高考数学(理数)一轮复习学案9．2《两条直线的位置关系》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案9．2《两条直线的位置关系》(含详解)，共9页。
9．2　两条直线的位置关系



1．两条直线的位置关系
(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔____________，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为____________．
(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔____________，特别地，若直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则l1与l2的关系为____________．
2．两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有唯一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________．
3．距离公式
(1)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_____________________．
(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝____________________．
4．过两直线交点的直线系方程
若已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R，这条直线可以是l1，但不能是l2)表示过l1和l2交点的直线系方程．

自查自纠：
1．(1)k1＝k2　l1∥l2　(2)k1k2＝－1　l1⊥l2
2．相交　交点的坐标　无公共点　平行
3．(1)　(2)


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为 (　　)
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
解：由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2，3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0．故选A．
对任意实数a，直线y＝ax－3a＋2所经过的定点是 (　　)
A．(2，3) B．(3，2)
C．(－2，3) D．(3，－2)
解：直线y＝ax－3a＋2变为a(x－3)＋(2－y)＝0．又a∈R，所以解得得定点为(3，2)．故选B．
()直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　　)
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
解：由题意有＝≠，故m＝2或－3．故选C．
点(1，1)到直线3x＋4y＝b的距离为1，则b＝________．
解：因为点(1，1)到直线3x＋4y＝b的距离为1，所以＝1⇒b＝2或12．故填2或12．
已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋ y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．
解：由平面几何知识得AB平行于直线ax＋ y＋1＝0或AB中点(1，3)在直线ax＋y＋1＝0 上，kAB＝－，所以a＝或－4．故填或－4．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　两条直线平行、重合或相交
　已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝ (　　)
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
解：若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；
当a≠0时，两直线平行，则有＝≠，解得a＝－1或2．故选D．

点　 拨：
①当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．②在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．③＝≠保证了平行的同时又去掉了重合的情形．
　　
　当实数m为何值时，三条直线l1： 3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形．
解：当m＝0时，直线l1，l2，l3可以围成三角形，要使直线l1，l2，l3不能围成三角形，则m≠0．
记l1，l2，l3三条直线的斜率分别为k1，k2，k3，
则k1＝－，k2＝，k3＝－6．
若l1∥l2，或l1∥l3，则k1＝k2＝，或k1＝k3＝－6，解得m＝－2或m＝；
若三条直线交于一点，由得 l2与l3交于点(1，－1)，将点(1，－1)代入3x＋my－1＝0，得m＝2．所以当m＝±2或时，l1，l2，l3不能围成三角形．
类型二　两条直线垂直
　(1)设a，b，c分别是△ABC中内角A，B，C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与 bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是 (　　)
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
解：由正弦定理＝，得bsinA－ asinB＝0，所以两直线垂直．故选C．
(2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a＝1”是“l1⊥l2”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，解得a＝±1．
显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A．

点　 拨：
判定两直线垂直的方法：①判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1·k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．②直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论．设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．
　　
　(1)()若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为 (　　)
A． B． C． D．
解：由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝．故选D．
(2)已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大值为
(　　)
A．0 B．2 C．4 D．
解：由已知得a2＋(b＋2)(b－2)＝0，即a2＋ b2＝4．因为a2＋b2＝4≥2ab，所以ab≤2，当且仅当a＝b＝±时取“＝”，即ab的最大值为2．故选B．
类型三　对称问题
　(1)点A(－2，a)与点B(b，－3)关于直线l：x＋2y－a＝0对称，则a＋3b＝________．
解：由题意知点A与点B的中点P的坐标为(，)，因为P在直线l上，所以＋2· －a＝0，得b＝8．又AB⊥l，所以 kAB·(－)＝－1，即＝2，得a＝－23，所以a＋3b＝－23＋3×8＝1．故填1．
(2)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线l′的方程为________．
解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．
易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0．
解法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，
因为Q′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0．故填2x－3y－9＝0．
(3)直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程为．
解：解方程组得直线l1与直线l的交点A(，)．在直线l1上取一点B(2，0)，设点B关于直线l的对称点为C(x，y)，
则解得即C(－2，4)．
又直线l2过A(，)和C(－2，4)两点，故由两点式得直线l2的方程为＝，即x＋2y－6＝0．故填x＋2y－6＝0．

点　 拨：
关于中心对称问题的处理方法：
①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得
②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在．
关于轴对称问题的处理方法：
①点关于直线的对称．若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
②直线关于直线的对称．此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
　　
　(1)()已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′．
由解得a＝1，b＝0．
又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0．故填6x－y－6＝0．
(2)已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________．
解：由题意知，点A不在这两条角平分线上，因此l1，l2分别是另两个内角的角平分线．设点A关于直线l1的对称点为A1，点A关于直线l2的对称点为A2，则点A1，A2均在边BC所在的直线l上．
设A1(x1，y1)，则有
解得所以A1(0，3)．
同理设A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1)．
所以BC边所在直线的方程为2x－y＋3＝0．
故填2x－y＋3＝0．
类型四　距离问题
　(1)()若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为 (　　)
A． B． C． D．
解：因为l1∥l2，所以＝≠，所以解得a＝－1，
所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2之间的距离d＝＝．故选B．
(2)过点P(1，2)引直线，使A(2，3)、B(4， －5)到它的距离相等，这条直线的方程是________．
解法一：因为kAB＝－4，线段AB中点C(3， －1)，
所以过P(1，2)与直线AB平行的直线方程为 y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0．此直线符合题意．
过P(1，2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0．此直线也是所求．
故所求直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0．
解法二：显然这条直线斜率存在．
设直线方程为y＝kx＋b，
据条件有．
化简得或
所以k＝－4，b＝6或k＝－，b＝．
所以直线方程为y＝－4x＋6或y＝－x＋．
即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0．故填4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0．

点　拨：
距离的求法：①点到直线的距离，可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．②两平行直线间的距离，利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；或利用两平行线间的距离公式d＝．
　　
　设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个不同的实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 (　　)
A．， B．，
C．， D．，
解：因为a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个不同的实根，所以ab＝c，a＋b＝－1，
又直线x＋y＋a＝0与x＋y＋b＝0之间的距离d＝，所以d2＝()2＝＝＝－2c，因为0≤c≤(经检验，满足方程x2＋x＋c＝0有两个不同的实根)，所以－2×≤－2c≤－2×0，即≤－2c≤，所以≤d≤．故选A．
类型五　直线系及其应用
　求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0(其中m∈R)恒过定点，并求出定点坐标．
证法一：令m＝0，则直线方程为3x＋y＋1＝0，①
再令m＝1时，直线方程为6x＋y＋4＝0，②
联立①②，得方程组解得
将点A(－1，2)代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0中，
(m2＋2m＋3)×(－1)＋(1＋m－m2)×2＋3m2＋1
＝(3－1－2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，
故点A(－1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0恒过定点A．
证法二：将动直线方程按m降幂排列整理得，
m2(x－y＋3)＋m(2x＋y)＋3x＋y＋1＝0，①
不论m为何实数，①式恒为零，
所以有解得
故动直线恒过点(－1，2)．

点　 拨：
此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m只是取两个特殊值，是否m∈R时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m的降幂排列，由于∀m∈R恒成立，所以得关于x，y的方程组，解此方程组便得定点坐标．直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合．常见直线系方程有：①过定点(x1，y1)的直线系：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1．②平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． ③垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系：Bx－Ay＋λ＝0．④过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋ B2y＋C2＝0的交点的直线系：A1x＋B1y＋C1＋ λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
　　
　若点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d，则d的取值范围是
(　　)
A．[0，) B．[0，＋∞)
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解：把直线l的方程化为(x＋y－2)＋λ(3x＋ 2y－5)＝0，
由方程组解得得直线l 恒过定点A(1，1)，其中直线l不包括直线3x＋ 2y－5＝0．
又|PA|＝＝，且PA与直线3x＋2y－5＝0垂直，即点P到直线3x＋2y－5＝0的距离为，所以点P到直线l的距离d满足0≤d＜．故选A．



1．当直线的方程中含有字母参数时，不仅要考虑斜率存在与不存在的情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2．两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定，但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时，往往需要繁琐地讨论．但也可以这样避免：设两直线为A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0，则两直线垂直的条件为·＝－1，由此得A1A2＋B1B2＝0，但后者适用性更强，因为当B1＝0或B2＝0时前者不适用但后者适用．
3．常见直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)和x＝x0，或A(x－x0)＋B(y－y0)＝0．
(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．
(4)共点直线系方程：过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
4．运用公式d＝求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x，y的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点(如直线与坐标轴的交点)，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离．这一方法体现了化归思想的应用．
5．对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是 (　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
解：直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线 x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且 k1k2≠－1．故选C．
2．()“a＝－1”是“直线 ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的
(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：依题意得，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是解得a＝－1．故选C．
3．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为 (　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
解法一：由得
则所求直线方程为：y＝x＝－x，即 3x＋19y＝0．
解法二：设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，
即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，
所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，
解得λ＝－，故所求直线方程为3x＋19y＝0．故选D．
4．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是 (　　)
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
解：设直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线为l2，则l2的斜率为－，且过直线x－2y＋1＝0与x＝1的交点(1，1)，则l2的方程为y－1＝ －(x－1)，即x＋2y－3＝0．故选D．
5．若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是 (　　)
A． B．5 C． D．15
解：由题意得P1P2的中点P的轨迹方程是x－y－10＝0，则原点到直线x－y－10＝0的距离d＝ ＝5，即为点P到原点的距离的最小值．故选B．
6．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示 (　　)
A．过点P且与l垂直的直线
B．过点P且与l平行的直线
C．不过点P且与l垂直的直线
D．不过点P且与l平行的直线
解：因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P．又直线Ax＋By＋ C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行．故选D．
7．若O(0，0)，A(4，－1)两点到直线ax＋ a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________．
解：由题意，得＝，即 4a－a2＋6＝±6，解得a＝0或－2或4 或6．检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6．故填－2或4或6．
8．()在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝____________．
解：由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，因为直线ax＋y－1＝0与直线x－ay＋3＝0垂直，所以MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10．故填10．
9．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2： (a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，且a2＋1≠3．
则b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－＋，
因为a2≥0，所以b≤0．
又因为a2＋1≠3，所以b≠－6．
故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．
(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，
又若a＝0，不满足l1⊥l2，则a≠0，
所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，当且仅当 a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2．
10．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．

解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－ 5＝0，
所以＝3．
解得λ＝2或λ＝．
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0．
(2)由解得交点P(2，1)，
如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝|PA|＝．
11．若直线l过点A(1，－1)，且与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，若|AB|＝5，求直线l的方程．
解：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1．
解方程组
求得B点坐标为(1，4)，此时|AB|＝5，
即x＝1为所求．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
解方程组得
(k≠－2，否则与已知直线平行)．
则B点坐标为(，)．
由已知(－1)2＋(＋1)2＝52，
解得k＝－，所以y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0．
综上可知，所求直线l的方程为x＝1或3x＋ 4y＋1＝0．
已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是．
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶．
若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
解：(1)直线l2的方程变形为：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即|a＋|＝，解得a＝3或a＝－4．
又a＞0，所以a＝3．
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且＝×，解得c＝或，
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若P点满足条件③，则由点到直线的距离公式，
有＝×，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不成立．
联立解得(舍去)，
联立解得
所以存在点P(，)同时满足三个条件．