高考数学(理数)一轮复习学案4．5《三角恒等变换》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案4．5《三角恒等变换》(含详解)，共9页。


1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝____________________.
(2)cs(α±β)＝____________________.
(3)tan(α±β)＝____________________.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝______________．
(2)cs2α＝___________＝___________＝___________．
(3)tan2α＝____________________.
3．半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,2)).
(2)cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋csα,2)).
(3)taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,1＋csα))＝eq \f(sinα,1＋csα)＝eq \f(1－csα,sinα).
4．几个常用的变形公式
(1)升幂公式：1±sinα＝____________________；
1＋csα＝____________________；1－csα＝____________________．
(2)降幂公式：sin2α＝____________________；cs2α＝____________________．
(3)tanα±tanβ＝______________________；
tanαtanβ＝eq \f(tanα－tanβ,tan（α－β）)－1＝1－eq \f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）).
(4)辅助角公式：asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中csφ＝____________________，sinφ＝__________________，或tanφ＝________________，φ角所在象限与点(a，b)所在象限________，φ角的终边经过点(a，b)．
自查自纠：
1．(1)sinαcsβ±csαsinβ (2)csαcsβ∓sinαsinβ
(3)eq \f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ)
2．(1)2sinαcsα
(2)cs2α－sin2α 2cs2α－1 1－2sin2α (3)eq \f(2tanα,1－tan2α)
4．(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)±cs\f(α,2)))eq \s\up12(2) 2cs2eq \f(α,2) 2sin2eq \f(α,2)
(2)eq \f(1－cs2α,2) eq \f(1＋cs2α,2)
(3)tan(α±β)(1∓tanαtanβ)
(4)eq \f(a,\r(a2＋b2)) eq \f(b,\r(a2＋b2)) eq \f(b,a) 相同

sin20°cs10°－cs160°sin10°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
解：原式＝sin20°cs10°＋cs20°sin10°＝sin30°＝eq \f(1,2).故选D.
(eq \a\vs4\al(2018·全国卷Ⅲ))若sinα＝eq \f(1,3)，则cs2α＝
( )
A.eq \f(8,9) B.eq \f(7,9) C．－eq \f(7,9) D．－eq \f(8,9)
解：cs2α＝1－2sin2α＝1－eq \f(2,9)＝eq \f(7,9).故选B.
(eq \a\vs4\al(2017·全国卷Ⅲ))函数f(x)＝eq \f(1,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))) 的最大值为 ( )
A.eq \f(6,5) B．1 C.eq \f(3,5) D.eq \f(1,5)
解：f(x)＝eq \f(1,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))
＝eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinx·\f(1,2)＋csx·\f(\r(3),2)))＋csx·eq \f(\r(3),2)＋sinx·eq \f(1,2)
＝eq \f(3,5)sinx＋eq \f(3\r(3),5)csx＝eq \f(3,5)·2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
＝eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，最大值为eq \f(6,5).故选A.
(eq \a\vs4\al(2017·江苏))若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,6)，则tanα＝________.
解：tanα＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))tan\f(π,4))＝eq \f(\f(1,6)＋1,1－\f(1,6))＝eq \f(7,5).故填eq \f(7,5).
(eq \a\vs4\al(东莞2018考前冲刺))化简cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝________.
解：cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1,2)(1＋sin2x＋1＋sin2x)＝1＋sin2x.故填1＋sin2x.

类型一 非特殊角求值问题
(1)(eq \a\vs4\al(2017·山东))已知csx＝eq \f(3,4)，则 cs2x＝ ( )
A．－eq \f(1,4) B.eq \f(1,4) C．－eq \f(1,8) D.eq \f(1,8)
解：由csx＝eq \f(3,4)得cs2x＝2cs2x－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2－1＝eq \f(1,8).故选D.
(2)(eq \a\vs4\al(教材复习参考题))sin50°(1＋eq \r(3)tan10°)＝________.
解：sin50°(1＋eq \r(3)tan10°)
＝sin50°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(3)×\f(sin10°,cs10°)))
＝sin50°×eq \f(cs10°＋\r(3)sin10°,cs10°)
＝sin50°×eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),cs10°)
＝eq \f(2sin50°cs50°,cs10°)＝eq \f(sin100°,cs10°)＝eq \f(cs10°,cs10°)＝1.故填1.
(3)(eq \a\vs4\al(福建漳州2017届八校联考))已知tanα＝2(α∈(0，π))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π＋2α))＝( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)
解：由tanα＝2得sinα＝2csα，sin2α＋cs2α＝1，得4cs2α＋cs2α＝1，cs2α＝eq \f(1,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π＋2α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))＝－sin2α＝－2sinαcsα＝－4cs2α＝－eq \f(4,5).故选D.
点 拨：
解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．

(1)(eq \a\vs4\al(2016·四川))cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝________.
解： 根据二倍角公式有cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).故填eq \f(\r(2),2).
(2)eq \f(\r(3)tan12°－3,sin12°（4cs212°－2）)＝________.
解：eq \f(\r(3)tan12°－3,sin12°（4cs212°－2）)＝eq \f(\r(3)（sin12°－\r(3)cs12°）,2cs24°sin12°cs12°)＝eq \f(2\r(3)sin（12°－60°）,\f(1,2)sin48°)＝－4eq \r(3).故填－4eq \r(3).
(3)tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan70°tan50°的值等于 ( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \f(\r(3),3) D．－eq \r(3)
解：因为tan120°＝eq \f(tan70°＋tan50°,1－tan70°·tan50°)＝ －eq \r(3)，
所以tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan70°·tan50°＝－eq \r(3).故选D.
类型二 给值求值问题
(1)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝eq \f(1,7)，则tanβ的值为________．
解：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq \f(tan（α＋β）－tanα,1＋tan（α＋β）tanα)＝eq \f(\f(1,7)＋2,1－\f(2,7))＝3.故填3.
(2)(eq \a\vs4\al(2018·全国卷Ⅱ))已知sinα＋csβ＝1，csα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝__________．
解：因为sinα＋csβ＝1 ①，
csα＋sinβ＝0 ②，
所以①2＋②2得2＋2(sinαcsβ＋csαsinβ)＝1，
即2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).故填－eq \f(1,2).
(3)(eq \a\vs4\al(2018·全国卷Ⅱ))已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，则tanα＝________.
解：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(tanα－tan\f(5π,4),1＋tanα·tan\f(5π,4))＝eq \f(tanα－1,1＋tanα)＝eq \f(1,5)，解得tanα＝eq \f(3,2).故填eq \f(3,2).
点 拨：
应用三角恒等变换公式求值的三个变换：①变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．

(1)(eq \a\vs4\al(2018·济南调研))已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－csα＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝ ( )
A．－eq \f(5,18) B.eq \f(5,18) C．－eq \f(7,9) D.eq \f(7,9)
解：由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－csα＝eq \f(1,3)，
得eq \f(\r(3),2)sinα＋eq \f(1,2)csα－csα＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，
得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝1－eq \f(2,9)＝eq \f(7,9).故选D.
(2)已知taneq \f(α,2)＝3，则csα＝ ( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C.eq \f(4,15) D．－eq \f(3,5)
解：csα＝cs2eq \f(α,2)－sin2eq \f(α,2)＝eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),cs2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))＝eq \f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq \f(1－9,1＋9)＝－eq \f(4,5).故选B.
(3)已知csα＝eq \f(1,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(1,3)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cs(α－β)的值等于 ( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,3) D.eq \f(23,27)
解：因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2α∈(0，π)，csα＝eq \f(1,3)，所以cs2α＝2cs2α－1＝－eq \f(7,9)，sin2α＝eq \r(1－cs22α)＝eq \f(4\r(2),9).而α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α＋β∈(0，π)，所以 sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2（α＋β）)＝eq \f(2\r(2),3).所以cs(α－β)＝cs[2α－(α＋β)]＝cs2αcs(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋eq \f(4\r(2),9)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(23,27).故选D.
类型三 给值求角问题
(eq \a\vs4\al(福州外校2017届高三适应性考试))已知A，B均为钝角，sin2eq \f(A,2)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))＝eq \f(5－\r(15),10)，且 sinB＝eq \f(\r(10),10)，则A＋B＝ ( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(5π,4) C.eq \f(7π,4) D.eq \f(7π,6)
解：由题意知eq \f(1,2)(1－csA)＋eq \f(1,2)csA－eq \f(\r(3),2)sinA＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(15),10)，得sinA＝eq \f(\r(5),5)，sinB＝eq \f(\r(10),10).
A，B均为钝角，π0，
那么，eq \f(3π,2)点 拨：
给值求角问题，可转化为“给值求值”问题，解得所求角的某一三角函数值，结合所求角的范围及函数的单调性可求得角．

(eq \a\vs4\al(2016·苏北四市调研))已知 eq \f(π,2)<α<π， －π<β<0，tanα＝－eq \f(1,3)，tanβ＝－eq \f(1,7)，则2α＋β等于________．
解：tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2)＝－eq \f(3,4)，
tan(2α＋β)＝eq \f(tan2α＋tanβ,1－tan2αtanβ)＝eq \f(－\f(3,4)－\f(1,7),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7))))＝－1.
因为eq \f(π,2)<α<π，－1所以eq \f(3,4)π<α<π，eq \f(3,2)π<2α<2π.①
又－π<β<0，tanβ＝－eq \f(1,7)<0，所以－eq \f(π,2)<β<0.②
由①②知，π<2α＋β<2π.
又tan(2α＋β)＝－1，所以2α＋β＝eq \f(7π,4).故填eq \f(7π,4).
类型四 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用
(eq \a\vs4\al(2018·北京))已知函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcsx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))上的最大值为eq \f(3,2)，求m的最小值．
解：(1)f(x)＝eq \f(1－cs2x,2)＋eq \f(\r(3),2)sin2x
＝eq \f(\r(3),2)sin2x－eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(1,2)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，
所以f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2).
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))，所以2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，2m－\f(π,6))).
要使得f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))上的最大值为eq \f(3,2)，
则需sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))上的最大值为1.
所以2m－eq \f(π,6)≥eq \f(π,2)，即m≥eq \f(π,3).
所以m的最小值为eq \f(π,3).
点 拨：
化简时要注意特殊角的三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负．

已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sinx－eq \r(3)cs2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调性．
解：(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sinx－eq \r(3)cs2x
＝csxsinx－eq \f(\r(3),2)(1＋cs2x)
＝eq \f(1,2)sin2x－eq \f(\r(3),2)cs2x－eq \f(\r(3),2)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)，
因此f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，f(x)的最大值为1－eq \f(\r(3),2).
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，有0≤2x－eq \f(π,3)≤π，从而
当0≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)时，即eq \f(π,6)≤x≤eq \f(5π,12)时，f(x)单调递增；
当eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤π时，即eq \f(5π,12)≤x≤eq \f(2π,3)时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))上单调递减．
1．深层次领悟公式的功能、规律与内涵
对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵．如1±sin2α＝(sinα±csα)2有并项的功能，cs2α＝cs2α－sin2α有升幂的功能，sin2α＝2sinαcsα有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等．
2．余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很有必要的．
3．三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理后使用．
4．熟知一些恒等变换的技巧
(1)公式的正用、逆用及变形用．
(2)熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq \f(α,3)是eq \f(2α,3)的半角，eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的倍角等．
(3)在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：1＝taneq \f(π,4)，1＝sin2α＋cs2α等．
(4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．
总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．

1．(eq \a\vs4\al(2016·韶关1月调研))cs2165°－sin215°＝
( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
解：cs2165°－sin215°＝cs215°－sin215°＝cs30°＝eq \f(\r(3),2).故选C.
2．若tanα＝3，则eq \f(sin2α,cs2α)的值等于 ( )
A．2 B．3 C．4 D．6
解：eq \f(sin2α,cs2α)＝eq \f(2sinαcsα,cs2α)＝2tanα＝2×3＝6.故选D.
3．(eq \a\vs4\al(传统经典题))已知sinα＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝ －eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于 ( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
解：因为α，β均为锐角，所以－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2).
又sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，所以cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10).
又sinα＝eq \f(\r(5),5)，所以csα＝eq \f(2\r(5),5)，
所以sinβ＝sin[α－(α－β)]
＝sinαcs(α－β)－csαsin(α－β)
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(\r(2),2).
所以β＝eq \f(π,4).故选C.
4．(eq \a\vs4\al(河南南阳第一中学2018届第二十次考试))若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))的值为 ( )
A．－eq \f(7,9) B.eq \f(7,9) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
解：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))))＝ －cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－1＝2×eq \f(1,9)－1＝－eq \f(7,9).故选A.
5．(eq \a\vs4\al(2016·安徽十校联考))已知α为锐角，且 7sinα＝2cs2α，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝ ( )
A.eq \f(1＋3\r(5),8) B.eq \f(1＋5\r(3),8)
C.eq \f(1－3\r(5),8) D.eq \f(1－5\r(3),8)
解：由7sinα＝2cs2α得7sinα＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sinα－2＝0，所以sinα＝－2(舍去)或sinα＝eq \f(1,4).因为α为锐角，所以csα＝eq \f(\r(15),4)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(15),4)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1＋3\r(5),8).故选A.
6．(eq \a\vs4\al(2018届福建闽侯高三开学考试))若2cs2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则cs2α的值为 ( )
A．－eq \f(7,8) B．－eq \f(\r(15),8) C．1 D.eq \f(\r(15),8)
解：因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sinα>0，csα<0，
因为2cs2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))，
所以2(cs2α－sin2α)＝eq \f(\r(2),2)(sinα－csα)．
所以csα＋sinα＝－eq \f(\r(2),4)，①
①式平方得1＋2sinαcsα＝eq \f(1,8)，则2sinαcsα＝－eq \f(7,8)，
则(csα－sinα)2＝1－2sinαcsα＝1＋eq \f(7,8)＝eq \f(15,8)，
所以csα－sinα＝－eq \f(\r(30),4)，②
联立①②，解得csα＝－eq \f(\r(30)＋\r(2),8)，
所以cs2α＝2cs2α－1＝eq \f(\r(15),8).
故选D.
7．(eq \a\vs4\al(2017·全国卷Ⅱ))函数f(x)＝2csx＋sinx的最大值为________．
解：f(x)＝2csx＋sinx＝eq \r(22＋12)sin(x＋φ)≤eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，其中tanφ＝2.故填eq \r(5).
8．(eq \a\vs4\al(2017·全国卷Ⅰ))已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tanα＝2，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝________.
解：因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且tanα＝eq \f(sinα,csα)＝2，所以sinα＝2csα，又sin2α＋cs2α＝1，所以sinα＝eq \f(2\r(5),5)，csα＝eq \f(\r(5),5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝csαcseq \f(π,4)＋sinαsineq \f(π,4)＝ eq \f(\r(2),2)(sinα＋csα)＝eq \f(3\r(10),10).故填eq \f(3\r(10),10).
9．已知函数f(x)＝sin2x－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有f(x)＝eq \f(1－cs2x,2)－eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))),2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin2x－\f(1,2)cs2x))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，－\f(π,6)))上是减函数，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上是增函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(1,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),4)，所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值为eq \f(\r(3),4)，最小值为－eq \f(1,2).
10．(eq \a\vs4\al(2018·合肥质检))已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，求：
(1)sin2α；
(2)tanα－eq \f(1,tanα).
解：(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,4)，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2).
又因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，故2α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(4π,3)))，
从而cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)，
所以sin2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))cseq \f(π,3)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))sineq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
(2)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，所以2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))，则由(1)知cs2α＝－eq \f(\r(3),2)，所以tanα－eq \f(1,tanα)＝eq \f(sinα,csα)－eq \f(csα,sinα)＝eq \f(sin2α－cs2α,sinαcsα)＝eq \f(－2cs2α,sin2α)＝－2×eq \f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2eq \r(3).
另解：由(1)知2α＋eq \f(π,3)＝eq \f(7π,6)，所以α＝eq \f(5π,12)，所以 tanα－eq \f(1,tanα)＝eq \f(tan2α－1,tanα)＝eq \f(－2,tan2α)＝2eq \r(3).
11．(eq \a\vs4\al(2018·南昌调研))已知函数f(x)＝csx·[sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))]＋eq \f(\r(3),4).
(1)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(5π,12)))＝eq \f(3,10)，0<θ(2)求f(x)的最小正周期及函数g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))的单调递增区间．
解：f(x)＝csxeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))＋eq \f(\r(3),4)
＝csxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)csx－\r(3)csx))＋eq \f(\r(3),4)
＝csxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sinx－\f(\r(3),2)csx))＋eq \f(\r(3),4)
＝eq \f(1,2)sinxcsx－eq \f(\r(3),2)cs2x＋eq \f(\r(3),4)
＝eq \f(1,4)sin2x－eq \f(\r(3),4)cs2x－eq \f(\r(3),4)＋eq \f(\r(3),4)
＝eq \f(1,4)sin2x－eq \f(\r(3),4)cs2x
＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(1)由于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(5π,12)))＝eq \f(3,10)，所以eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(5π,6)－\f(π,3)))＝eq \f(3,10)，
即eq \f(1,2)csθ＝eq \f(3,10)，所以csθ＝eq \f(3,5).
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sinθ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(4,5)，
从而tanθ＝eq \f(sinθ,csθ)＝eq \f(4,3).
(2)f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
又g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，g(x)的单调递增区间即y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的单调递减区间，
由2kπ＋eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，
得2kπ＋eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(7π,6)，k∈Z，
故g(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)．
(eq \a\vs4\al(2018·广西南宁质检))已知f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,tanx)))sin2x－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))).
(1)若tanα＝2，求f(α)的值；
(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))，求f(x)的取值范围．
解：(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcsx)＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝eq \f(1－cs2x,2)＋eq \f(1,2)sin2x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)(sin2x－cs2x)＋cs2x
＝eq \f(1,2)(sin2x＋cs2x)＋eq \f(1,2).
由tanα＝2，得sin2α＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tanα,tan2α＋1)＝eq \f(4,5)，
cs2α＝eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq \f(3,5)，
所以f(α)＝eq \f(1,2)(sin2α＋cs2α)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,5).
(2)由(1)得f(x)＝eq \f(1,2)(sin2x＋cs2x)＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋eq \f(1,2).
由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))，得eq \f(5π,12)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4).
所以－eq \f(\r(2),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≤1，0≤f(x)≤eq \f(\r(2)＋1,2)，
所以f(x)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2)＋1,2))).