)


　　　　A　　　　　　　　　 　　　B

　　　　C　　　　　　　　　 　　　D
解：由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C正确．故选C.
3．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A.
4．()若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
解：因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.故选D.
5．()函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时， (x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则(　　)
A．a C．c 解：依题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，因此有 f(－1) 6．函数f(x)＝(x3＋bx2＋cx)＋d的图象如图，则函数y＝log2的单调递减区间为(　　)

A. B．[3，＋∞)
C. D．(－∞，－2)
解：f′(x)＝(3x2＋2bx＋c)，由图可知f′(－2)＝ f′(3)＝0，所以解得令g(x)＝x2＋bx＋，则g(x)＝x2－x－6，g′(x)＝2x－1.由g(x)>0，解得x<－2或x>3.当g′(x)<0时，x<，所以g(x)的单调递减区间为(－∞，－2)．所以函数 y＝log2(x2＋bx＋)的单调递减区间为(－∞，－2)．故选D.
7．函数y＝x－2sinx在(0，2π)内的单调递增区间为________．
解：y′＝1－2cosx，由得 8．()若函数y＝exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的有________个．
①f(x)＝2－x；②f(x)＝x2；③f(x)＝3－x；④f(x)＝cosx.
解：对于①，f(x)＝2－x＝，则exf(x)＝ex·＝，因为>1，所以exf(x)在R上单调递增，所以f(x)＝2－x具有M性质．对于②，f(x)＝x2，exf(x)＝exx2，[exf(x)]′＝ex(x2＋2x)，令ex(x2＋2x)>0，得x>0或x<－2；令ex(x2＋2x)<0，得－2 9．已知函数f(x)＝(a>0)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0.求f(x)的单调区间．
解：f′(x)＝
＝.
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，
因为ex>0，所以f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)的符号相同．
又因为a>0，所以－30，即f′(x)>0，
当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝lnx＋x2－2ax，其中a∈R.讨论函数f(x)的单调性．
解：f′(x)＝＋x－2a＝(x>0)，
令h(x)＝x2－2ax＋1，Δ＝4(a2－1)．
①当a≤0时，－2ax≥0，所以f′(x)＝>0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
②当0 ③当a>1时，Δ＝4(a2－1)>0，
令h(x)＝0，得x1＝a－>0，x2＝a＋>0.
f′(x)>0⇒x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)，f′(x)<0⇒x∈(x1，x2)，
所以f(x)在(0，a－)和(a＋，＋∞)上是增函数，在(a－，a＋)上是减函数．
综上，当a≤1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a>1时，f(x)在(0，a－)和(a＋，＋∞)上单调递增，在(a－，a＋)上单调递减．
11．已知函数h(x)＝lnx－ax2－2x.
(1)若函数h(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(2)若函数h(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
解：(1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2，
由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，h′(x)<0有解，即a>－有解．
令G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．
而G(x)＝－1(x>0)，所以G(x)min＝－1.
所以a>－1，即a的取值范围是(－1，＋∞)．
(2)由h(x)在[1，4]上单调递减得，
当x∈[1，4]时，h′(x)≤0恒成立，即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max，
而G(x)＝－1，
因为x∈[1，4]，所以∈，
所以当x＝4时，G(x)max＝－，
所以a≥－，即a的取值范围是.
()已知f′(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，满足f′(x)－2f(x)<0，且f(－1)＝0，则f(x)>0的解集为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，1)
C．(－∞，0) D．(－1，＋∞)
解：令g(x)＝，则g′(x)＝<0在R上恒成立，所以g(x)在R上单调递减，又因为g(－1)＝0，f(x)>0⇔g(x)>0，所以x<－1.故选A.