高考数学(理数)一轮复习学案6．4《数列求和及应用》(含详解)

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6．4　数列求和及应用



1．数列求和方法
(1)公式法
(Ⅰ)等差数列、等比数列前n项和公式．
(Ⅱ)常见数列的前n项和：
①1＋2＋3＋…＋n＝ ；
②2＋4＋6＋…＋2n＝ ；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ ；
④12＋22＋32＋…＋n2＝ ；
⑤13＋23＋33＋…＋n3＝．
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{an}前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法．
(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．
常见的裂项公式：
①＝ －；
②＝
；
③＝
；
④＝ (－)；
⑤＝ －；
⑥C＝ ；
⑦n·n！＝ ！－n！；
⑧an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
2．数列应用题常见模型
(1)单利公式
利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ ．
(2)复利公式
利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ ．
(3)产值模型
原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝ ．
(4)递推型
递推型有an＋1＝f(an)与Sn＋1＝f(Sn)两类．
(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等．

自查自纠：
1．(1)①　②n2＋n　③n2　④
(5)①　②　③　④　⑤
⑥C－C　⑦(n＋1)
2．(1)a(1＋xr)　(2)a(1＋r)x　(3)N(1＋p)x


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
数列{1＋2n－1}的前n项和为 (　　)
A．1＋2n B．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
解：由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1．故选C．
＋＋＋…＋的值为 (　　)
A． B．－
C．－ D．－＋
解：因为＝＝＝，所以＋＋＋…＋＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝＝－．故选C．
若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n＋1·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a2 020＝ (　　)
A．－3 030 B．3 030 C．－3 033 D．3 033
解：a1＋a2＋…＋a2 020＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 019＋a2 020)＝(1－4)＋(7－10)＋…＋[(3×2 019－2)－(3×2 020－2)]＝(－3)×1 010＝－3 030．故选A．
在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 020＝________．
解：由题意得a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，a5＝－＝－，所以数列{an}是周期为3的周期数列，且a1＋a2＋a3＝1－－2＝－，
所以S2 020＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＝673×＋1＝－．故填－．
有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒．
解： 设至少需要n秒，则1＋2＋22＋…＋2n－1≥100，即≥100，所以n≥7．故填7．


类型一　基本求和问题
　(1)1＋＋＋…＋＝________．
解：设an＝1＋＋＋…＋＝＝2＝2－，分组求和可得数列{an}的前n项和Sn＝2n－＝2n－2＋，则S21＝2×21－2＋＝40＋．故填40＋．
(2)1＋＋＋…＋＝________．
解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则an＝＝2，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[＋＋…＋]＝2＝．故填．
(3)设f(x)＝，求：f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．
解：因为f(x)＝，所以f(x)＋f＝1．
令S＝f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)，①
则S＝f(2 017)＋f(2 016)＋…＋f(1)＋f＋…＋f＋f()，②
①＋②得：2S＝1×4 033＝4 033，所以S＝．
(4)求和：Sn＝＋＋＋…＋．
解：(Ⅰ)当a＝1时，Sn＝1＋2＋…＋n＝．
(Ⅱ)当a≠1时，Sn＝＋＋＋…＋，①
Sn＝＋＋…＋＋，②
由①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝
－，所以
Sn＝．
综上所述，
Sn＝

点　拨：
研究通项公式是数列求和的关键．数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，在选择方法前分析数列的通项公式的结构特征，避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时，注意对公比是否等于1进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法．

　(1)数列9，99，999，…的前n项和Sn＝________．
解：Sn＝9＋99＋999＋…＋99…9n个
＝(101－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n－1)
＝(101＋102＋103＋…＋10n)－n
＝－n＝－n．
故填－n．
(2)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，数列{bn}的前n项和记为Sn，则S2 019＝________．
解：由条件得到数列{an}的通项为an＝＝，则an＋1＝，所以bn＝＝＝4，则Sn＝4(1－＋－＋…＋－)＝4＝，将n＝2 019代入得到S2 019＝．故填．
(3)求sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的值．
解：令Sn＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，①
则Sn＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°
＝cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°．②
①与②两边分别相加得2Sn＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89．
所以Sn＝．
(4)已知an＝，求{an}的前n项和Tn．
解：Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋，②
①－②得
Tn＝＋＋＋＋…＋－
＝＋－＝－－，
所以Tn＝－－＝－．
类型二　可用数列模型解决的实际问题
　用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%．若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付________万元．
解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{an}，
故a1＝100＋2 000×0．01＝120(万元)，
a2＝100＋(2 000－100)×0．01＝119(万元)，
a3＝100＋(2 000－100×2)×0．01＝118(万元)，
a4＝100＋(2 000－100×3)×0．01＝117(万元)，
…
an＝100＋[2 000－100(n－1)]×0．01＝121－n(万元) (1≤n≤20，n∈N*)．
因此{an}是首项为120，公差为－1的等差数列．
故a10＝121－10＝111(万元)．故填111．

点　拨：
将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：审题、建模、求解、检验、作答．增长率模型是比较典型的等比数列模型，实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常利用增长率模型加以解决．
　　
　某气象学院用3．2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(n∈N*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了
(　　)
A．600天 B．800天 C．1 000天 D．1 200天
解：设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为＝＋＋4．95，当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800．故选B．
类型三　数列综合问题
　()设数列{an}是公差大于0的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝9，且2a1，a3－1，a4＋1构成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＝2n－1(n∈N*)，设Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜6．
解：(1)设数列{an}的公差为d，则d＞0．
因为S3＝9，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝9，即a2＝3．
因为2a1，a3－1，a4＋1构成等比数列，所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)，
所以d＝2．所以an＝a2＋(n－2)d＝2n－1．
(2)证明：因为＝2n－1(n∈N*)，
所以bn＝＝(2n－1)，
所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－1)× ，　①
所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，　②
由①②两式相减得
Tn＝1＋2×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝1＋－＝3－－，整理化简得Tn＝6－．
又因为n∈N*，所以Tn＝6－＜6．

点　拨：
数列的综合问题大都是建立在数列概念、等差等比数列及数列求和基础上的与函数、不等式等知识的综合应用，要牢记数列是特殊函数，如单调性放缩技巧．

　()Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28．记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0．9]＝0，[lg99]＝1．
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
解：(1)设{an}的公差为d，S7＝7a4＝28，
所以a4＝4，所以d＝＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n．
所以b1＝[lga1]＝[lg1]＝0，b11＝[lga11]＝[lg11]＝1，b101＝[lga101]＝[lg101]＝2．
(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000
＝[lga1]＋[lga2]＋…＋[lga1 000]．
当0≤lgan