高考数学(理数)一轮复习学案5．2《平面向量的基本定理及坐标表示》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案5．2《平面向量的基本定理及坐标表示》(含详解)，共17页。

5．2　平面向量的基本定理及坐标表示



1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________________________．
我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．
2．向量的夹角
(1)已知两个________向量a和b，作＝a， ＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)．

(2)向量夹角θ的范围是_______________．a与b同向时，夹角θ＝________；a与b反向时，夹角θ＝____________．
(3)如果向量a与b的夹角是____________，我们就说a与b垂直，记作____________．
3．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．
(2)在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj．则实数对__________叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝__________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为________．显然，i＝__________， j＝__________，0＝__________．
4．平面向量的坐标运算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝___________________________________________．
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝___________________________________________．
(3)若a＝(x，y)，则λa＝____________．
(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是____________________．
自查自纠：
1．a＝λ1e1＋λ2e2　基底
2．(1)非零　(2)0°≤θ≤180°　0°　180°　(3)90°　a⊥b
3．(1)互相垂直　(2)(x，y)　(x，y)　(x，y)　(1，0)　(0，1)　(0，0)
4．(1)(x1±x2，y1±y2)　(2)(x2－x1，y2－y1)
(3)(λx，λy)　(4)x1y2－x2y1＝0


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在△ABC中，已知A(2，1)，B(0，2)，＝(1，－2)，则向量＝ (　　)
A．(0，0) B．(2，2)
C．(－1，－1) D．(－3，－3)
解：因为A(2，1)，B(0，2)，所以＝(－2，1)．又因为＝(1，－2)，所以＝＋＝(－2，1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C．
()已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是 (　　)
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2
解：因为4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，所以3e1－2e2与4e2－6e1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，所以它们不能作为一组基底．故选B．
()已知平面向量 a＝(x，1)，b＝(2，x－1)且a∥b，则实数x的值是
(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．－1或2
解：由a＝(x，1)，b＝(2，x－1)且a∥b，可以得到x(x－1)＝2，即(x－2)(x＋1)＝0，所以x＝－1或x＝2．故选D．
()已知向量a＝(－2，3)， b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________．
解：由题意可得，－2×3＋3m＝0，所以m＝2．故填2．
在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ＝________．
解法一：因为＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝－，所以由＝λ＋μ有解得所以λ＋ μ＝．
解法二：不妨设正方形边长为2，以A为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则＝(2，2)，＝(2，1)，＝(－1，2)．
由＝λ＋μ有解得λ＝，μ＝，λ＋μ＝．故填．


类型一　向量共线充要条件的坐标表示
　(1)()已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
解：由题可得2a＋b＝(4，2)，因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝．故填．

(2)已知平面向量a＝(2m＋1，3)，b＝(2，m)，且a与b反向，则|b|等于(　　)
A． B．2
C． D．或2
解：根据题意a∥b知m(2m＋1)－3×2＝0，解得m＝－2或m＝．当m＝时，a＝(4，3)，b＝，则a＝2b，此时两向量同向，与已知不符，故m＝－2，此时b＝(2，－2)，故|b|＝2．故选B．

点　拨：
两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(a≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b＝λa．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
　　
　(1) ()已知向量a＝ (1－sinθ，1)，b＝，若a∥b，则锐角 θ＝________．
解：由a∥b，得(1－sinθ)(1＋sinθ)＝，
所以cos2θ＝，所以cosθ＝或cosθ＝－，
又θ为锐角，所以θ＝45°．故填45°．

(2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)， ＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k的取值范围是________．
解：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．
因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1．
故填{k|k∈R，且k≠1}．
类型二　平面向量基本定理及其应用
　(1)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若 ＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．

解法一：以λ和μ为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则＝＋．

因为与的夹角为120°，
与的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°，在Rt△OB1C中，||＝2，
所以||＝2，||＝4，所以||＝||＝4，
所以＝4＋2，即λ＋μ＝6．
解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(1，0)，C(2cos30°，2sin30°)，B(cos120°，sin120°)．
即A(1，0)，C(3，)，B．
由＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ＝，即＝(3，)，
得 所以 即λ＋μ＝6．故填6．

(2)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝________．

解：建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则 ＝(2，－2)，＝(1，2)，＝(1，0)．

由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)，即 解得 所以λμ＝－3．故填 －3．

点　拨：
应用平面向量基本定理应注意：①平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量；②选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；③强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等；④在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．
　　
　(1)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解：由于λa＋b与a＋2b平行，且a＋2b≠0，所以存在唯一的实数μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0．因为a，b不平行，所以 解得λ＝μ＝．故填．

(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．

解：设i，j分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，即－i－3j＝(－λ＋6μ)i＋(λ＋2μ)j，根据平面向量基本定理得 解得 所以＝4．故填4．
类型三　求向量的坐标
　已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
解：因为在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，所以＝2．设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，
＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，
所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
所以　解得故点D的坐标为(2，4)．
故填(2，4)．

点　 拨：
平面向量坐标运算的技巧：①向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；②解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．

　已知三点A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中a>0，b>0．
(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；
(2)若A，B，C三点共线，试求＋的值．
解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以＝，即(a，0)＝(2，2－b)，
解得
故a＝2，b＝2．
(2)因为＝(－a，b)，＝(2，2－b)，
由A，B，C三点共线，得∥，
所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab，
因为a>0，b>0，
所以＋＝．
类型四　向量坐标的应用
　()如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则·的最小值为 (　　)

A． 　　　　 　　B．
C． 　　　 　　　D．3
解法一：以点A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，依题意得，A(0，0)，B(1，0)．因为AD＝1，∠BAD＝120°，所以D，且直线CD的倾斜角为30°，所以直线CD的方程为y－＝，即y＝(x＋2)．
由得所以点C的坐标为(1，)．
因为点E为边CD上的动点，故可设E，－≤t≤1，
所以＝，＝，
所以·＝t(t－1)＋＝＋，所以当t＝－时，·取最小值，为．

图(1) 　　　图(2)

解法二：易知DC＝，∠CAD＝60°，设DE＝x(0≤x≤)，则·＝(＋)·(＋＋)＝1×1×cos60°＋12＋0＋x×1×cos150°＋0＋x2＝＋≥．
解法三：如图(2)，取AB的中点F，连接EF，则·＝·＝(＋)·(－)＝2－ 2＝2－．可知当且仅当||最小时·取最小值，分别过F，B作CD的垂线，垂足分别为H，G，当点E与H重合时，EF取到最小值，易知EF为梯形DABG的中位线，由已知得|BG|＝，|AD|＝1，则|HF|＝|EF|＝(|BG|＋|AD|)＝．故·的最小值为．故选A．

点　拨：
向量的坐标运算，往往能降低推理的难度，与向量相关的最值、范围问题，可优先考虑坐标运算．用向量法解决平面几何相关问题的步骤是：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如长度、距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系，从而解决问题．

　()在边长为1的正△ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于 (　　)
A． B． C． D．

解法一：建立如图所示的直角坐标系，则A，D，E，所以＝，＝，·＝－×＋×＝．
解法二：取BC中点O，则·＝(＋)·(＋)＝2－2＝－＝．
解法三：如图，||＝||＝1，

〈，〉＝60°．
因为D，E是边BC的两个三等分点，
所以·＝·＝·－·＋·－2＝1×1× cos60°－×1×1×cos120°＋×1×1× cos60°－＝＋＋－＝．故选C．



1．对平面向量基本定理的理解
(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础．
(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．
(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R，e1，e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．
(4)如果e1，e2是同一平面内的一组基底，且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1，λ2∈R)，那么λ1＝λ2＝0．
2．对两向量夹角的理解
两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同．
3．向量的坐标表示
向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．
4．向量坐标的应用
向量具有代数和几何的双重特征，如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．


1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 (　　)
A．a＝(1，2)，b＝(0，0)
B．a＝(1，－2)，b＝(3，5)
C．a＝(3，2)，b＝(9，6)
D．a＝， b＝(3，－2)
解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B．
2．设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝ (　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
解：因为a∥b，所以2×6－4x＝0，解得x＝3．故选B．
3．()若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则c＝ (　　)
A．3a＋b B．3a－b
C．－a＋3b D．a＋3b
解法一：设c＝ma＋nb，则(4，2)＝(m－n， m＋n)，所以 所以 所以c＝3a－b．
解法二：代入验证法．对于A，3a＋b＝3(1，1)＋(－1，1)＝(2，4)≠c，故A不正确；同理选项C、D也不正确；对于B，3a－b＝(4，2)＝c，故B正确．故选B．
4．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为 (　　)
A．(－8，1) B．
C． D．(8，－1)
解：设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
而＝(－8，1)＝，
所以 解得
所以P点坐标为．故选B．
5．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a，b如图，则向量a－b可表示为 (　　)

A．3e2－e1 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解：由图易知a－b＝－3e2＋e1＝e1－3e2．故选C．
6．()已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)
A．－1 B．＋1 C．2 D．2－
解：不妨设e＝(1，0)，b＝(x，y)，则由b2－4e·b＋3＝0⇒(x－2)2＋y2＝1，再由a与e的夹角为可知，

所求为如图两条射线上的点到圆上的点距离的最小值，即为2sin60°－1＝－1．故选A．
7．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若 a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________．
解：若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则 2e1－e2＝k(e1＋λe2)＝ke1＋λke2，得 解得λ＝－．故填－．
8．()已知在△ABC中，D为边BC上的点，且BD＝3DC，点E为AD的中点，＝m＋n，则m＋n＝________．

解：＝＋＝－＝－(＋)＝－＝×－＝－＝(－)－＝－＋．
又＝m＋n，所以m＋n＝－＋．又因为与不共线，所以m＝－，n＝，所以m＋n＝－．故填－．
9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．求：
(1)|a＋3b|；
(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？
解：(1)因为a＝(1，0)，b＝(2，1)，
所以a＋3b＝(7，3)，
故|a＋3b|＝＝．
(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7，3)，
因为ka－b与a＋3b平行，
所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－．
此时ka－b＝(k－2，－1)＝，
a＋3b＝(7，3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，
即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．
10．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及＝＋t，试问：
(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限内？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
解：(1)依题意，得＝(3，3)，
所以＝＋t＝(1＋3t，2＋3t)，即P(1＋3t，2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－；
若P在第三象限内，则 所以t＜－．
(2)因为＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)，
若OABP是平行四边形，则＝，
所以　此方程无解．
故四边形OABP不可能成为平行四边形．
11．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．
解：如图所示，令A(－1，0)，B(3，0)，C(1，－5)，D(x，y)．

(1)若四边形ABCD1为平行四边形，
则＝，
且＝(x＋1，y)，＝(－2，－5)．
所以
解得 所以D1(－3，－5)．
(2)若四边形ACD2B为平行四边形，则＝，
且＝(4，0)，＝(x－1，y＋5)．
所以 解得 所以D2(5，－5)．
(3)若四边形ACBD3为平行四边形，则＝，
且＝(x＋1，y)，＝(2，5)，

所以 解得 所以D3(1，5)．
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为 (－3，－5)或(5，－5)或(1，5)．
如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设 ＝a，＝b，用基底a，b表示向量＝________．

解：易得＝＝b，＝＝a，由N，E，B三点共线知，存在实数m，满足＝m＋ (1－m)＝mb＋(1－m)a．
由C，E，M三点共线知存在实数n，满足＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b．
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b．
由于a，b为基底，所以 解得
所以＝a＋b．故填a＋b．

5．2　平面向量的基本定理及坐标表示



1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________________________．
我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．
2．向量的夹角
(1)已知两个________向量a和b，作＝a， ＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)．

(2)向量夹角θ的范围是_______________．a与b同向时，夹角θ＝________；a与b反向时，夹角θ＝____________．
(3)如果向量a与b的夹角是____________，我们就说a与b垂直，记作____________．
3．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．
(2)在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj．则实数对__________叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝__________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为________．显然，i＝__________， j＝__________，0＝__________．
4．平面向量的坐标运算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝___________________________________________．
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝___________________________________________．
(3)若a＝(x，y)，则λa＝____________．
(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是____________________．
自查自纠：
1．a＝λ1e1＋λ2e2　基底
2．(1)非零　(2)0°≤θ≤180°　0°　180°　(3)90°　a⊥b
3．(1)互相垂直　(2)(x，y)　(x，y)　(x，y)　(1，0)　(0，1)　(0，0)
4．(1)(x1±x2，y1±y2)　(2)(x2－x1，y2－y1)
(3)(λx，λy)　(4)x1y2－x2y1＝0


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在△ABC中，已知A(2，1)，B(0，2)，＝(1，－2)，则向量＝ (　　)
A．(0，0) B．(2，2)
C．(－1，－1) D．(－3，－3)
解：因为A(2，1)，B(0，2)，所以＝(－2，1)．又因为＝(1，－2)，所以＝＋＝(－2，1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C．
()已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是 (　　)
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2
解：因为4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，所以3e1－2e2与4e2－6e1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，所以它们不能作为一组基底．故选B．
()已知平面向量 a＝(x，1)，b＝(2，x－1)且a∥b，则实数x的值是
(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．－1或2
解：由a＝(x，1)，b＝(2，x－1)且a∥b，可以得到x(x－1)＝2，即(x－2)(x＋1)＝0，所以x＝－1或x＝2．故选D．
()已知向量a＝(－2，3)， b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________．
解：由题意可得，－2×3＋3m＝0，所以m＝2．故填2．
在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ＝________．
解法一：因为＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝－，所以由＝λ＋μ有解得所以λ＋ μ＝．
解法二：不妨设正方形边长为2，以A为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则＝(2，2)，＝(2，1)，＝(－1，2)．
由＝λ＋μ有解得λ＝，μ＝，λ＋μ＝．故填．


类型一　向量共线充要条件的坐标表示
　(1)()已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
解：由题可得2a＋b＝(4，2)，因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝．故填．

(2)已知平面向量a＝(2m＋1，3)，b＝(2，m)，且a与b反向，则|b|等于(　　)
A． B．2
C． D．或2
解：根据题意a∥b知m(2m＋1)－3×2＝0，解得m＝－2或m＝．当m＝时，a＝(4，3)，b＝，则a＝2b，此时两向量同向，与已知不符，故m＝－2，此时b＝(2，－2)，故|b|＝2．故选B．

点　拨：
两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(a≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b＝λa．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
　　
　(1) ()已知向量a＝ (1－sinθ，1)，b＝，若a∥b，则锐角 θ＝________．
解：由a∥b，得(1－sinθ)(1＋sinθ)＝，
所以cos2θ＝，所以cosθ＝或cosθ＝－，
又θ为锐角，所以θ＝45°．故填45°．

(2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)， ＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k的取值范围是________．
解：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．
因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1．
故填{k|k∈R，且k≠1}．
类型二　平面向量基本定理及其应用
　(1)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若 ＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．

解法一：以λ和μ为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则＝＋．

因为与的夹角为120°，
与的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°，在Rt△OB1C中，||＝2，
所以||＝2，||＝4，所以||＝||＝4，
所以＝4＋2，即λ＋μ＝6．
解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(1，0)，C(2cos30°，2sin30°)，B(cos120°，sin120°)．
即A(1，0)，C(3，)，B．
由＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ＝，即＝(3，)，
得 所以 即λ＋μ＝6．故填6．

(2)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝________．

解：建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则 ＝(2，－2)，＝(1，2)，＝(1，0)．

由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)，即 解得 所以λμ＝－3．故填 －3．

点　拨：
应用平面向量基本定理应注意：①平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量；②选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；③强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等；④在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．
　　
　(1)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解：由于λa＋b与a＋2b平行，且a＋2b≠0，所以存在唯一的实数μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0．因为a，b不平行，所以 解得λ＝μ＝．故填．

(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．

解：设i，j分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，即－i－3j＝(－λ＋6μ)i＋(λ＋2μ)j，根据平面向量基本定理得 解得 所以＝4．故填4．
类型三　求向量的坐标
　已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
解：因为在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，所以＝2．设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，
＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，
所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
所以　解得故点D的坐标为(2，4)．
故填(2，4)．

点　 拨：
平面向量坐标运算的技巧：①向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；②解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．

　已知三点A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中a>0，b>0．
(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；
(2)若A，B，C三点共线，试求＋的值．
解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以＝，即(a，0)＝(2，2－b)，
解得
故a＝2，b＝2．
(2)因为＝(－a，b)，＝(2，2－b)，
由A，B，C三点共线，得∥，
所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab，
因为a>0，b>0，
所以＋＝．
类型四　向量坐标的应用
　()如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则·的最小值为 (　　)

A． 　　　　 　　B．
C． 　　　 　　　D．3
解法一：以点A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，依题意得，A(0，0)，B(1，0)．因为AD＝1，∠BAD＝120°，所以D，且直线CD的倾斜角为30°，所以直线CD的方程为y－＝，即y＝(x＋2)．
由得所以点C的坐标为(1，)．
因为点E为边CD上的动点，故可设E，－≤t≤1，
所以＝，＝，
所以·＝t(t－1)＋＝＋，所以当t＝－时，·取最小值，为．

图(1) 　　　图(2)

解法二：易知DC＝，∠CAD＝60°，设DE＝x(0≤x≤)，则·＝(＋)·(＋＋)＝1×1×cos60°＋12＋0＋x×1×cos150°＋0＋x2＝＋≥．
解法三：如图(2)，取AB的中点F，连接EF，则·＝·＝(＋)·(－)＝2－ 2＝2－．可知当且仅当||最小时·取最小值，分别过F，B作CD的垂线，垂足分别为H，G，当点E与H重合时，EF取到最小值，易知EF为梯形DABG的中位线，由已知得|BG|＝，|AD|＝1，则|HF|＝|EF|＝(|BG|＋|AD|)＝．故·的最小值为．故选A．

点　拨：
向量的坐标运算，往往能降低推理的难度，与向量相关的最值、范围问题，可优先考虑坐标运算．用向量法解决平面几何相关问题的步骤是：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如长度、距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系，从而解决问题．

　()在边长为1的正△ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于 (　　)
A． B． C． D．

解法一：建立如图所示的直角坐标系，则A，D，E，所以＝，＝，·＝－×＋×＝．
解法二：取BC中点O，则·＝(＋)·(＋)＝2－2＝－＝．
解法三：如图，||＝||＝1，

〈，〉＝60°．
因为D，E是边BC的两个三等分点，
所以·＝·＝·－·＋·－2＝1×1× cos60°－×1×1×cos120°＋×1×1× cos60°－＝＋＋－＝．故选C．



1．对平面向量基本定理的理解
(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础．
(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．
(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R，e1，e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．
(4)如果e1，e2是同一平面内的一组基底，且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1，λ2∈R)，那么λ1＝λ2＝0．
2．对两向量夹角的理解
两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同．
3．向量的坐标表示
向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．
4．向量坐标的应用
向量具有代数和几何的双重特征，如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．


1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 (　　)
A．a＝(1，2)，b＝(0，0)
B．a＝(1，－2)，b＝(3，5)
C．a＝(3，2)，b＝(9，6)
D．a＝， b＝(3，－2)
解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B．
2．设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝ (　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
解：因为a∥b，所以2×6－4x＝0，解得x＝3．故选B．
3．()若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则c＝ (　　)
A．3a＋b B．3a－b
C．－a＋3b D．a＋3b
解法一：设c＝ma＋nb，则(4，2)＝(m－n， m＋n)，所以 所以 所以c＝3a－b．
解法二：代入验证法．对于A，3a＋b＝3(1，1)＋(－1，1)＝(2，4)≠c，故A不正确；同理选项C、D也不正确；对于B，3a－b＝(4，2)＝c，故B正确．故选B．
4．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为 (　　)
A．(－8，1) B．
C． D．(8，－1)
解：设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
而＝(－8，1)＝，
所以 解得
所以P点坐标为．故选B．
5．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a，b如图，则向量a－b可表示为 (　　)

A．3e2－e1 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解：由图易知a－b＝－3e2＋e1＝e1－3e2．故选C．
6．()已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)
A．－1 B．＋1 C．2 D．2－
解：不妨设e＝(1，0)，b＝(x，y)，则由b2－4e·b＋3＝0⇒(x－2)2＋y2＝1，再由a与e的夹角为可知，

所求为如图两条射线上的点到圆上的点距离的最小值，即为2sin60°－1＝－1．故选A．
7．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若 a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________．
解：若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则 2e1－e2＝k(e1＋λe2)＝ke1＋λke2，得 解得λ＝－．故填－．
8．()已知在△ABC中，D为边BC上的点，且BD＝3DC，点E为AD的中点，＝m＋n，则m＋n＝________．

解：＝＋＝－＝－(＋)＝－＝×－＝－＝(－)－＝－＋．
又＝m＋n，所以m＋n＝－＋．又因为与不共线，所以m＝－，n＝，所以m＋n＝－．故填－．
9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．求：
(1)|a＋3b|；
(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？
解：(1)因为a＝(1，0)，b＝(2，1)，
所以a＋3b＝(7，3)，
故|a＋3b|＝＝．
(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7，3)，
因为ka－b与a＋3b平行，
所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－．
此时ka－b＝(k－2，－1)＝，
a＋3b＝(7，3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，
即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．
10．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及＝＋t，试问：
(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限内？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
解：(1)依题意，得＝(3，3)，
所以＝＋t＝(1＋3t，2＋3t)，即P(1＋3t，2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－；
若P在第三象限内，则 所以t＜－．
(2)因为＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)，
若OABP是平行四边形，则＝，
所以　此方程无解．
故四边形OABP不可能成为平行四边形．
11．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．
解：如图所示，令A(－1，0)，B(3，0)，C(1，－5)，D(x，y)．

(1)若四边形ABCD1为平行四边形，
则＝，
且＝(x＋1，y)，＝(－2，－5)．
所以
解得 所以D1(－3，－5)．
(2)若四边形ACD2B为平行四边形，则＝，
且＝(4，0)，＝(x－1，y＋5)．
所以 解得 所以D2(5，－5)．
(3)若四边形ACBD3为平行四边形，则＝，
且＝(x＋1，y)，＝(2，5)，

所以 解得 所以D3(1，5)．
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为 (－3，－5)或(5，－5)或(1，5)．
如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设 ＝a，＝b，用基底a，b表示向量＝________．

解：易得＝＝b，＝＝a，由N，E，B三点共线知，存在实数m，满足＝m＋ (1－m)＝mb＋(1－m)a．
由C，E，M三点共线知存在实数n，满足＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b．
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b．
由于a，b为基底，所以 解得
所以＝a＋b．故填a＋b．