高考数学(理数)一轮复习学案3．3《导数的应用(二)》(含详解)

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3．3　导数的应用(二)


1．函数的极值与导数
(1)判断f(x0)是极大值，还是极小值的方法
一般地，当f′(x0)＝0时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧____________，右侧____________，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程____________的根；
③检查f′(x)在上述根的左右对应函数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得____________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得____________．
2．函数的最值与导数
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则____________为函数在[a，b]上的最小值，____________为函数在[a，b]上的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则____________为函数在[a，b]上的最大值，____________为函数在[a，b]上的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与端点处的函数值______，______进行比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．
3．实际问题中的导数
(1)加速度是速度关于________的导数．
(2)线密度是质量关于________的导数．
(3)功率是功关于________的导数．
(4)瞬时电流是电荷量关于________的导数．
(5)水流的瞬时速度是流过的水量关于________的导数．
(6)边际成本是成本关于________的导数．
4．N型曲线与直线y＝k的位置关系

如图，方程f(x)＝0有三个根x1，x2，x3时，极大值f(a)＞0且极小值f(b)＜0.
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有一个交点时，见图中的直线①或直线②，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直线④，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有三个交点时，见图中的直线⑤.
以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目．

自查自纠：
1．(1)②f′(x)＜0　f′(x)＞0
(2)②f′(x)＝0　③极大值　极小值
2．(2)f(a)　f(b)　f(a)　f(b)
(3)②f(a)　f(b)　最大值　最小值
3．(1)时间　(2)长度　(3)时间　(4)时间　(5)时间
(6)产量
4．＜　＞　＝　＝


　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　
设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解：f(x)＝＋lnx(x>0)，f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0，得x＝2.当x>2时，f′(x)>0，这时f(x)为增函数；当0