高考数学(理数)一轮复习学案4．4《三角函数图象的变换及三角函数模型的应用》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案4．4《三角函数图象的变换及三角函数模型的应用》(含详解)，共13页。

4．4　三角函数图象的变换及三角函数模型的应用


1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示．

x





ωx＋φ





y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
2.图象变换(ω＞0)

路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的物理意义
简谐运动的图象所对应的函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0.在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝________，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝＝________给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝________时的相位φ称为初相．
4．如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助________来描述．
5．三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行________而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
6．y＝|sinx|是以________为周期的波浪形曲线．
7．太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：________.

自查自纠：
1.
x
－




ωx＋φ
0

π
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0

2.　　A　　　A　3.　　0
4．三角函数　5.周期　函数拟合　6.π　
7.h0＝htanθ


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点 (　　)
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度
D．向下平行移动个单位长度
解：把函数y＝sinx的图象上所有的点向左平行移动个单位长度就得到函数y＝sin的图象．故选A.
()将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为
(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解：函数y＝2sin的周期为π，将函数 y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin.故选D.
如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 (　　)

A．5 B．6 C．8 D．10
解：由图知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sin＋5，ymax＝3＋5＝8.故选C.
()将函数 y＝3sin 的图象向右平移φ个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.
解：因为y＝3sin的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后，所得函数为y＝3sin，即y＝3sin是偶函数，则2×0＋－2φ＝kπ＋，φ＝－π－，k∈Z，又因为0<φ<，所以k＝－1，φ＝.故填.
()将函数 f(x)＝cos·＋(ω>0)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________．
解：函数f(x)＝cos＋
＝sinωx－2·＋
＝sinωx－cosωx＝2sin，
f(x)的图象向左平移个单位，
得y＝2sin的图象，
所以函数y＝g(x)＝2sinωx.
又y＝g(x)在上为增函数，所以≥，即≥，解得ω≤2，所以ω的最大值为2.故填2.


　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　
类型一　五点法作图与求解析式
　(1)作出函数y＝2sin的图象．
解：周期T＝＝4π，振幅A＝2.
按五个关键点列表：
＋
0

π

2π
x
－




y
0
2
0
－2
0
描点作图：


点　拨：
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设X＝ωx＋φ，由X＝0，，π，π，2π来求出相应的x值，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)()函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 (　　)

A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解：由图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法结合各选项可知2×＋φ＝，所以 φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.故选A.

点　拨：
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式，常用如下两种方法：①升降零点法，由ω＝，即可求出ω；求φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；②代入最值法，将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.
　　
　(1)()已知函数 f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期为π.

(Ⅰ)求ω的值，并在上面提供的直角坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象；
(Ⅱ)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？
解：(Ⅰ)函数可化为f(x)＝sin，
因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，
所以f(x)＝sin.
列表如下：
x
0




π
y

1
0
－1
0

画出图象如图所示：

(Ⅱ)将函数y＝sinx(x∈R)图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(x∈R)的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得函数f(x)＝sin(x∈R)的图象．
(2)()已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则f(x)的递增区间为 (　　)

A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解法一：由图象可知A＝2，T＝－＝，
所以T＝π，故ω＝2.
由f＝－2，得φ＝2kπ－(k∈Z)．
因为|φ|<，所以φ＝－.所以f(x)＝2sin.
由2x－∈(k∈Z)，
得x∈(k∈Z)．
解法二：T＝－＝，
所以T＝π，－＝－＝－，
＋＝＋＝，
所以f(x)的递增区间是(k∈Z)．故选B.
类型二　三角函数的图象变换
　说明由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象．
(1)y＝sin； (2)y＝sin；
(3)y＝； (4)y＝sin.
解：(1)将y＝sinx的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象．
(2)方法一：将y＝sinx的图象向右平移π个单位长度，得到y＝sin的图象，再把y＝sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，就得到y＝sin的图象．
方法二：先把y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象，再将y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，就得到y＝sin的图象．
(3)将y＝sinx的图象的x轴下方部分翻折到x轴上方，去掉x轴下方图象，即可得到y＝的图象．
(4)先去掉y轴左边的y＝sinx的图象，再将y轴右边的图象翻折到y轴左边，保留y轴右边的图象，即可得到y＝sin的图象．

点　拨：
①本题主要考查图象的平移、伸缩、对称变换．三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．对称变换要注意翻折的方向．②三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．
　　

　()将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
(　　)
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递增
解：将y＝sin的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：y＝sin＝sin2x，令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，再令k＝0可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；令2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，再令 k＝0可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误．故选A.
类型三　函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象及其变换
　()设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx
＝sinωx－cosωx
＝·
＝sin.
由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，所以x－∈，
当x－＝－，
即x＝－时，g(x)取得最小值－.

点　拨：
题(1)用辅助角法，将较复杂的三角式转化成 y＝Asin(ωx＋φ)的形式．题(2)问要看清由谁平移到谁，若自变量的系数不为1时，要将系数先提出来，再平移．
　　
　()设f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．
解：(1)由f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2
＝2sin2x－(1－2sinxcosx)＝(1－cos2x)＋sin2x－1
＝sin2x－cos2x＋－1＝2sin＋－1，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到y＝2sin＋－1的图象，
再把得到的图象向左平移个单位，得到y＝2sinx＋－1的图象，
即g(x)＝2sinx＋－1.
所以g＝2sin＋－1＝.
类型四　三角函数模型的应用

　如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．

(1)求函数h＝f(t)的关系式；
(2)画出函数h＝f(t)的图象．
解：(1)如图，以O为原点，过点O的圆O1的切线为x轴，建立直角坐标系，设点A的坐标为(x，y)，则h＝y＋0.5.

设∠OO1A＝θ，则cosθ＝，
y＝－2cosθ＋2.
又θ＝·t＝，
所以y＝－2cos＋2，h＝f(t)＝－2cos＋2.5.
(2)列表：
t
0
3
6
9
12
h
0.5
2.5
4.5
2.5
0.5
描点连线，即得函数h＝－2cost＋2.5的图象如图所示：


点　拨：
本题主要考查建模能力，考查三角函数的图象和性质，以及由数到形的转化思想和作图技能，建立适当的直角坐标系，将现实问题转化为数学问题，是解题的关键．

　已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1.25 m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内有多少时间可供冲浪者进行运动．
解：(1)由题意知T＝12，所以ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0得b＝1.0，
所以A＝0.5，b＝1，即y＝cost＋1，t∈[0，24]．
(2)由题意知，当y>1.25时才可对冲浪者开放，
所以cost＋1>1.25，cost>.
所以2kπ－ 即12k－2 因为0≤t≤24，故可令①中k分别为0，1，2，
得0≤t<2或10 所以有8个小时的时间可供冲浪运动．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．五点法作函数图象及函数图象变换问题
(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．“五点法”作图的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换，不易出错，且图形简洁．
(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，而“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，但要注意先伸缩后平移时要把x前面的系数提取出来．
2．根据y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象求解析式的步骤
(1)首先确定振幅和周期，从而得到A与ω.
(Ⅰ)A为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半．
(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的个周期(借助图象很好理解记忆)．
(2)求φ的值时最好选用最值点求．其中，峰点：ωx＋φ＝＋2kπ；谷点：ωx＋φ＝－＋2kπ.也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点．升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．
3．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(φ由tanα＝确定)的应用是高考的热点，应予以重视．
4．三角函数模型的三种模式
在现实生活中，许多变化的现象都具有周期性，因此，可以用三角函数模型来描述．如：气象方面有温度的变化，天文学方面有白昼时间的变化，物理学方面有各种各样的振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力变化等．研究这些应用问题，主要有以下三种模式．
(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题．
(2)给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数，再解决其他问题．
(3)搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数式，进一步用函数性质来解决相应的实际问题．


　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点 (　　)
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
解：因为y＝sin(2x＋1)＝sin，所以只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度即可．故选A.
2．()将函数y＝3sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数 (　　)
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
解：将函数y＝3sin的图象向右平移个单位，所得函数变为y＝3sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，令k＝0，则≤x≤.故函数在区间上单调递增．故选A.
3．()将函数 f(x)＝sin2x－的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 y＝g(x)的图象，则g＝ (　　)
A．－ B. C．－ D.
解：函数f(x)＝(2sin2x－1)＝－cos2x，则f＝－cos，g(x)＝2f＝ －cos，所以g＝－cos＝－cos＝.故选B.
4．()如图所示的是函数y＝sin(ωx＋φ)在区间[－，]上的图象，将该函数图象上各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为 (　　)

A. B. C. D.
解：由图可知，函数的最小正周期是π，所以 ω＝2，则函数y＝sin(2x＋φ)．由sin＝0及0<φ<，得φ＝，则函数为y＝sin，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m(m>0)个单位长度后，y＝sin.因为该函数图象关于直线x＝对称，所以4＋＝＋kπ，解得m＝－，k∈Z，因为m>0，所以当k＝1时，m有最小值为.故选C.
5．如图为一半径是3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点Q开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0)，则有 (　　)

A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解：因为水轮上最高点距离水面r＋2＝5 m，即A＋2＝5，所以A＝3.又因为水轮每秒钟旋转＝ rad，所以角速度ω＝.故选A .
6. ()将函数y＝sin图象上的点P 向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则 (　　)
A．t＝，s的最小值为
B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为
D．t＝，s的最小值为
解：因为点P在函数y＝sin的图象上，所以t＝sin＝sin＝.又P′在函数y＝sin2x的图象上，所以＝sin2，则2＝2kπ＋或2＝2kπ＋π，k∈Z，得 s＝－kπ＋或s＝－kπ－，k∈Z，又s＞0，故s的最小值为.故选A.
7．()函数y＝sinx－cosx的图象可由函数y＝sinx＋cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到．
解：因为y＝sinx＋cosx＝2sin，y＝sinx－cosx＝2sin＝2sin，所以函数y＝sinx－cosx的图象可由函数y＝sinx＋cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．故填.
8．把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)有以下四个判断：
①该函数的解析式为y＝2sin；
②该函数图象关于点对称；
③该函数在上是增函数；
④若函数y＝f(x)＋a在上的最小值为，则a＝2.
其中正确判断的序号是________．
解：将函数y＝sin2x的图象向左平移得到y＝sin2＝sin的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin的图象，①不正确；y＝f＝2sin＝2sinπ＝0，函数图象关于点对称，②正确；由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，当k＝0时，增区间为，③不正确；y＝f(x)＋a＝2sin＋a，当0≤x≤时，≤2x＋≤，当2x＋＝，即x＝时，函数取得最小值，有ymin＝2sin＋a＝－＋a＝，得a＝2，④正确．故填②④.
9．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.

(1)求这一天6～14时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)由图可知：这段时间的最大温差为30－10＝20(°C)．
(2)从图可以看出：从6～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
所以＝14－6＝8，所以T＝16.
因为T＝，所以ω＝.
又因为A＝＝10，b＝＝20，
所以y＝10sin＋20，
将点(6，10)代入得sin＝－1，
所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z，取φ＝，
所以y＝10sin＋20，6≤x≤14.
10．()已知函数 f(x)＝sin＋cos＋2sinxcosx.
(1)求函数 f(x) 图象的对称轴方程；
(2)将函数 y＝f(x) 的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x) 的图象，求 y＝g(x) 在上的值域．
解：(1)f(x)＝sin＋cos＋2sinxcosx
＝sin2x＋cos2x＋cos2x－sin2x＋sin2x
＝cos2x＋sin2x＝2sin，
令2x＋＝kπ＋，得x＝＋，k∈Z，
所以函数 f(x) 图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)将函数 y＝f(x) 的图象向右平移个单位，可得函数解析式为y＝2sin＝2sin，
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数解析式为y＝g(x)＝2sin，
因为x∈， 所以＋∈，
可得sin∈，
所以g(x)＝2sin∈[－1，2]．
所以y＝g(x)在上的值域为[－1，2]．
11．()已知函数f(x)＝sin2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．
(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．

解：(1)f(x)＝sin2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx) (cos2ωx＋sin2ωx)＋1
＝sin2ωx＋cos2ωx＋1
＝2sin＋1.
因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，
所以－＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－3k＋， k∈Z.
因为0<ω<1，所以k＝0，ω＝，
所以f(x)＝2sin＋1.
由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z.
令k＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋1，当x∈[－π，π]时，列表如下：
x＋
－
－
0

π

x
－π
－
－


π
f(x)
0
－1
1
3
1
0
则函数f(x)在区间[－π，π]上的图象如图所示．

()已知向量a＝(2cosx，sinx)，b＝(cosx，2cosx)，函数f(x)＝a·b＋m，m∈R，且当x∈ 时，f(x)的最小值为2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)先将函数y＝f(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求方程g(x)＝4在区间 上的所有根之和．
解：(1)f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＋m
＝cos2x＋sin2x＋m＋1
＝2sin＋m＋1.
因为x∈，所以2x＋∈，当2x＋＝π，即x＝时，f(x)min＝2×＋m＋1＝2，解得m＝2，所以f(x)＝2sin＋3，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得f(x)的增区间为 (k∈Z)．
(2)将函数y＝f(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到f(x)＝2sin＋3，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，
所以g(x)＝2sin＋3＝2sin＋3，又g(x)＝4，得sin＝，解得4x－＝2kπ＋或4x－＝2kπ＋，k∈Z.
即x＝＋或x＝＋(k∈Z)，因为x∈，所以x＝或，故所有根之和为＋＝.