高考数学(理数)一轮复习学案5．5《数系的扩充与复数的引入》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案5．5《数系的扩充与复数的引入》(含详解)，共19页。
5．5　数系的扩充与复数的引入



1．虚数单位为i，规定：i2＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立．
2．复数的概念
形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的______，b叫做复数的__________．
(1)当__________时，复数a＋bi为实数．
(2)当__________时，复数a＋bi为虚数．
(3)当__________且__________时，复数a＋bi为纯虚数．
3．复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ ________，特别地，a＋bi＝0⇔________________．
4．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立________的关系(其中O是坐标原点)．
5．在复平面内，实轴上的点都表示________；虚轴上的点除________外都表示________．
6．复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作________或．即＝＝r＝________(r≥0，r∈R)．
7．共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z的共轭复数记作________．
8．数系的扩充
数集扩充的过程是：自然数集(N)→________→________→________→复数集(C)．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．
9．复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1±z2＝________________．
(2)z1·z2＝________________．
(3)＝________ ________ (z2≠0)．
10．复数加、减法的几何意义
以复数z1，z2分别对应的向量，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，对角线OZ表示的向量就是____________．z1－z2对应的向量是____________．

自查自纠：
1．－1　运算律
2．实部　虚部　①b＝0　②b≠0　③a＝0　b≠0
3．a＝c且b＝d　a＝b＝0
4．一一对应
5．实数　原点　纯虚数
6．　
7．共轭复数　
8．整数集(Z)　有理数集(Q)　实数集(R)
9．(1)(a±c)＋(b±d)i　(2)(ac－bd)＋(ad＋bc)i
(3)＋i
10．复数z1＋z2所对应的向量　


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()(1＋i)(2－i)＝ (　　)
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
解：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i．故选D．
()＝ (　　)
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
解：由复数除法的运算法则有：＝＝2－i．故选D．
()在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：＝＝＋i的共轭复数为－i，对应的点为，在第四象限．故选D．
()已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
解：z＝＝＝＝－3－4i，|z|＝＝5．故填5．
()已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．
解：由题意可得a2－b2＋2abi＝3＋4i，则 解得 则a2＋b2＝5，ab＝2．故填5；2．


类型一　复数的概念
　下列命题中：
①在复数集中，任意两个数都不能比较大小；
②若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；
③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
④x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；
⑤若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．
其中正确命题的个数是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：①当两个复数都是实数时，可以比较其大小．
②若m＝0，n＝i时，则z＝0＋i2＝－1∈R．
③当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立．
④只有当x，y∈R时命题才正确．
⑤若a＝0，则0·i＝0不是纯虚数．故选A．

点　 拨：
正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi(a，b∈R)，z为纯虚数⇔z为实数⇔b＝0．
　　
　(1)()设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝；
p4：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为 (　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则由＝＝∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正确；
当z＝i时，因为z2＝i2＝－1∈R，而z＝i∉R，故p2不正确；
当z1＝z2＝i时，满足z1·z2＝－1∈R，但z1≠，知p3不正确；
对于p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确．故选B．

(2)()已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
解：＝＝＝－i为实数，则＝0，a＝－2．故填－2．

　已知A，B是锐角三角形的两内角，则复数(sinA－cosB)＋(sinB－cosA)i在复平面内对应的点位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：因为A，B是锐角三角形的两内角，
所以A＋B＞，且0＜A